数形结合提高数学思维力.docx
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数形结合提高数学思维力
巧用“数形结合”，提高学生思维力
灌南县长江路小学罗锐
发表于2013.5期44-46页
2011年修订后的《数学课程标准》将数学的定义从原来的“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。
”改为“数学是研究数量关系和空间形式的科学。
”
这样的定义从本质上突显数学的学科特征，数与形是数学研究的两个重要方面。
在数学内容学习上代数知识的学习可借助于图形的性质，将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化给人以直觉的启示，从而帮助学生理解。
而将图形问题转化为代数问题，借助于数的精确性和严密性来阐明形的某些属性，使几何问题代数化，可让人获得精确的结论，促进对形的直观认识，便于学生在量化过程中形成空间观念。
这样的定义，也符合小学生的思维特点和学习规律，小学生的思维是从具体形象思维为主要形式逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，很大程度上仍具有具体形象性。
所以小学生在学习数学知识时更多的是形象思维，这就需要科学的渗透数形结合的思想。
关于数形结合的概念，有不同的理解，在众多理解中笔者比较认同这样的一种说法——数形结合就是在问题解决中，将数量关系的精确刻画和空间形式的形象直观密切结合，调用代数和几何的双面工具，揭露问题的深层结构，达到解题的目的。
数学家华罗庚曾对数形结合有过形象的说法：
“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离”。
他还指出“数缺形时少直观、形少数时难入微”。
数形结合思想应包含两点内容。
以形助数，在“数”上构“形”。
代数知识的学习可以借助形使抽象的数更直观，从而利于学生的认识理解；由数思形，在“形”中觅“数”。
以数想形，解决图形问题，通过寻找形与数之间的关系，使问题获解。
也就是说要将数学知识进行数形的转换，让数中有形，形中有数，数形结合中获得数学知识和问题的解决。
数学形结合作为一种数学思想方法和解决问题的策略可以让数学知识的抽象美与学生思维的直观性有机地结合，有助于学生理解数学实质，提升学生数学学习力和思维力。
下面通过一些实例谈谈，小学数学课堂教学中的数形结合的方法。
一、数形结合，能促进学生的数学概念的形成。
（一）代数的概念，要以形的直观来促进内化。
数学概念是抽象的，帮助学生建立概念必然要许多感性材料作支撑，形成概念表象。
教学中常采用归纳、分类、比较的数学思想方法，帮助学生建立数学概念，也可采用数形结合的思想展开数学概念的教学，数的概念要以形的直观来促进内化，形的概念要用数的真实来促进感悟。
在教学中运用图形提供一定的数学问题情境，通过对图形中的情景分析，抽象出数学概念的内涵和外延，帮助学生理解数学概念。
【例１】在认识多位数时，学生对于数位概念的形成有一定的困难，为了突破教学上的难点，我们可以借助形的直观促进学生的认识。
（１） （２） （３）
这三组图形在直观性上也是逐步抽象的，先让学生从数实物的活动中能够说出多位数450，接着在计数器上认识，最后通过前面的形的概括，让学生用方框定数位的方法写出450，最后抽象出450这样的数。
【例２】三年级上学期分数的认识一课，学生在学习过程中对于把一个东西平均分，理解有一定的难度，很难一下子形成完成的认识，我们在教学中要根据学生学习的特点，为学生多提供一些感性材料，让学生在多种材料的感知中积累和升华认识。
（１）
（２）
（３）
（３）
首先让学生把图片的信息与生活经验结合起认识分数，接着让学生利用自己熟悉的折纸活动来创造分数，最后让学生凭借直观图在判断辨别中强化认识。
在这个过程中学生通过图形的直观提示，便能自觉地理解分数概念的内涵。
（二）几何的概念要以数的真实来促进感悟。
一些几何概念的形成，仅仅靠学生直观观察是不够的，这样很难形成科学的认识，因此，形的概念往往要通过数的量化来完成。
比如：
认识面积单位、体积单位及圆的半径直径周长等这些几何概念时，我们都需要充分利用数和数的计算结果来表达，通过数的大小帮助学生建立这些概念的空间观念。
让几何概念更清晰。
二、数学形结合，能促进学生对数学知识内在规律的把握。
数学学习内容重要的一方面就是关于算理、法则、规律的认识和运用，代数知识和几何知识同样包含许多客观存在的规律性的知识，这些知识的学习和把握往往比较抽象和深奥，数学形结合可在一定程度上减缓学生认识上的难度。
（一）形让数的规律更直观。
1.“形”—有利于促进学生理解计算的算理。
算法便于操作，算理深奥抽象。
因此，我们在教学中通过物化的操作使抽象的算理形象、具体地呈现在学生眼前，使学生形成计算过程的表象，帮助理解算理。
通常由现实生活问题引入，促使学生的生活经验能起到理解内部意义的作用。
[例5]口算除法口算“42÷3”
出示这样的42支铅笔，让学生把它平均分给3位同学，课堂上学生是这样分的：
先一人分一捆，把剩下的一捆拆开和单独的2支，再每人分4支。
在学生实际操作经验基础上，引导学生结合分铅笔的过程，说说先分多少支？
（30），再分多少去（12），也就是说口算时先把42分成30和12；用30和12分别除以3，把得到的商加起来就是结果。
从实际情境和直观图形中学生很容易理解口算除法的“分——除——合”的计算方法。
除法计算的过程、方法与等分铅笔的操作相对对照，直觉感知，有效地帮助学生知其然。
同时也使学生有了关于除法计算的数感。
这样，数学严密的逻辑思维得到锻炼，算理得到澄清。
[例6]整数除以分数“3÷
”
将计算题赋于具体情境中，“有3个苹果，每人分
，可以分给几个人？
”
○○○○○○○○○○○○
出示3个苹果，让同学来拿，每个苹果有几个人来拿？
用○当作人在苹果下画出需要的人来。
学生很容易地从图上发现3÷
可以用3×4来计算。
（二）数使形的规律更细致。
“形”具有形象直观的优势，但有些隐含在内的几何规律却不易被发现。
只有把它转化成“数”的形态，归结为较容易处理的数量关系式来研究。
通过分析、判断、计算，才能凸显出来。
[例7]圆柱体积计算公式的推导，我们在深入研究课本提供的学习素材，把握教材编排意图，在引导学生推导出圆柱体积=底面积×高这一基本方法后，我还及时的引导学生从另一个角度观察推导直观图，让学生思考：
这个图我们还可以把哪部分看作底面、哪部分看作高，在学生独立思考探索的基础上出示下面对比图：
在观察分析的基础上引导学生得出“圆柱的体积=侧面积×
×半径”促进学生对数学规律的多维认识，也培养学生创新思维，同时也为学生解决问题提供了更多的方法和策略。
三、数形结合，能提高学生问题解决的策略水平。
（一）形可形象地展示代数问题，便于学生提取思路。
抽象的数量的关系通过看得清、摸得着的图表示出来，化隐为显，化难为易，帮助学生理解、掌握，其实质都是由形解数。
在解题过程中，学生也可以自己创造地画图，用形表达数量关系密切，进入各自的认识通道，展示有创造性的思维过程。
A
[例8]六1班同学参加数学竞赛，平均分为94分，其中男生的平均分为92人，女生的平均分为97分，求参加比赛的男生和女生人数比。
97
用学生易于观察的条形统计图帮助学生分析数量关系：
用表示男生，表示女生；图形的高度表示分数，宽度表示人数，结合题意，全组平均分应该在它们之间，用虚线标出来，根据平均数移多补少的规律可以知道：
图中女生多出的分数A移补到男生少了的分数B，由此可以得到一个等量关系式：
男生人数×（97-94）=女生人数×（94-92），再根据比例的基本性质，学生就很容易看出解决这个问题关键。
[例9]苹果和梨共运来10筐，一共重540千克，每筐苹果50千克，每筐梨重60千克，苹果和梨分别有多少筐？
50×10
帮助学生把条件整理成以上形状，让它们沿着实线顺序思考：
如果把这10筐都看成苹果，那么总重量就是50×10，这个重量应该比实际重量少，为什么会出现这样的差错呢？
让学生观察，是因为把每筐60千克的梨当成每筐50千克的苹果了，这样有一筐梨就少了10千克，所以用一共少的重量÷除以每筐梨少的重量，就求出梨的筐数了。
列成综合算式是：
（540-50×10）÷（60-50）。
同样的思路让学生沿着虚线的顺序思考。
数形结合让学生完整地经历“整理画图——借图假设——看图计算——由图推理”的过程，先假设全是苹果，再通过计算重量和题意进行比较，推理得出“重量少了”的实质，然后根据每筐的重量推理。
解题思路一目了然。
形不仅能促进学生解决问题，更有利于提升学生思维的灵活性。
a
例如用小学知识如何理解“a2-b2=（a+b）（a-b）”，掌握这计算规律对提高学生计算圆环面积有一定的帮助。
我们可以结合图形来推导。
a-b
a
b
a-b
b
从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，剩下部分的面积就是a2-b2，这部分的面积我们还可以象右边这样观察，这样剩下的面积还可这样算：
a×（a-b）+b×（a-b），根据乘法分配律可以计算出：
a×（a-b）+b×（a-b）=（a+b）（a-b），同一部分的面积用两道不同的式子计算，它们表示的结果是一样的，所以得出：
a2-b2=（a+b）（a-b）。
再如，解决应用题“生产一批零件，计划每天生产50个，实际每天生产60个，这样比计划提前2天完成，这批零件有多少个？
”
解决这道题有多种方法，我们可以利用数形结合的方法把数量关系转化成长方形面积计算，让数量关系更直观。
B
A
实际每天60个计划每天50个
计划天数
提前2天
用灰色长方形的长表示计划天数，宽表示计划每天50个，这个长方形面积就表示零件的总个数，用粗线条的长方形长表示计划天数，宽表示实际每天60个，根据题意提前2天的意思就是原来2天生产的零件图中A部分，和图中B部分的面积是相等的，所以实际生产的天数就可以求出来：
50×2÷（60-50）=10天，60×10=600个。
从上面的几个例子我们可以发现，由形解数中“形”有时可能超越了几何图形的范畴，应该还包括数学的有“形”教具、生活中有形的经验、一些已有的数学模型等。
在研究“数”的问题时，把数的形态转化成有对应关系的形的状态，利用“形”的直观、形象的特点把抽象的数的概念、数量关系等通过图形的特征或动态变化充分地表现出来。
将抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，帮助学生理解、掌握。
“形”为“数”提供了直观，提高了小学生的数学思维能力，提高学习有效性。
（二）数能让几何问题具体化，便于学生寻找表象后的实质。
学生在解决几何问题时往往习惯于直观观察图形，试图每题都能通过相关数据，用公式解决，其实有时一些图形题要充分利用数、式的形式来表达图的实质。
例如这道典型的几何题：
ED
乙
O
甲
ABC
大小两个正方形边长分别是10厘米和12厘米，这样并列放在一起后连接AD，求图中甲的面积比乙的面积少多少？
学生的思维极易局限在求甲的面积和乙的面积，这个思路是难以解决的。
我们利用式的优势引导学生分析:
甲比乙少多少就是求:
乙-甲，如果把图中的BCDO当作丙，那么，乙一甲=（乙+丙）-（甲+丙），所以这题就是求三角形ACD比正方形BCDE少多少？
利用式来表达图中的关系，让图的实质一目了然。
图形知识的学习，不能仅仅停留在空间观念的形成和利用公式的计算上，而要在解决图形问题是培养学生问题意识和发展学生的思维能力，如在学习圆的面积时，往往只停留在推导出面积计算公式就行了，如果能充分利用数和式来表达推导过程中图形所蕴含的特征，有利于发展学生的发散性思维。
教学时设计如下题组式问题来引导学生思考的。
1.如果拼成长方形的宽是6厘米，这个圆的面积是多少？
2.如果长方形的长是12.56厘米，这个圆的面积是多少？
3.如果长方形的周长比圆的周长多少20厘米，这个圆的面积是多少？
4.拼成的长方形长宽之比是多少？
5.如果长方形的周长是41.4厘米，这个圆的面积是多少？
6.如果长方形的长比宽多2.14厘米，这个圆的面积是多少？
学生解决这一组问题，不仅促进他们对圆面积公式的理解，还能在解决问题的过程中通过对图形特征的观察，深化圆面积推导图的实质的理解，让通过数的计算促进空间观念的形成。
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