高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列.docx
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高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列
（2017高考文科数学）2016-4-30
讲义一数列
一、高考趋势
1、考纲要求
（1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式）．
（2）．了解数列是自变量为正整数的一类函数．
（3）．理解等差数列的概念．
（4）．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式．
（5）．了解等差数列与一次函数的关系．
（6）．理解等比数列的概念．
（7）．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．
（8）．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
（9）．了解等比数列与指数函数的关系．
2、命题规律
数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12分。
考察形式一般有两种，第一种是选择
题+填空题的形式，第二种是解答题的形式。
并且全国文科卷解答题第一题是数列和三角函数二选一。
因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且拿到满分”的“高期待值”题。
1
二、基础知识+典型例题
1、等差数列的概念与运算
（1）．等差数列的定义
如果一个数列从第二项开始每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做
等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
（2）．等差数列的通项公式
如果等差数列{an
的首项为
a
1，公差为d，则它的通项公式是
（n
N）
}
ana1（n1）d.
（3）．等差中项
ab
如果A，那么A叫做a与b的等差中项．
2
（4）．等差数列的前n项和
等差数列{an
的前
项和公式：
n（n1）
n（a1
an）
N）
n
Sn
na1
d
（n
}
2
2
（5）．等差数列的判定通常有两种方法：
①第一种是利用定义，an－an－1＝d（常数）（n≥2），
②第二种是利用等差中项，即2an＝an＋1＋an－1（n≥2）．[来源学科网]
背诵知识点一：
（1）等差数列的通项公式：
ana1（n1）d（nN）
（2）等差中项：
a,b,c构成等差数列，则ac2b
（3）等差数列的前
n项和：
Sn
na1
n（n1）d
n（a1an）（n
N）
2
2
2
（6）．对于等差数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程求出a1，d.如果再给出第
三个条件就可以完成an，a1，d，n，Sn的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问
题．
考点一：
等差数列通项公式及前n项和公式
例1、（15全国卷一）已知{
an
}是公差为
1
的等差数列，S
为
{an}
的前
n
项和，若
S8
4S4
，
n
则a10
（
）
A、
17
19
C、10
D、12
2
B、
2
例2、（15安徽卷）已知数列
{an}中，a1
1，anan1
1
2），则数列{an}的
（n
2
前9项和等于
.
3
2、等差数列的性质
（1）通项推广：
an＝am＋（n－m）d，（nN）（d为数列{an}的公差）．
（2）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq.
特别地：
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝⋯.
（3）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若
m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
a1＋an
n＝
a2＋an－1
n＝
a3＋an－2
n＝⋯.
（4）Sn＝
2
2
2
（5）等差数列的单调性
①等差数列公差为d，若d>0，则数列递增．
②若d<0，则数列递减．
③若d＝0，则数列为常数列．
背诵知识点二：
（1）等差中项的性质：
若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*
m＋an＝ap＋aq
.
），则a
（2）等差中项的性质：
若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap.
（3）等差数列的性质：
anam（nm）d
4
考点二：
等差数列中项的性质
例3、（15全国卷二）
设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a1a3a5
3,则S5
（
）
A．5
B．7
C．9
D．11
例4、（15陕西卷）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首
项为________．
5
3、等比数列的概念与运算
（1）．等比数列的定义
如果一个数列从第二项开始每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫
做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示．
（2）．等比数列的通项公式
设等比数列{an
的首项为
1，公比为q，则它的通项
ana1q
n1（n
N）
}
a
.
（3）．等比中项
若G2ab0，那么G叫做a与b的等比中项．
（4）．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
①当q＝1时，Sn＝na1；（nN）
②当q≠1时，Sn＝
a1（1qn）a1
anq
）
1q
1
（nN
q
（5）．在涉及等比数列前
n项和公式时要注意对公式
q是否等于
1的判断和讨论．
（6）．等比数列的判定方法：
①定义法：
若an＋1＝q（q为非零常数）或an＝q（q为非零常数且
n≥2），则{an}是等比数列．
an
a
n－1
②中项公式法：
若数列
{an}中an≠0且an2＋1＝an·an＋2（n∈N*），则数列{an}是等比数列．
背诵知识点三：
6
（1）等比数列的通项公式：
ana1qn1（.nN）
（2）等比中项：
a,b,c构成等比数列，则acb2
（
）等比数列的前
项和：
①当
＝
时，
＝na；
N）
n
n1
（n
3
q1
S
n＝
a1（1qn）a1
anq
N）
（n
②当q≠1时，S
1
q
1
q
考点三：
等比数列定义与前n项和公式
例5、（15
全国卷一）数列an
中a1
2,an12an,Sn为an
的前n项和，若Sn
126，
则n
.
例6、（12全国卷）等比数列an的前n项和为Sn,若S33S20,则公比q________
7
例7、（13全国卷一）
设首项为1，公比为错误！
未找到引用源。
的等比数列{an}的前
n项和为Sn，则
（
）
A.Sn2an1
B.Sn3an2
C.Sn43an
D.Sn32an
例8、（12全国卷）
数列an
满足an1
（1）nan
2n1,则an
的前60项和为（
）
A.3690
B.3660
C.1845
D.1830
8
4、等比数列的性质
（1）通项公式的推广：
an
amqmn，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且
k＋l＝m＋n，（k，l，m，n∈N*），则akalaman
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列：
则{λan}（λ≠0），{1}，{a2n}，{an·bn}，{an}仍是等比数列．
anbn
（4）等比数列的单调性．
a1>0
a1<0
①
或
{an}为递增数列；
q>1
0a1>0
或
a1<0
②
{an}为递减数列；
0q>1
③q＝1{an}为非零常数列；
④q<0{an}为摆动数列．
ann－m*
（5）＝q（m，n∈N）
背诵知识点四：
（1）等比中项的性质：
若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则akalaman
9
（2）等比中项的性质：
若m＋n＝2p，则amanap2
（3）等比数列的性质：
an＝qn－m（m，n∈N*）am
考点四：
等比数列中项的性质
例9、（14全国卷二）等差数列{an}的公差是
2，若a
a,a
成等比数列，则
{an}的前
n
项
2
48
和Sn
（
）
A.n（n
1）
B.n（n1）
n（n
1）
n（n1）
C.
D.
2
2
例10、（15全国卷二）
已知等比数列{an
}满足a
1
a3a5
4a41,则a2
（
）
1
4
A.2
B.1
C.1
D.1
2
8
10
例11、（15浙江卷）已知{an}是等差数列，公差
d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且
2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．
例12、（15广东卷）若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2
6，c＝5－2
6，
则b＝________．
11
5、数列的通项
（1）．数列的通项公式：
若数列{an}的第n项an与项数n之间的关系可以用一个式子表示出来，记作anf（n），称作该数列的通项公式.
（2）．等差数列的通项公式：
an
a1（n
1）dam（nm）d．
（3）．等比数列的通项公式：
an
a1qn1
amqnm
（4）．等差数列性质：
①anam（nm）d；
②若m,n,p,qN*且mnpq，则amanapaq；
（5）．等比数列性质：
①anamqnm；
②若m,n,p,qN*且mnpq，则amanapaq
（6）．等差数列的判定：
①定义法；②等差中项法
（7）．等比数列的判定：
①定义法；②等比中项法
12
（8）．数列通项公式求法
①累加法：
对于可转化为an1anf（n）形式数列的通项公式问题
②累乘法：
对于可转化为an1anf（n）形式数列的通项公式问题
③构造法：
对于化为an1panf（n）（其中p是常数）型的通项公式问题
④利用前n项和Sn与第n项an关系求通项公式问题
对递推公式为Sn与an
的关系式（或Sn
f（an）），利用an
S1
（n
1）
Sn
Sn1
（n
2）
进行求解.注意an=Sn
Sn1
成立的条件是n≥2，求an时不要漏掉n=1
即an=S1的情况，
当a1=S1适合an=Sn
Sn1时，an=SnSn1；当a1=S1不适合an=Sn
Sn1时，用分段
函数表示.
背诵知识点五：
（1）数列通项公式求法：
①累加法：
对于可转化为an1
anf（n）形式数列的通项公式问题
②累乘法：
对于可转化为an1
anf（n）形式数列的通项公式问题
③构造法：
对于化为an1pan
f（n）（其中p是常数）型的通项公式问题
13
④利用前n项和Sn与第n项an关系求通项公式问题
考点五：
求数列的通项公式
①、累加法
例13、已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。
②、累乘法
例14、已知数列{an}满足，an12nan，a11，求数列{an}的通项公式。
14
③、构造法
例15、已知数列an中，a11,an12an3，求数列an的通项公式.
④、利用前n项和Sn与第n项an关系求通项公式问题
例16、已知数列{an}的前n项和snn21，求{an}的通项公式。
15
6、数列的求和
（1）．数列{an}的前n项和为Sn
a1a2
an．
（2）．等差数列{an}的前n和公式：
Sn
n（n
1）
n（a1
an）
na1
d
2
．
2
na1,q
1
na1,q1
（3）．等比差数列{an}的前n和公式：
Sn
a1（1
qn）
1
a1
anq
，
1
q
1
q
1
q
q
（4）．倒序相加法：
适用于求首项与尾项有关系的前
n项和
（5）．分组转化法：
适用于求等差数列＋（－）等比数列数列的前
n项和
（6）．错位相减法：
适用于求等差数列ｘ（÷）等比数列数列的前
n项和
（7）．裂项相消法：
适用于求通项为
1
的数列的前n项和，
anan＋1
常见的拆项公式：
①
1
11
1
1（1－1）；
n（n1）nn1
n（nk）
kn
n＋k
②
1
n1n
n
n1
1
1
（
n＋k－n）．
n＋n＋k
＝k
③
1
1（
1
1
）；
（2n-1）
（2n1）
2
2n1
2n
1
16
背诵知识点六：
（1）数列前n项和求法：
①倒序相加法：
适用于求首项与尾项有关系的前
n项和
②分组转化法：
适用于求等差数列＋（－）等比数列数列的前
n项和
③错位相减法：
适用于求等差数列ｘ（÷）等比数列数列的前
n项和
④裂项相消法：
适用于求通项为
1
的数列的前n项和，
anan＋1
考点六：
求数列的前n项和
①、倒序相加法
例17、已知等差数列的通项公式为
an
a1
（n1）d
N），求数列的前
n
项和
（n
②、分组转化法
例18、求数列的前n项和：
11,14,127,,1n13n2，,
aaa
17
③、错位相减法
例19、（14全国卷一）已知
an是递增的等差数列，
a2，a4是方程x2
5x6
0的根。
（I）求an的通项公式；
（II）求数列
an
的前n项和.
2n
18
④、裂项相消法
例20、（15江苏卷）设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1（n∈N*），则数列1前10
an
项的和为________．
例21、（14全国卷二）
数列{a
}满足
1
，则a
．
an1
a82
________
n
1
1
an
19
例22、（13全国卷一）已知等差数列
{an}的前n项和Sn满足S3
0，S5。
5
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{
1
}的前n项和。
a2n1a2n1
20
例23、（11全国卷）已知等比数列
{a}中，a1
1
1
，公比q
。
1an
3
3
（I）Sn为{a}的前n项和，证明：
Sn
2
（II）设bnlog3a1log3a2
log3an，求数列bn的通项公式。
21
例24、（13全国卷二）已知等差数列｛an｝的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比
数列.
（Ⅰ）求an的通项公式；
（Ⅱ）求a1+a4+a7+⋯+a3n-2.
22
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