六年级圆典型试题归纳总结材料.docx
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六年级圆典型试题归纳总结材料
认识圆
1、圆的定义：
圆是由曲线围成的一种平面图形。
2、圆心：
将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
一般用字母0表示。
它到圆上任意一点的距离都相等.
3、半径：
连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4、直径：
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用字母d表示。
直径是一个圆内最长的线段。
5、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。
所有的半径都相等，所有的直径都相等。
1
7•在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的-。
2
用字母表示为：
d=2r或r=—
2
8、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。
这些图形都是轴对称图形。
10、只有1一条对称轴的图形有：
角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。
只有2条对称轴的图形是：
长方形
只有3条对称轴的图形是：
等边三角形
只有4条对称轴的图形是：
正方形；
有无数条对称轴的图形是：
圆、圆环。
二、圆的周长
1、圆的周长：
围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
用字母C表示。
2、圆周率实验：
在圆形纸片上做个记号，与直尺0刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆
的周长。
发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（n）。
3.圆周率：
任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周
用字母n（pai）表示。
（1）、一个圆的周长总是它直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数。
圆周率n是一个无限不循环小数。
在计算时，一般取n〜3.14
（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是n倍，而不是3.14倍。
（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之
4、圆的周长公式:
C=nd：
：
：
，d=C十n
或C=2nr'■■■""r=C宁2n
5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
6、区分周长的一半和半圆的周长：
计算方法：
2nr*2即nr
计算方法：
nr+2r即5.14r
用字母S表示。
（1）周长的一半：
等于圆的周长宁2
（2）半圆的周长：
等于圆的周长的一半加直径
三、圆的面积
1、圆的面积：
圆所占平面的大小叫做圆的面积2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
顶点在圆心的角叫做圆心角3、圆面积公式的推导:
（1）、用逐渐逼近的转化思想：
体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复
杂为简单，化抽象为具体。
（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方_
（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
因为：
长方形面积=长X宽
所以：
圆的面积=
=圆周长的一半
X圆的半径
S圆=
nXr
圆的面积公式：
S圆=
n2
r2=S*n
4、环形的面积：
一个环形，外圆的半径是R,内圆的半径是r。
（R=r+环的宽度.）
S环=ttR2—nr2或
环形的面积公式:
S环=n（R2—r2）。
5、扇形的面积计算公式：
S扇=nr2X—（n表示扇形圆心角的度数）
360
6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。
而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。
例如：
在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径和周长就都扩大3倍，而面积扩大9倍。
7、两个圆：
半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。
例如：
两个圆的半径比是2:
3，那么这两个圆的直径比和周长比都是2:
3，而面积比是4：
9
8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：
4:
n
9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大,正方形居中，长方形面积最小。
反之,面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。
10、确定起跑线：
（1）、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的圆的周长+两个直道的长度。
（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。
（因此起跑线不同）
（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是：
2XnX跑道的宽度
（4）、当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2na厘米；当一个圆的直径增加a
厘米时，它的周长就增加na厘米。
11、常用各n值结果：
n=
3.14
3n=
9.42
5n=
15.7
7n=
21.98
2n=
6.28
4n=
12.56
6n=
18.84
8n=
25.12
9n=
28.26
16n
=50.24
36n
=113.04
96n
=301.44
10n
=31.4
25n
=78.5
64n
=200.96
12、常用平方数结果
112=121
122=
144
132=169142=
196
152=
225
162
256
172=289
182
=324
192=361
第一讲圆的周长与面积
学习提示：
圆是一种由封闭的曲线围成的平面图形，在日常生活中随处可见。
它的魅力、它的独特
的性质使得它在人们生活和生产中的位置是其他形状所无法取代的。
我们每人都经常遇见这样的问题：
为一个圆形桌布绣上花边要买多长的花边；修一个圆
形花圃要购买多少草皮；如何用现有的栅栏围成一个尽可能大的菜地等。
这些都涉及到圆的周长和面积。
圆的周长公式是C2r或Cd,圆的面积公式是Sr2。
求圆的周长和面积的
必备条件是圆的半径或直径，但有时并不能求出半径，可以把r2做为一个条件来求解。
圆
是轴对称图形，在计算周长和面积时，还可以运用割补、旋转、平移等方法进行转化。
典型题解
例题1如图，求阴影部分的周长（单位：
米）
分析如右图，阴影部分的周长分为三部分：
弧AC、线段CB、圆0周长的一半ADBo△
DOB是一个等腰直角三角形、角OBD的度数是45度，所以弧AC的所在圆的半径为20
45
厘米，其长度是这个圆的周长的。
线段CB的长与线段AB的长相等，都是20厘米。
360
圆O的直径也是20厘米，其周长的一半可求。
将三部分的长度相加即为阴影部分的周长。
解答：
（1）弧AC的长
45
3.14（202）15.7（厘米）
360
（2）圆O周长的一半
3.1420231.4（厘米）
（3）阴影部分的周长
15.7+20+31.4=67.1（厘米）
答：
阴影部分的周长67.1厘米
例2、有三根直径都是2分米的圆柱形木材，想用一根绳子把它们捆成一捆，捆三圈最
短需要多少分米长的绳子（打结处绳长不计）？
ij
分析用绳子捆三圈的长度就是指周长的3倍。
这个图形的周长可以分为两类：
线段的长
度（如线段AB）与弧的长度（如弧BC）。
从下图不难看出：
共有三条线段，每条线段的长
度都等于圆的直径的长度：
功有三段弧，三个圆的圆心相连得到一个正三角形，没个内角都
是60度，角BOC的度数为360—90X2—60=120。
每段弧的长度等于圆的周长的
1201
3603，
三段弧正好等于一个圆的周长。
解答（3.14X2+2X3）X3
=（6.28+6）X3
=12.28X3
=36.84（分米）答：
捆三圈最少也要36.分米长的绳子。
例3、根据图中给出的数据，求阴影部分的面积。
分析：
将左边阴影部分沿着半径AO翻转，和右图的阴影部分组成了平行四边形ABCD，计
算平行四边形面积即可。
解答20=2（平方厘米）
例4、下图是由两个正方形组合成的，其中正方形ABCD的边长4厘米，正方形EFGD的
边长是6厘米，求图中阴影部分的面积。
1
分析扇形EDG是半径6厘米的圆的面积的，阴影部分是扇形EDG的一部分，但要先
4
求出△HDC的面积，就要先求出线段HD的长度，因此连接HAo△BAG的面积减去△BAH的面积可得△HAG的底是4+6厘米，反用三角形面积公式，可得线段HD的长度，进而求出AHDC的面积，阴影部分的面积可求。
解答连接HA
（1）、△HAG的面积=△BAG的面积一△BAH的面积可得
（4+6）X4-2—4X4-2=12（平方厘米）
（2）、线段HD的长度
12X2+（4+6）=2.4（厘米）
（3）、△HDC的面积
6X2.4+2=7.2（平方厘米）
（4）、阴影部分的面积是
1
3.14X62X—7.2=21.06（平方厘米）
4
答：
图中阴影部分的面积21.06平方厘米。
例5如图（单位：
厘米），OA=OB=OC,AB=10。
求图形的面积
分析图形由两部分构成：
扇形COA>AAOB。
连接AC,如下图：
△AOB、mOC都是等腰直角三角形，所以△ABC也是等腰直角三角形，由于AB=10,10X10+2=50（平方分米），可得△ABC的面积，除以2可得△AOB、^AOC两个三角形的面积25平方分米。
在△AOC中，OAXOC+2=25，所以OAXOC=50，既扇形COA所在圆的R2=50。
扇形面积可求。
解答连接AC。
（1）、△ABC的面积：
10X10+2=50（平方分米）
（2）、△AOB>AAOC的面积：
50-2=25（平方分米）
（3）、扇形AOB的面积：
R2=OAXOC=25X2=50
1
3.14X50X-=39.25（平方分米）
4
（4）、图形的面积：
39.25+25=64.25（平方分米）
答这个图形的面积是64。
25平方分米。
（单
例6、如下图，△ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴影部分的面积。
位：
分米）
。
从图中
正方形的对
分析连接BD，以B点为轴心旋转BC,可以得到一个新的图形（如下图所示）可以看出阴影部分正好是直径10分米的圆中减去边长一个最大正方形的面积。
角线是10分米，可以用对角线长度的平方再除以2求出正方形的面积。
■■■?
>
解答3.14X（10+2）2—10X10-2
=3.14X25—50
=78.5—50
=28.5（平方分米）
答：
图中阴影部分的面积28.5平方分米
课后自测
1、一个半圆形的花圃直径10米，在花圃的周围要围上装饰性护栏，护栏长多少米?
2、把半径分别是6厘米、4厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长？
3、有四根直径是1米的圆柱形管子，用一根铁丝紧紧地捆在一起，铁丝的长度最短是多少
米？
（打结处铁丝长度不计）
4、把半径都是10分米的两个圆如下图放置，求图形外围的周长是多少分米?
5、求图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
6、求图中阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
50平方厘米，求环形的
7、如图：
小正方形的边长是大正方形边长的一半，阴影的面积是
面积是多少平方厘米?
8、如图，A、B、C是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴影部分的面积。
匚
9、右图是圆心为0,半径是10厘米的圆。
以C为圆心，CA为半径画一条弧。
求阴影部
分
的面积。
（广东省1998年复赛题）
10、如图，一个圆心角为45°的扇形，其中等腰直角三角形的直角边是6厘米，求阴影部
分的面积。
第一讲圆的周长与面积
练习题:
例1.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
圆面积减去等腰
解：
这是最基本的方法:
直角三角形的面积，
-2X仁1.14（平方厘米）
例2.正方形面积是7平方厘米，求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去
圆的面积。
设圆的半径为r，因为正方形的面积为7平方厘米，所以
7-
=7,
所以阴影部分的面积为：
=7-
X7=1.505平方厘米
例3.求图中阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
圆组成一
解：
最基本的方法之一。
用四个
个圆，用正方形的面积减去圆的面积，
所以阴影部分的面积：
2X2-n=0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
同上，正方形面积减去圆面积，
）=16-4n
=3.44平方厘米
例5.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见，
我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方形,
）X2-16=8n
-16=9.12平方厘米
另外：
此题还可以看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
梯形面积减去
圆面积，
（4+10）X
4-
71
=28-4n=15.44
平方厘米
例7.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
正方形面积可用（对角线长X对角线长十2，求）
正方形面积为：
5X5-2=12.5
+4-12.5=7.125平
所以阴影面积为：
n
方厘米
（注:
以上几个题都可以直接用图形的差来求，无需割、补、增、减变形）
例8.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面积，割
圆,
补以后为
）=3.14平方厘米
例9.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形,
所以阴影部分面积为：
2X3=6平方厘米
例10.求阴影部分的面积。
（单位:
厘米）
解：
同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个长方形,
所以阴影部分面积为2X仁2平方厘米
（注：
8、9、10三题是简单割、补或平移）
课后练习题：
1.求阴影部分的面积
2.图中圆的周长是12.56cm，圆的面积正好等于长方形的面积，求阴影部分的面积。
3.如图，正方形DEOF在四分之一圆中，如果圆的半径为1厘米，那么，阴影部分的面积是多少平方厘米?
4.三角形ABC是等腰直角三角形，半圆的直径BC长20cm，求阴影面积。
5.求阴影部分面积。
4cm
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