用matlab解决电磁学中的电场问题.docx
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用matlab解决电磁学中的电场问题
用MATLAB解决电磁学中电场问题
摘要：
二十一世纪以来，随着电脑技术的进一步提高以及电脑在国内的普遍使用，在很多教学领域运用电脑软件来辅助教学已经非常普遍，然而用电脑软件处理仿真电学及电磁学中电场及电势的研究却并不常见。
在进行电场及电势问题的研究时，电场虽然是确实存在的，但是由于其抽象而不易被理解，而且即使在实验室中，我们也很难实现其理想化模型。
这样就使得教师在教学过程中不能生动且直观的描述出来，学生在学习过程中也将很难理解和接受。
本文利用电脑数学软件MATLAB模拟仿真真空中自由电荷，电偶极子，带电细棒，尖端导体等附近静电场电场线及等势线分布图型，从而使其更加形象，生动，直观，更加便于学生学习，理解和接受，同时使的教师教学更加方便，快捷。
关键字：
MATLAB软件，静电场，尖端导体，尖端效应，电场强度，电势。
1引言·····························································1
2用MATLAB处理静电场中的电场线和等势线的问题············1
2.1用MATLAB模拟仿真真空中点电荷的电场线和等势线分布········1
2.2用MATLAB模拟仿真真空两个点电荷的电场线及等势线分布·······3
2.2.1用MATLAB模拟真空中两个同种点电荷的电场线及等势线分布·····3
2.2.2用MATLAB模拟真空中两个同号但不等量点电荷的电场线和电势分布··5
2.2.3用MATLAB模拟电偶极子的电场线及等势线分布··································································6
3用MATLAB模拟均匀带电细棒的电和分布情况···························8
4用MATLAB模拟两个无限长导线的电位和电场分布······················9
5尖端导体附近的电场及电势特点及其应用·····························11
5.1电场函数····················································11
6总结·····························································13
7参考文献·························································14
1引言：
二十一世纪以来，随着电脑技术的进一步提高以及电脑在国内的普遍使用，在很多教学领域运用电脑软件来辅助教学已经非常普遍，然而用电脑软件处理仿真电学及电磁学中电场及电势的研究却并不常见。
我们在研究电磁学中的电场问题时，通常将自由电荷看作一个理想化的模型。
电场虽然存在，但是人们是不能直接观察到的，并且这些理想化模型很难在实验室建立起来，这样就会显得空洞乏味，使得在教学的过程老师授课难以到位，学生在学习过程中不容易理解和接受。
本文主要运用电脑数学软件MATLAB来模拟真空中自由电荷、带电细棒，电偶极子及尖端导体等产生的静电场在空间中的分布，并通过二维和三维图形模拟电场和电势的分布图像。
我们把这些理想化的模型和抽象的概念通过电脑软件实现，既能使学生容易理解，也可以启发他们在学习过程中充分运用电脑软件资源，使得学习效率倍速提高。
MATLAB作为一种科学高效的计算软件，其主要作用是进行矩阵的运算，并且还可以进行信息领域的处理。
它比起其他电脑软件使用更加方便，输入更加简洁，运算更加高效，内容更加丰富，并且很容易由用户自行扩展。
通过对MATLAB软件的运用，可以在学习过程中具有更高效率、更加富有创造性的进行科学计算
2用MATLAB处理静电场中的电场线和等势线的问题
在电磁学中，点电荷，电场强度，以及点电荷在真空中电场的分布等，都是电磁学中重要的内容。
在处理这些问题时我们一定要做到形象直观，使学生更易理解，进入二十一世纪以来，随着电脑技术的提高，作为二十一世纪的新型人才，我们必不可少的要用到一些电脑软件。
下面我们就用MATLAB程序将这些抽象的概念模拟成形象的图像，清晰地展现在大家面前，以方便学习和交流。
2.1用MATLAB模拟仿真真空中点电荷的电场线和等势线分布
为了研究以及学习方便，我们假设真空中存在一点电荷，其所带电荷量为Q，并规定其初始位置为坐标原点，从而建立平面直角坐标系，用数学软件MATLAB模拟仿真出点电荷产生的电场线和等势线在真空中的分布图像。
图1：
真空中点电荷的电场线和等势线分布图
2.2用MATLAB模拟仿真真空两个点电荷的电场线及等势线分布
研究完真空中的点电荷后，我们不禁会想到如果是两个点电荷呢?
他们的电场分布又会是何种情景，对于两个带等量同号的点电荷，由于它们的相对位置，电荷量的分布等因素的不同，用几何作图的方法描述出它们的电场线和等势线分布的立体图，就显得有一定困难。
而通过运用数学软件MATLAB，只要我们知道这两个点电荷的距离，明确它们所带的电荷量，就可以模拟出它们的电场线和等势线分布图像。
使得我们更加形象直观的认识到电场及电势现象，从而在学习中更易理解和接受。
2.2.1用MATLAB模拟真空中两个等量同号点电荷的电场线和电势分布
根据我们高中及大学期间所学电磁学知识，如果我们知道点电荷在真空中所产生的电势分布为V，那么电场强度的大小为电势梯度的相反数，即：
（1）
为了研究的方便，我们往往规定真空中无穷远的电势为零，则它们所发出的的电场中，空间的电势分布为：
（2）
通过计算电势梯度，便可以得到两个点电荷的电场分布。
在运用数学软件模拟两个点电荷电场线和等势线时，先运用指令meshgrid（x,y），它的作用是把分布在xy平面内的，一个区域内的所有场点都一一表示出来。
设两个点电荷分别位于距离原点1m处，为了有较好的直观效果，这里取
库伦。
图2：
等量同号点电荷的电场线和等势线分布图
2.2.2用MATLAB模拟真空中两个同号但不等量点电荷的电场线和电势分布
由我们所学过的知识可知，同号但不等量电荷的电场和电势公式与等量同号电荷相同，下面我们就模拟同号但不等量点电荷的电场线和等势线分布。
图3：
等量同号点电荷的电场线和等势线分布图
2.2.3用MATLAB模拟仿真电偶极子的电场线及等势线分布
既然我们在前文已经做了同种电荷的电场及电势分布，那么对与异种电荷呢？
在这里我们不妨再做一下它们的电场及电势分布图，首先我们假设这对异种电荷所带电荷量相等，并且处于真空中，此时我们习惯上叫这对异种电荷为电偶极子，下面我们就用数学软件MATLAB模拟这对电偶极子的电场线和等势线在真空中的分布情况。
电偶极子的带电量为
，正电荷的位置为（2,0），负电荷的位置为（-2,0）。
通过函数指令就能实现。
图4：
电偶极子的电场线和等势线分布图
3用MATLAB模拟均匀带电细棒的电场线和等势线分布情况
假设电荷Q均匀分布在长为L的细棒上，求其在真空中的电场分布情况。
根据我们学过的有关电场的知识，在真空中，对于均匀带电的细棒，根据电场的叠加原理，我们可以在一些特定位置通过数学积分求出电场强度的解析解。
在细棒延长线上的电场强度为：
（3）
在细棒的垂直平分线上，与棒的距离为r处的场强为：
（4）
然而对于其它位置的电场强度的求解，由于不具有对称性，很难得到解析解，这时我们则必须借助于电脑，将所得数字通过图形直观表达出来。
图5：
带电细棒的电场线和等势线分布图
4用MATLAB模拟两个无限长导线的电位及电力分布
假设两根电荷线密度为
，与z轴平行，分别置于
，
的平行无限长带电导线，那么其电位及电力分布可用一下程序实现：
图6：
无限长平行导线的电位分布图
图7：
无限长平行带电体电力线分布
5尖端导体附近的电场特征及其应用
5.1电场函数
如下列图所示：
这是一尖端导体的示意图
图8：
尖端导体
它的电场用函数可表示为如下三式：
（7）
（8）
（9）
其中，底面和顶点的距离为r，
为半顶角，
，
。
为了方便计算，
我们把此尖端导体的电势假设为零，从而得出上式，式中A为待定常量。
对于尖端导体而言，我们认为
，即
。
通过分析推到，得到上面三式
运用MATLAB绘图结果，如下图。
图9：
尖端导体的电场线和等势线分布图
6总结：
运用MATLAB语言形象直观的模拟电磁学中的静电场问题，不但给学生的学习，老师的教学都带来很多的方便，而且将物理学中的抽象问题数字化、形象化，直观化，使人们更容易接受。
通过对静电场问题的研究，用MATLAB解决物理中力、热、光、电，磁以及近代物理中的一些问题，对于学习效率的提高，科学研究方法的探寻，以及科学工作都有相当大的益处。
进入新世纪以来，随着电脑技术的飞速发展，不再是古人所说隔行如隔山，而是各种学科之间的互相交融，因此对大学生的培养也提出了更加苛刻但却积极的要求。
学生不仅要掌握本学科的知识，还需要有广博的知识视野和先进的学习工具载体，而其中电脑技术在理论课学习中的运用，在素质教育中起着举足轻重的作用。
因此，电脑软件模拟技术将会很快运用于现代化教学，从而使教学过程更加方便快捷，教学效果更加形象直观，进一步提高我国现代化教育进程，做到与国际接轨。
致谢：
在这里，我首先向各位领导及老师致以崇高的敬意和深深的感谢。
大学四年，我明白了许多道理，学会了许多知识，最重要的是我不再是一个只知道学习的呆子，我知道了如何学以致用。
作为一名普通大学生，我完成了我应该完成的学业，我想说我爱你，大同大学。
这篇论文是我的处女作，肯定会有许多不足之处，希望各位老师给予批评指正，敬礼！
参考文献
（1）梁灿彬。
《电磁学》，北京高等教育出版社，2004
（2）马涛，《数字化大学物理》浙江，浙江大学出版社，2008
（3）张德丰，《MATLAB数值计算方法》北京，机械工业出版社。
2010
（4）刘定兴，胡先权，尖端导体外表附近的静电场研究【N】，重庆三峡学院学报，22〔2006〕104-106
（5）张志涌，matlab教程，北京航空航天大学出版社，2010，97-98
（6）C.Zhong,W.B.Hu,Y.F.Cheng,Ontheessentialroleofcurrentdensityinelectrocatalyticactivityoftheelectrodepositedplatinumforoxidationofammonia,J.PowerSources,196（2011）8064-8072.
（7）陈怀深。
《MATLAB及其在理工课程中的应用指南》，西安电子科技大学出版社
（8）程守株。
《普通物理学》，高等教育出版社
（9）苏金明，张莲花，刘波。
MATLAB工具箱应用，北京，电子工业出版社，2002
（10）MATLAB.help.美国。
Math.work公司，2004
Abstract:
inthe21stcentury,alongwiththecomputertechnologytofurtherimproveandthewidespreaduseofcomputersathome,inalotofteachingusingcomputersoftwaretoassistinteachingisverycommon,butwithacomputersoftwareinthesimulationelectricityandelectromagnetismelectricfieldandelectricpotentialoftheresearcharenotcommon.Inthestudyofelectricfieldandpotentialproblems,althoughelectricfieldisreal,butbecauseofitsabstractanddifficulttobeunderstood,andeveninthelab,wealsodifficulttorealizeitsidealmodel.Thisallowsteachersintheteachingprocesstobevividandintuitivedescription,studentsinthelearningprocesswillbedifficulttounderstandandaccept.Thispaper,byusingmathematicalsoftwareMATLABcomputersimulationinavacuumfreecharge,electricdipole,achargedthinrods,cutting-edgeconductorssuchaselectricfieldlinesandequipotentiallinesneartheelectrostaticfielddistributionpattern,makingitmoreimage,vivid,intuitive,morefacilitatestudentlearning,understandandaccept,atthesametime,maketheteachingmoreconvenient,quick.
Keywords:
MATLABsoftware,theelectrostaticfield,cutting-edgeconductor,edgeeffect,theelectricfieldintensity,electricpotential
附录：
图一单个点电荷程序如下：
clear;
E0=8.85e-12;
c0=1/4/pi/E0;
q=1.6*10^（-19）;
xm=2.5;
ym=2;
x=linspace（-xm,xm）;
y=linspace（-ym,ym）;
[X,Y]=meshgrid（x,y）;
R=sqrt（X.^2+Y.^2）;
U=c0*q./R;
u=1e-9:
0.5e-9:
5e-9;
figure
（1）
contour（X,Y,U,u）
holdon
plot（0,0,'o','markersize',12）
axisequal
axistight
title（'单个点电荷的平面电场线与等势线','fontsize',12）;
xlabel（'r','fontsize',12）;
ylabel（'E（U）','fontsize',12）;
图二等量同号点电荷程序如下：
clear;
clc;
closeall;
E0=8.85e-12;
c0=1/4/pi/E0;
q=1.6*10^（-19）;
a=1;
xm=2.5;
ym=2;
x=linspace（-xm,xm）;
y=linspace（-ym,ym）;
[X,Y]=meshgrid（x,y）;
R1=sqrt（（X+1）.^2+Y.^2）;
R2=sqrt（（X-1）.^2+Y.^2）;
U=c0*q./R1+c0*q./R2;
u=1e-9:
0.5e-9:
5e-9;
figure
（1）
contour（X,Y,U,u）
gridon
legend（num2str（u'））
holdon
plot（-1,0,'o','markersize',12）
plot（1,0,'o','markersize',12）
axisequaltight
title（'等量同号点电荷的电场线与等势线','fontsize',12）
xlabel（'r','fontsize',12）
ylabel（'E（u）','fontsize',12）
txt=[num2str（a）];
text（-xm,-ym-0.3,txt,'fontsize',6）;
图三同号但不等量点电荷程序如下
clear;
clc;
closeall;
E0=8.85e-12;
c0=1/4/pi/E0;
q1=1.6*10^（-19）;
q2=2*q1;
a=1;
xm=2.5;
ym=2;
x=linspace（-xm,xm）;
y=linspace（-ym,ym）;
[X,Y]=meshgrid（x,y）;
R1=sqrt（（X+1）.^2+Y.^2）;
R2=sqrt（（X-1）.^2+Y.^2）;
U=c0*q1./R1+c0*q2./R2;
u=1e-9:
0.5e-9:
5e-9;
figure
（1）
contour（X,Y,U,u）
gridon
legend（num2str（u'））
holdon
plot（-1,0,'o','markersize',12）
plot（1,0,'o','markersize',12）
axisequaltight
title（'同号但不等量点电荷的电场线与等势线','fontsize',12）
xlabel（'r','fontsize',12）
ylabel（'E（u）','fontsize',12）
txt=[num2str（a）];
text（-xm,-ym-0.3,txt,'fontsize',6）;
图四电偶极子的电场线及等势线程序如下
clear;clf;
q=2e-6;k=9e9;a=2.0;b=0;x=-6:
0.6:
6;y=x;
[X,Y]=meshgrid（x,y）;
rp=sqrt（（X-a）.^2+（Y-b）.^2）;
rm=sqrt（（X+a）.^2+（Y+b）.^2）;
V=q*k*（1./rp-1./rm）;
[Ex,Ey]=gradient（-V）;
AE=sqrt（Ex.^2+Ey.^2）;Ex=Ex./AE;Ey=Ey./AE;
cv=linspace（min（min（V））,max（max（V））,51）;
contour（X,Y,V,cv,'r-'）
axis（'square'）
title（'电偶极子的电场线与等势线','fontsize',12）,
holdon
quiver（X,Y,Ex,Ey,0.6,'g'）
plot（a,b,'bo',a,b,'g+'）
plot（-a,-b,'bo',-a,-b,'w-'）
xlabel（'x'）;
ylabel（'y'）;
holdoff
图5：
带电细棒的电场线和等势线分布图程序如下
clearall
lam=le-9;
ep0=8.85*le-12;
c0=lam/（4*pi*ep0）;%归并常数
Lh=3;
x=-6.5:
0.11:
6.5;
y=-5.5:
0.11:
5.5;
l=-Lh:
0.1:
Lh;
[X,Y,L]=meshgrid（x,y,l）;
r=sqrt（（Y-l）.^2+x.^2）;
dv=c0./r;
v=pi/40*trapz（dv,3）;%求电势
[Ex,Ey]=gradient（-v,0.2）;%求电场
figure
axis（[-6,6,-5,5]）;
L=line（[0,0],[-3,3],'color','r','linestyle','-','linewidth',5.5）;%画带电棒
holdon
contour（X（:
:
1）,Y（:
:
1）,v,[6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32],'g'）
holdon
sx=0.2;
sy=[-3.2:
0.4:
3.2];
[Sx,Sy]=meshgrid（sx,sy）;%计算电场线起点
streamline（X（:
:
1）,Y（:
:
1）,Ex,Ey.Sx.Sy）
holdon;
streamline（X（:
:
1）,Y（:
:
1）,-Ex,Ey,-Sx,Sy）;
xlabel（'x'）;
ylabel（'y'）;
title（'带电细棒的电势及电场分布'）
图6：
无限长平行导线的电位分布图程序如下
[X,Y]=meshgrid（-0.16:
0.008:
0.16）;%形成网格
[m,n]=size（X）;%定义m,n的大小
Z=log（sqrt（（0.04-X）.^2+Y.^2）./sqrt（（0.04+X）.^2+Y.^2+eps）+eps）;%输入电位方程式
fori=1:
m
forj=1:
n
if（X（i,j）+0.04）.^2+Y（i,j）.^2<=0.0001
Z（i,j）=2;
elseif（X（i,j）-0.04）.^2+Y（i,j）.^2<=0.0001
Z（i,j）=-2;
end
end
end
%形成圆心在（0.04,0）和（-0.04,0）半径为0.01区域的图形
meshc（X,Y,Z〕
图7：
无限长平行带电体电力线分布程序如下
[X,Y]=meshgrid（-0.1:
0.01:
0.1）;%生成网格
u=log（（sqrt（（0.04-X）.^2+Y.^2）./sqrt（（0.04+X）.^2+Y.^2+eps）+eps））;
%输入电位方程式
[DX,DY]=gradient（-u）;%计算电场
contour（X,Y,u,20）
holdon
quiver（X,Y,DX,DY）
图9：
尖端导体的电场线和等势线分布图程序如下
symsar
E=sqrt（（（1/（2*log（2/a）））*r^（（1/（2*log（2/a）））-
1）*（1+2*（1/（2*log（2/a）））*log（cos（（pi-a）/2））））^2+（（1/
（2*log（2/a）））*r^（（1/（2*log（2/a）））-1）*tan（（pi-a）/2））^2）;
ezsurf（a,r,E,[0+eps,1,0+eps,0.1],64）
shadinginterp
title（'尖端导体尖端附近的场强'）
xlabel（'半顶角'）
ylabel（'距顶点距离'）
zlabel（'场强/A'）
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