第6讲动量定理角动量定理.docx

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第6讲动量定理角动量定理

第6讲力与运动的关系动量定理

（1）

一、动量定理：

（微元法）

1、以速度大小为v1竖直向上抛出一小球，小球落回地面时的速度大小为v2，设小球在运动过程中受空气阻力大小与速度大小成正比

，求小球在空中运动的时间t=？

（高度h=？

）

2、质量为m，长为L的均匀软铁链用细绳悬在天花板上，下端刚好接触地面．某时刻细绳突然断了，软铁链自由落下，求：

（1）从悬绳断开到铁绳全部落至地面过程中地面对铁绳的平均弹力？

（2）若地面改为电子秤托盘面，求秤的最大读数为铁链重力的几倍？

（隔离分析微元或整体“导数”）

（练习）一根均匀柔软绳长为L，质量为m，对折后两端固定在一个钉子上．其中一端突然从钉子上脱落，求下落端的端点离钉子的距离为x时，钉子对绳子另一端的作用力．

（机械能不守恒）

3、质量很大的平板沿水平方向以速度v0运动．一小球在高度为H处从静止自由下落，并与平板相碰，小球与平板间的摩擦系数为μ，小球反弹时相对地面的速度为v，与水平面的夹角为α，反弹后达到的最大高度仍为H，试讨论α与高度H的关系．

（注：

当“碰撞”作用时间极短时，可忽略有限大小力的冲量．）

（

与

关系怎样？

）

二、动量守恒定律

①系统在某一方向上所受合外力为零，则系统在这一方向上动量守恒.

②当物体间内作用时间极短时，忽略有限大小外力的冲量，动量守恒.

1、图为两弹性小球1和2，球1的质量为m1，初速为v10；球2的质量为m2，静止．两球相碰后，球l的速度方向与碰前速度方向垂直，球2的速度方向与球l的初速方向夹角θ，

．试求两球碰后的速度大小以及恢复系数、总机械能的损失？

（斜碰，没有摩擦作用，

仅在弹性作用方向体现）

2、如图所示，光滑水平面上有一长为L的平板小车，其质量为M，车左端站着一个质量为m的人，车和人都处于静止状态，若人要从车的左端刚好跳到车的右端，至少要多大的速度（相对地面）？

（设速度大小v、方向θ）

（练习）如图所示,固定在小车上的弹簧发射器以及小车的质量为3m,发射筒与水平面成45°角,小车放在光滑水平面上,被发射的小球质量为m,现将弹簧压缩L后放入小球,从静止开始,将小球弹射出去.已知小球的射高为H,不计小球在发射筒内的重力势能变化.试求弹簧的劲度系数k.

（小球相对地面的出射速度≠45°）

3、如图所示，质量均为m的两质点A和B，由长为L的不可伸长的轻绳相连，B质点限制在水平面上的光滑直槽内，可沿槽中滑动，开始时A质点静止在光滑桌面上，B静止在直槽内，AB垂直于直槽且距离为L/2，如质点A以速度v0在桌面上平行于槽的方向运动，求证：

当B质点开始运动时，它的速度大小为3v0/7；并求绳受到的冲量和槽的反作用力冲量？

（寻找守恒量：

A+B在水平方向、A在垂直绳子方向上动量守恒）

思考题1、质量分别为m1、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的水平面上，用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳AB和BC连结，角ABC为-，为一锐角，如图所示，今有一冲量为I的冲击力沿BC方向作用于质点C，求质点A开始运动时的速度．

思考题2、如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与

A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB与BC的夹角为-，

三、质心参考系

①质心：

→

→

②质心运动定理：

当

时，系统的质心相对地面匀速或静止，速度

（动量视角）．

系统总动量

（地面系）＝质心动量（

）＋相对质心总动量（

）（质心系）

③Konig定理：

（动能视角）．

以二个质点为例，质量分别为m1和m2，相对于地面参考系的速度分别为

和

，

质心C的速度为

，二质点相对于质心的速度分别为

和

，于是

，质点系的动能

，把

和

代入，且

，括号中的求和表示质心对于自己的速度（或两物体相对质心的动量为零），必定为零．

质点系的动能

，由此可见，

质点系的总动能等于其质心的动能与质点相对于质心动能之和（Konig定理）,对于多个质点，这个关系也成立．

注：

对于两体系统，质点系的动能还可以用两物体的相对速度

和质心的速度

表示：

根据动量守恒定律

，和相对速度关系

可得

和

，代入质点系的动能

得：

．

1、如图所示，一长直光滑板AB放在平台上，OB伸出台面，在左侧的D点放一质量为m1的小铁块，它以初速度v向右运动．假设直板相对桌面不发生滑动，经时间T0后直板翻倒．现让直板恢复原状，并在直板O点放上另一质量为m2的小物体，同样让m1从D点开始以v的速度向右运动，并与m2发生正碰，那么从m1开始运动后经过多少时间直板翻倒?

2、如图所示，质量为M，倾角为θ的光滑斜面，放置在光滑水平面上，另有一质量为m的小物块沿斜面下滑，斜面底边长为L．当物块从斜面顶端由静止开始下滑到底端时，求：

（1）斜面具有多大的速度；

（2）斜面沿水平面移动的距离．

3、如图所示，质量分别为m1、和m2的两滑块A和B放置在光滑的水平地面上，A，B之间用一劲度系数为k的弹簧相连．开始时两滑块静止，弹簧为原长．一质量为m的子弹以速度v0沿弹簧长度方向射入滑块A，并不再出来．试求：

（1）弹簧的最大压缩长度；

（2）滑块B相对地面的最大速度和最小速度．

4、如图所示，质量为m的长方形箱子放在光滑的水平地面上，箱内有一质量也为m的小滑块，滑块与箱底之间无摩擦．开始时箱子不动，滑块以速度v0从箱子的A壁向B壁处运动，然后又与B壁碰撞．假定滑块每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍，e＝

．

（1）要使“滑块+箱子”系统动能的总损耗不超过40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？

（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多少？

5、如图所示，质量M=1Kg的箱子静止在光滑水平面上，箱底长L=1m，质量m=1Kg的小物体从箱子中央以v0=5m/s的速度开始向右运动，物体与箱底间的动摩擦因数=0.05，物体与箱壁发生完全弹性碰撞，问小物体可与箱壁发生多少次碰撞？

当小物体在箱中刚达到相对静止时，箱子在水平面上的位移是多少？

（练习）如图所示，在光滑水平面上静止放着一个质量为M的中空物体，其中间是一个半径为R的球形空间，内表面也是光滑的．另一个质量为m、半径为r的小球，从两球心等高的位置静止释放，试求：

（1）小球到达最低点时，中空物体移动的距离；

（2）小球到达最低点时，中空物体的速度．

（3）判断：

小球到右边的最大高度可不可以和初始位置等高？

第6讲力矩与转动的关系角动量定理

（2）

一、质点的角动量定理

①质点相对参考点的角动量：

如图所示，质量为m的质点在xy平面内以速度v作匀速直线运动，求此质点相对于原点O的角动量L．

②质点的角动量定理：

③质点角动量守恒定律：

若作用于质点的合力对参考点O的合力矩M始终为零，则质点对该点的角动量保持不变，称为质点对参考点O的角动量守恒定律．

在有心力场作用下运动的物体，因合力矩为零，故物体相对力心的角动量守恒．

如果质点在有心力作用下运动，由于有心力对力心的力矩为零，因此质点对该力心的角动量就一定守恒．例如：

行星在太阳引力下绕太阳的运动就是在有心力作用下的运动，日心即力心；地球卫星在地球引力作用下运动，地心即力心；电子在原子核静电力作用下运动，力心即原子核．在这些情况下，我们可得出结论：

行星在绕太阳的运动中，对日心的角动量守恒（开普勒第二定律实际就是对有心力点的角动量守恒）

；人造地球卫星绕地球运行时，对地心的角动量守恒；电子绕原子核运动时，电子对原子核的角动量守恒．

1、在光滑水平桌面上有一小孔O，一细绳穿过小孔，其一端系一小球放在桌面上，另一端用手拉住．设开始时令小球以速率v1绕孔O作半径为r1的匀速率圆周运动，如图所示．现在向下缓慢拉绳，直到小球作半径为r2的圆周运动时停止．试求此时小球的速率v2以及在此过程中绳子拉力T所做的功？

2、如图所示，质量为m的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑的水平面上，当弹簧处于自然状态时，长为a，其弹性系数为k．今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b＝2a，求两球的初速度v0？

（练习）两个滑冰运动员，质量分别为MA=60Kg，MB=70Kg，它们的速率vA=5m/s，vB=10m/s，在相距1.3m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来开始绕质心作圆周运动，并保持二人之间的距离1.3m不变．求：

（1）二人拉手后，系统的角速度．

（2）计算两个人拉手前后的动能是否相等，并说明理由．

3、图中a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以

Ek＝2000eV的动能沿与OO平行的方向射向a．以l表示b与OO线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最大值．

五、刚体的角动量定理：

（当M=0时，L=恒量．）

例：

如图所示，一根L=0.4m的均匀木棒，质量M=1.0Kg，可绕水平轴O点在竖直面内转动，开始时棒自然铅直悬垂．现有一质量m=8g的子弹以v=200m/s的速度从A点水平射入棒内，A点离O点的距离为3L/4，棒的转动惯量J=ML2/3．求：

（1）棒开始转动时的角速度．

（2）棒的最大偏角．

（3）若子弹射入的方向与棒的夹角=30，棒开始转动时的角速度．

（1）对O点角动量守恒：

，J=ML2/3.

得棒开始转动时的角速度

=8.87rad/s.

（2）子弹射入棒内后系统机械能守恒，设棒的最大偏角为，

，得棒的最大偏角=9412.

（3）当子弹射入的方向与棒的夹角=30时，

对O点角动量守恒：

，=4.43rad/s.

角动量练习

1．已知地球的质量为m，太阳的质量为M，地球与日心的距离为R，万有引力常量为G，则地球绕太阳作圆周运动的轨道角动量为（）

A.

B.

C.

D.

2．如图所示，x轴沿水平方向，y轴竖直向下，在时刻将质量为m的质点由x=a处静止释放，让它自由下落，则在任意时刻t，质点所受相对原点o的力矩

=？

该质点相对原点o的角动量

=？

3．在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量为m=0.5Kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d=0.5m,绳子处于松弛状态，现使物体以初速度vA=4m/s垂直于OA向右滑动，如图，设在以后的运动中物体到达位置B，此时物体速度的方向与绳垂直，则此时刻物体对O点的角动量的大小LB=？

物体速度的大小vB=？

4．如图所示，一个质量为m=2Kg的小球在细绳牵引下在光滑水平的平板上以速率v=1.0m/s做匀速圆周运动，其半径

r=30cm，现将牵引的绳子迅速放长20cm，使小球在更大半径的新轨道上做匀速圆周运动．求：

（1）实际这一过渡所经历的时间？

（2）试说明此过程中有哪些守恒量？

小球在新轨道上匀速圆周运动时，旋转的角速度？

5．如图所示，钢球A和B质量m=1Kg，正被绳〔L=0.5m〕牵着以

的角速度绕竖直轴转动，二球与轴的距离都为

，现在把轴上环C下移，使得两球离轴的距离缩减为

，则钢球的角速度

外力做的功

碰撞典型题

1．质量分别为m1、m2和m3的三个质点A、B、C位于光滑的水平面上,用已拉直的不可伸长的柔软的轻绳AB和BC连结,角ABC为-,为一锐角,如图所示,今有一冲量为J的冲击力沿BC方向作用于质点C.求质点A开始运动时的速度.（答案：

）

解:

设A开始运动时物体的速度分别为v1,v2,v3,求v1,

因m1只受到BA绳的拉力,m3只受到BC绳的拉力,所以当A刚开始运动时v1沿AB方向,v3沿BC

方向,设v2与BC夹角为,沿BC方向动量定理：

J=m1v1cos+m2v2cos+m3v3

垂直BC方向动量守恒m1v1sin=m2v2sin

沿绳方向速度相等（绳不可伸长）v1=v2cos（+）,v3=v2cos

得:

2．如图所示，三个质量都是m的刚性小球A、B、C位于光滑的水平桌面上（图中纸面），A、B之间，B、C之间分别用刚性轻杆相连，杆与A、B、C的各连接处皆为“铰链式”的（不能对小球产生垂直于杆方向的作用力）．已知杆AB与BC的夹角为-，

）

解：

令I表示极短时间t内挡板对C冲量的大小，因为挡板对C无摩擦力作用，可知冲量的方向垂直于DE，如图所示；

表示B、C间的杆对B或C冲量的大小，其方向沿杆方向，对B和C皆为推力；

表示t末了时刻C沿平行于DE方向速度的大小，

表示t末了时刻B沿平行于DE方向速度的大小，

表示t末了时刻B沿垂直于DE方向速度的大小．

有动量定理，对C有

，

对B有

，对AB有

沿B、C沿杆的方向的分速度必相等．故有

有以上五式，可解得

.

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