北京市房山区中考数学二模试题含答案解析.docx
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北京市房山区中考数学二模试题含答案解析
2016年北京市房山区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共30分，每小题3分）：
下列各题均有四个选项，其中只有一个使符合题意的，请把正确答案的字母在答题卡相应位置涂黑.
1．小星同学在“XX”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．617×105B．6.17×106C．6.17×107D．0.617×108
2．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，倒数最大的是（ ）
A．bB．dC．aD．c
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．小明掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，那么向上一面的点数大于4的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如果一个正多边形的每个外角为72°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，如果∠C=40°，那么∠ABD的度数为（ ）
A．40°B．90°C．80°D．50°
7．国家气象局监测2015年某日24小时PM2.5的值，其中6个时刻的数值如表：
时刻
4时
5时
6时
7时
8时
9时
PM2.5（毫克∕立方米）
342
342
333
329
325
324
则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
A．331；332.5B．329；332.5C．331；332D．333；332
8．函数y=kx﹣k与
在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．在科技迅猛发展的今天，移动电话成为了人们生活中非常普及的通讯工具，选择经济实惠的计费方式成为了人们所关心的具有实际意义的问题．下表是两种移动电话的计费方式：
月使用费（元）
主叫限定时间（分钟）
主叫超时费/（元/分）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
若小明的爸爸每月打电话的时间在300分钟，请问选择哪种方式省钱（ ）
A．方式一B．方式二C．两种方式一样D．无法确定
10．如图，正方形ABCD的顶点A（0，
），B（
，0），顶点C，D位于第一象限，直线x=t，（0≤t≤
），将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分（阴影部分）的面积为S，则函数S与t的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共18分，每小题3分）：
11．分解因式y3﹣2y2+y= ．
12．如图，公园内有一小湖，为了测量湖边B、C两点间的距离，小明设计如下方案，选取一个合适的A点，分别找到AB、AC的中点D、E，若测得DE的长为35米，则B、C两点间的距离为 米．
13．随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站牌，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用．新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上下车站站名所对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价．具体来说：
乘车路程计价区段
0﹣10
11﹣15
16﹣20
…
对应票价（元）
2
3
4
…
另外，一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行2.5折优惠．
一位家住十渡地区的张老师持卡乘车，上车时站名上对应的数字是6，下车时站名上对应的数字是24，那么，张老师乘车的费用是 元．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的面积为 ．
15．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：
已知：
如图1，Rt△ABC，∠C=90°．
求作：
Rt△DEF，使∠DFE=90°，DE=AB，FE=CB．
小芸的作图步骤如下：
如图2：
（1）作线段FE=CB；
（2）过点F作GF⊥FE于点F；
（3）以点E为圆心、AB的长为半径作弧，
交射线FG于点D，连接DE，
所以△DEF即为所求作的直角三角形．
老师说：
“小芸的作图步骤正确，且可以得到DF=AC”．
请回答：
得到DF=AC的依据是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P5的坐标为 ，点P2016的坐标为 ．
三、解答题（本大题共72分，其中第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）：
17．计算：
．
18．已知4a2﹣a﹣1=0．求代数式（3a+1）（3a﹣1）﹣a（a+2）﹣1的值．
19．解不等式x+1＜6（x﹣2）﹣2，并把它的解集在数轴上表示出来．
20．已知：
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，且∠AED=∠ABC，DE=3，BC=5，AC=12．求AD的长．
21．为帮助灾区人民重建家园，某校学生积极捐款．已知第一次捐款总额为9000元，第二次捐款总额为12000元，两次人均捐款额相等，但第二次捐款人数比第一次多50人．求该校第二次捐款的人数．
22．已知：
如图，▱ABCD，延长边AB到点E，使BE=AB，连接DE、BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD=2∠A，求证：
四边形BECD是矩形．
23．当雾霾出现红色预警时，全市中小学就随即展开“停课不停学”的活动，这一活动倍受家长们的关注．为此某媒体记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对“停课不停学”的态度（态度分为：
A：
无所谓；B：
赞成；C：
反对），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调査中，共调査了 名中学生家长；
（2）将图①补充完整；
（3）请就雾霾期间如何学习的问题说说你的看法．
24．我们定义：
关于x的一次函数y=ax+b与y=bx+a叫做一对交换函数，例如y=3x+4与y=4x+3就是一对交换函数
（1）写出一次函数y=﹣2x+b的交换函数 ．
（2）当b≠﹣2时，写出
（1）中两函数图象的交点的横坐标 ．
（3）如果
（1）中两函数图象与y轴围成三角形的面积为3，求b的值．
25．在平面直角坐标系xOy中，函数y=
（k≠0，x＞0）的图象如图所示．已知此图象经过A（m，n），B（2，2）两点．过点B作BD⊥y轴于点D，过点A作AC⊥x轴于点C，AC与BD交于点F．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．
（1）如果AC=
OD，求a、b的值；
（2）如果BC∥AE，求BC的长．
26．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，与CA的延长线相交于点E，过点D作⊙O的切线交AC于点F．
（1）求证：
DF⊥AC；
（2）如果sinC=
，AE的长为2．求⊙O的半径．
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣1，0），C（
﹣1，1），D（0，﹣3），A，B在x轴上，且P为AB中点，S△CAP=1．
（1）求经过A、D、B三点的抛物线的表达式．
（2）把抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到一个新的图象G，点Q在此新图象G上，且S△APQ=S△APC，求点Q坐标．
（3）若一个动点M自点N（0，﹣1）出发，先到达x轴上某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点D，求使点M运动的总路程最短的点E、点F的坐标．
28．在△ABC中，BD平分∠ABC（∠ABC＜60°）
（1）如图1，当点D在AC边上时，若∠ABC=42°，∠ACB=32°，请直接写出AB，DC和BC之间的数量关系．
（2）如图2，当点D在△ABC内部，且∠ACD=30°时，
①若∠BDC=150°，直接写出AB，AD和BC之间的数量关系，并写出结论成立的思路．
②若∠ABC=2α，∠ACB=60°﹣α，请直接写出∠ADB的度数（用含α的式子表示）．
29．类比等腰三角形的定义，我们定义：
有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1）如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
（2）问题探究
小红提出了一个猜想：
对角线互相平分且相等的“等邻边四边形”是正方形．她的猜想正确吗？
请说明理由．
（3）如图2，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，
．试探究线段BC，CD，BD之间的数量关系，并证明你的结论．
2016年北京市房山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共30分，每小题3分）：
下列各题均有四个选项，其中只有一个使符合题意的，请把正确答案的字母在答题卡相应位置涂黑.
1．小星同学在“XX”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61700000，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．617×105B．6.17×106C．6.17×107D．0.617×108
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：
将61700000用科学记数法表示为6.17×107．
故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，倒数最大的是（ ）
A．bB．dC．aD．c
【考点】实数与数轴．
【分析】首先根据数轴的特征，判断出实数a，b，c，d的取值范围，然后再根据倒数比较大小．
【解答】解：
由数轴可得：
a=﹣3，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，d=4，
故这四个数中，倒数最大的是c，
故选：
D．
【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是根据数轴判断出实数a，b，c，d的取值范围．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可．
【解答】解：
A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．
故选：
D．
【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的特点是解题的关键．
4．小明掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，那么向上一面的点数大于4的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】概率公式．
【分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：
∵点数大于4的数为：
5，6，
∴向上一面的点数大于4的概率=
=
．
故选C．
【点评】本题考查的是概率公式，熟记随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键．
5．如果一个正多边形的每个外角为72°，那么这个正多边形的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【考点】多边形内角与外角．
【分析】正多边形的外角和是360°，这个正多边形的每个外角相等，因而用360°除以外角的个数，就得到外角和中外角的个数，外角的个数就是多边形的边数．
【解答】解：
∵多边形的外角和为360°，
∴边数=360°÷72°=5，
故这个正多边形的边数是5．
故选：
A．
【点评】考查了多边形内角与外角，根据正多边形的外角和求多边形的边数是常用的一种方法，需要熟记．
6．如图，AB是⊙O的直径，C、D两点在⊙O上，如果∠C=40°，那么∠ABD的度数为（ ）
A．40°B．90°C．80°D．50°
【考点】圆周角定理．
【分析】由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，求得∠DAB的度数．由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角求得∠ADB的度数，进而即可求得∠ABD的度数．
【解答】解：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠C=40°，
∴∠DAB=∠C=40°，
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=50°．
故选D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解此题的关键．
7．国家气象局监测2015年某日24小时PM2.5的值，其中6个时刻的数值如表：
时刻
4时
5时
6时
7时
8时
9时
PM2.5（毫克∕立方米）
342
342
333
329
325
324
则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）
A．331；332.5B．329；332.5C．331；332D．333；332
【考点】中位数；算术平均数．
【分析】根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可．
【解答】解：
这组数据按从小到大的顺序排列为：
324，325，329，333，342，342，
所以这组数据的中位数是
=331，平均数=
=332.5，
故选A．
【点评】本题考查了中位数和平均数的知识，属于基础题，解题的关键是熟练掌握其概念．
8．函数y=kx﹣k与
在同一坐标系中的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【专题】压轴题．
【分析】比例系数相等，那么这两个函数图象必有交点，进而根据一次函数与y轴的交点判断正确选项即可．
【解答】解：
当k＞0时，一次函数过一三四象限，反比例函数过一三象限，符合选项C，故选C．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象性质：
比例系数相等，必有交点；一次函数与y轴的交点是一次函数的常数项．
9．在科技迅猛发展的今天，移动电话成为了人们生活中非常普及的通讯工具，选择经济实惠的计费方式成为了人们所关心的具有实际意义的问题．下表是两种移动电话的计费方式：
月使用费（元）
主叫限定时间（分钟）
主叫超时费/（元/分）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
若小明的爸爸每月打电话的时间在300分钟，请问选择哪种方式省钱（ ）
A．方式一B．方式二C．两种方式一样D．无法确定
【考点】有理数的混合运算．
【专题】应用题；实数．
【分析】根据表格中的数据求出两种方式的费用，比较即可．
【解答】解：
方式一费用为：
58+0.25×150=95.5元；
方式二费用为：
88元，
则方式二省钱．
故选B
【点评】此题考查了有理数的混合运算，弄清两种方式计费方法是解本题的关键．
10．如图，正方形ABCD的顶点A（0，
），B（
，0），顶点C，D位于第一象限，直线x=t，（0≤t≤
），将正方形ABCD分成两部分，设位于直线l左侧部分（阴影部分）的面积为S，则函数S与t的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题．
【分析】通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
【解答】解：
根据图形知道，当直线x=t在BD的左侧时，如果直线匀速向右运动，左边的图形是三角形；
因而面积应是t的二次函数，并且面积增加的速度随t的增大而增大；
直线x=t在B点左侧时，S=t2，
t在B点右侧时S=﹣（t﹣
）2+1，显然D是错误的．
故选C．
【点评】读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程．
二、填空题（本大题共18分，每小题3分）：
11．分解因式y3﹣2y2+y= y（y﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：
y3﹣2y2+y，
=y（y2﹣2y+1），
=y（y﹣1）2．
故答案为：
y（y﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12．如图，公园内有一小湖，为了测量湖边B、C两点间的距离，小明设计如下方案，选取一个合适的A点，分别找到AB、AC的中点D、E，若测得DE的长为35米，则B、C两点间的距离为 70 米．
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理可知DE=
BC，由此即可解决问题．
【解答】解：
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=
BC，
∵DE=35m，
∴BC=70m，
故答案为70．
【点评】本题考查三角形中位线性质，解题的关键是灵活应用三角形中位定理识解决问题，属于中考常考题型．
13．随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站牌，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用．新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上下车站站名所对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价．具体来说：
乘车路程计价区段
0﹣10
11﹣15
16﹣20
…
对应票价（元）
2
3
4
…
另外，一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行2.5折优惠．
一位家住十渡地区的张老师持卡乘车，上车时站名上对应的数字是6，下车时站名上对应的数字是24，那么，张老师乘车的费用是 2 元．
【考点】有理数的减法；绝对值．
【分析】先求得上下车站站名所对应数字之差的绝对值，然后根据表格可得到对应的票价，然后再打5折即可．
【解答】解：
|24﹣6|=18，
∵16＜18＜20，
∴对应票价为4元．
∵一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，
∴张老师乘车的费用=4×0.5=2元．
故答案为：
2．
【点评】本题主要考查的是有理数的减法、绝对值，求得张老师本题乘车对应的票价是解题的关键．
14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的面积为
．
【考点】三角形的面积．
【专题】推理填空题．
【分析】根据图象可以利用割补法，得到△ABC的面积等于大正方形的面积减去三个直角三角形的面积．
【解答】解：
∵在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，
∴△ABC的面积为：
3×3﹣
﹣
﹣
=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是明确三角形面积的计算公式，会运用割补法求三角形的面积．
15．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：
已知：
如图1，Rt△ABC，∠C=90°．
求作：
Rt△DEF，使∠DFE=90°，DE=AB，FE=CB．
小芸的作图步骤如下：
如图2：
（1）作线段FE=CB；
（2）过点F作GF⊥FE于点F；
（3）以点E为圆心、AB的长为半径作弧，
交射线FG于点D，连接DE，
所以△DEF即为所求作的直角三角形．
老师说：
“小芸的作图步骤正确，且可以得到DF=AC”．
请回答：
得到DF=AC的依据是 斜边、直角边（基本事实），全等三角形对应边相等，或全等三角形对应边相等，勾股定理 ．
【考点】作图—复杂作图．
【分析】由作法直接得到判断Rt△ACB≌Rt△DFE的条件即可．
【解答】解：
由作法得，FE=CB，DE=AB，GF⊥FE，
∴∠DFE=∠ACB=90°，
在Rt△ACB和Rt△DFE中
，
∴Rt△ACB≌Rt△DFE，
∴AC=DF，
故答案为：
斜边、直角边（基本事实），全等三角形对应边相等，或全等三角形对应边相等，勾股定理．
【点评】此题是作图﹣﹣﹣复杂作图，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解本题的关键是读懂作法，也是本题的难点．
16．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P5的坐标为 （﹣2，0） ，点P2016的坐标为 （0，0） ．
【考点】规律型：
点的坐标．
【分析】根据中心对称的性质找出部分Pn的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：
观察，发现规律：
P0（0，0），P1（2，0），P2（﹣2，2），P3（0，﹣2），P4（2，2），P5（﹣2，0），P6（0，0），P7（2，0），…，
∴P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）．
当n=5时，P5（﹣2，0）；
∵2016=6×336，
∴P2016（0，0）．
故答案为：
（﹣2，0）；（0，0）．
【点评】本题考查了规律型中的点的坐标以及中心对称的性质，解题的关键是找出变化规律“P6n（0，0），P6n+1（2，0），P6n+2（﹣2，2），P6n+3（0，﹣2），P6n+4（2，2），P6n+5（﹣2，0）（n为自然数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据题意列出部分Pn点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是关键．
三、解答题（本大题共72分，其中第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）：
17．计算：
．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可得到结果．
【解答】解：
原式=9+2
+1﹣3
=10﹣
．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．已知4a2﹣a﹣1=0．求代数式（
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