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基础物理学下册【韩可芳】第9章习题答案
第三篇第三篇第三篇第三篇波动和波动光学波动和波动光学波动和波动光学波动和波动光学第九章第九章第九章第九章振动和波动基础振动和波动基础振动和波动基础振动和波动基础
思考题思考题思考题思考题
9-1符合什么规律的运动是简谐振动、简谐振动的特征量由什么决定？
答答答答：
d2I"
—31卩
某物理量在某一量值值附近随时间作周期性往复变化的运动是简谐运动，或者是描述系统的物理量W遵从微分方程，则该系统的运动就是简谐运动。
其特征量为振幅
（由初始状态决定）、频率（由做简谐振动系统的物理性质决定）和初相位（由振动的初始状态决定）。
9-2说明下列运动是不是谐振动：
（1）完全弹性球在駛地面上的跳动；
（2）活塞的往复运动；（3）如木问题图所示，一小球沿半径很人的光滑凹球血滚动（设题思考题9-2图小球所经过的弧线很短）；
（4）竖直悬挂的弹簧上挂一重物，把重物从静止位置拉下一段
距离（在弹性限度内），然后放手任其运动；
（5）一质点做匀速圆周运动，它在玄径上的投影点的运动。
（6）小磁针在地磁的南北方向附近摆动。
答答答答：
简谐振动的运动学特征是：
振动物体的位移（角位移）随时间按余弦或正弦函数规律变化；动力学特征是：
振动物体所受的合力（合力矩）与物体偏离平衡位置的位移（角位移）成正比而反向。
从能量角度看，物体在系统势能最小值•附近小范围的运动是简谐振动。
所以：
（1）不是简谐运动，小球始终受重力，不满足上述线性冋复力特征。
（2）不是简谐振动。
活塞所受的力与位移成非线性关系，不满足上述动力学特征。
（3）是简谐振动。
小球只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。
（4）是简谐振动。
（5）是简谐振动。
因为投影点的方程符合物体的位移（角位移）随时间按余弦或正弦函数规律变化
（6）小磁针只有在小幅度摆动时才满足上述特征，是简谐振动；在人幅度摆动时不满足上述特征。
9-3一弹簧振子由最左位置开始摆向右方，在最左端相位是多少？
过屮点、达右端、再冋屮点、返冋左端等各处的相位是多少？
初相位呢？
若过屮点向左运动的时刻开始计时，再冋答以上各问。
-1-
答答答答：
（（（此题需检杳（此题需检杳此题需检查此题需检杳））））
以中点处为原点、向右方向为正方向建立坐标系对弹簧振子的运动进行描述，由最左位
H置摆向右方为计时起点，则在最左端相位是-兀，过中点时的相位为-，达右端时为0,再冋屮点时为，返冋左端为Ho初相位是-若过小点向左运动地时刻开始计
时,则过中
3JIn点时的相位为一02,
达最右端时为皿兀。
初相位是-9-4同一弹簧振子，当它在光滑水平血上做一维谐振动和它在竖直悬挂情况下做谐振动，
振动频率是否相同？
如果它放在光滑斜血上，它是否还做谐振动，振动频率是否改变?
如果把它拿到月球上，频率又有什么变化？
答答答答：
（（（此题需检查（此题需检杳此题需检杳此题需检杳））））
3,振动频率只与3有关，而对于弹簧振子，3，因此3取决于根据公式Vm
弹簧的弹性系数k和物体质量mo同一弹簧振子在光滑水、卜血上做一•维谐振动和在竖直悬挂情况下做谐振动时，平衡位置不同，而弹簧的弹性系数k和物体质量m不变，因此这两种情形下的振动频率相同。
如果把它放在光滑斜血上，同样，只是平衡位置不同，而弹簧的弹性系数k和物体质量ni不变，所以它仍然会做谐振动，振动频率也不会改变。
如果把它拿到月球上，虽然月球上的重力加速度与地球上不同，但是3与之无关，而且弹簧的弹性系数k和物体质量m不变，所以频率也不会发生变化。
9-5做谐振动的弹簧振子，当其
（1）通过平衡位置时；
（2）达到最人位移时；速度、加速度、动能、弹性势能小，哪几个达到最人值，哪几个为零？
答答答答:
（1）当弹簧振子通过平衡位置时，速度和动能达到最人，加速度和弹性势能为零。
（2）达到最人位移时，加速度和弹性势能最人，速度和动能达到最人。
9-6受迫振动的频率与强迫力的频率相同，相位是否相同？
从相位看，共振应发生在何值？
答答答答：
受迫振动的相位与强迫力的相位不同，存在令相位差（见教材pl9页9-30式）。
从相位
几H來看，发生共振时相位差为-，即共振时屮的相位比外部骡动作用的相位落后，或者
d屮说与驱动作用同相，因而在发生共振时，外界总对系统做正功，促使振幅急剧增加。
9-7什么是波动？
振动和波动有什么区别和联系？
波动曲线与振动曲线有什么不同？
口口口•••
波动是振动状态的传播过程，波动的产生要佇激发波动的振动系统，即波源。
振动是原因，波动是结果。
波传播过程屮各点的振动频率都应与波源频率相同。
振动具有一定的能量，波动过程伴随能量的传播。
波动曲线是一个点自波源由近及远传播，振动曲线是表示一个点在最人位移处与平衡位置处的振动。
波动曲线的横轴为波传播的位移，振动曲线横轴为振动的时间。
9-8试判断下血几种说法，哪些是正确的，哪些是错误的？
-2-
（1）机械振动i定能产生机械波；
（2）质点振动的速度利波的传播速度是相等的；
（3）质点振动的周期和波的周期数值是相等的；
（4）波动方程戎屮的坐标原点是选取在波源位置上。
答答答：
答：
：
：
（1）错误，还需要弹性媒质。
（2）错误，波动的速度由媒质的性质决定，两者没有必然的联系。
（3）对。
（4）不一•定。
9-9什么是波长、波的周期和频率、波速？
它们之间有什么关系？
它们各由什么决定?
波长反映波动的空间周期性，定义为同一波线上两个相邻的、相位差为2兀的振动质点之间的韭离，或者是相邻的两个同相质点之间的距离。
波速描述振动状态传播快慢程度的物理量，定义为振动状态在单位时间内所传播的距离周期和频率反映了波动的吋间周期性，定义为：
波传播一个波长所需要时间，叫周期，用T表示。
周期的倒数叫做频率，用Y表示
它们之间的关系式为uX/TXy。
波速由传输媒质的性质决定，周期和频率由波源的性质决定，波长由波速和周期决定。
xx表示振动状态从振源传播到某点需要的时间•（J表示振动状态从振源传播到某点
相位的变化.
9-11关于波长的概念有三种说法，试分析它们是否一•致：
（1）同-波线上，相位差为2Ji的两个振动质点之间的距离；
（2）在同一个周期内，振动所传播的距离；
（3）横波的两个相邻波峰（或波谷）之间的距离；纵波的两个相邻密部（或疏部）对应点之间的距离。
答答答：
答:
:
:
xy（x,t）AcosOt-2兀來分析，同一波上两三种说法一•致。
（1）首先用波函数
xlx21G）t-Ji一质点xl,x2其相位分别为口
wQt.2n,所以相位差为2Ji即
入12的两质点间的距离为X0
（2）在一•个周期，振动的质点其位相差为
2肌和
（1）一致；（3）只要将某时刻的波形图作出，很显然，相邻的波峰（谷），纵波的相邻密部（疏部）对应点其相位差为2JI,和
（1）（3）是一致的；
9-12试讨论波动能暈的传输过程；比较波动能暈与振动能量。
答答答：
答:
:
:
由于波动屮，传播出去的是介质质元的振动状态和能量，但质量元并未传播出去，而是在各自的平衡位置做往复的振动，由于介质质量元之间的弹性相互作川，质元振动状态和能-3-
量才能传播出去。
也正是由于介质元之间的相互作用使它们不是孤立系统，因而其振动能量
特征与孤立谐振子的振动能量不同。
振动能量是振动系统的机械能，对于简谐振动，振动能
1EkEP量E2,是个恒量。
波的能量是指介质元振动时的动能与因形
变而具有的势能之和。
动能和势能随时间和位置作同步的周期性的变化。
波的能暈在介质中是连续分布
的。
因而用能量密度（单位体积介质具有的能暈）来反映能量的分布。
能量密度随时间和位置
周期性变化说明能量是随着波的传播而传播的。
9-13振荡电偶极子辐射的电磁波有什么特点？
百•线型振荡电路肓什么优点？
答：
答答答：
：
：
（此题需检杳（（（此题需检杳此题需检杳此题需检杳））））
振荡电偶极子所辐射的电磁波是球面波，但是在离电偶极子很远的地方，则可以看成是平面
波。
玄线型振荡电路的优点是振动频率高，辐射能量人。
9-14产生波的T•涉的条件是什么？
两波源发出振动方向相同、频率相同的波，当它们在空
小相遇时，是否一定发生干涉？
为什么？
两相干波在空间某点相遇，该点的振幅如果不是最
人值，是否一定是最小值？
答：
答答答：
：
：
波的相T•条件是频率相同、振动方向相同和相位差恒定。
两波源发出振动方向相同、频
率相同的波，在空间相遇吋不一定发生干涉现象。
因为
（1）两列波在相遇点引起的振动的相
位差不能保持恒定时，相遇区域没有稳定的强弱分布。
不发生T•涉现彖；
（2）若两列波振幅
差别很人，相遇区域强弱分布不显著，也观察不到干涉现象。
9-15如果两波源所发出的波振动方向相同、频率不同，则它们在空间相遇叠加时，两波在
相遇点的和位差与哪些因素有关？
替加后空间各点的振幅是否稳定？
答答答：
答：
：
：
相遇点的相位差与两波源的初相位、波源到相遇点的距离，波源的频率以及波速（距离和波速还决定了传播时间）有关。
由于这两个波源的频率不同，因此相位差随时间变化，从
而叠加后振幅不稳定。
9-16驻波屮各质元的相位有什么关系？
为什么说相位没令传播？
在驻波屮任意两相邻波
节之间备点振动的振幅、频率、相位是否相同？
在一波节两边的点又如何？
答：
答答答：
：
：
驻波屮，相邻两波节间各质元的振动相位相同，同一个波节两侧各质元振动的相位相反。
驻波实际上是一种分段振动现象。
驻波不彖行波那样沿波线后一•质元垂复前一•质元的振动，
所以驻波的相位不向前传播。
补充问题补充问题补充问题补充问题:
:
:
:
驻波和行波有什么区别？
驻波屮各质元的位相有什么关系？
为什
么说位相没有传
播？
驻波屮各质元的能量是如何变化的？
为什么说能量没有传播？
驻波的波形有何特点？
解：
解解解：
：
：
行波是振动在媒质中传播，波的传播过程有波形、位相及能量的传播。
驻波的特征如下：
（1）波形驻定，位移恒为零的点是波节；位移恒最人处是波腹。
相邻两波节（或波腹）
之间的距离等于X/2o没有波形的传播。
（2）位相驻定，相邻两波节之间的质点的振动位相相同——同起同落；一•个波节两侧
的质点的振动位相相反——此起彼落。
故没有位相的传播。
（3）驻波的能量被限制在波节和波腹之间长度为入/4的小区段小，动能和势能相互转
化，其总量守恒，因此能量没有传播。
-4-
9-17如何理解“半波损失”？
答答答：
答：
：
：
当波从波疏介质射入波密介质，在介血上发生反射时，就会产生n的相位突变，由于位
6
2Ji,=n意味着波程相差X/2,即波在反射点处，如同相差与波程差的关系为
△口
多或少传播了半个波长的距离，这就是为什么称这种相位突变为半波损失的原因。
习习习习题题题题
9-1-3
质量为10X10kg的小球与轻弹簧组成的系统，按xcos23JIn
t振动。
式屮t以秒计，
x以米计。
（1）求：
振动的圆频率、周期、振幅、初相以及速度和加速度的最人值。
（2）求：
最人冋复力、振动总能量、平均动能和平均势能。
（3）（4）分别画
出这振动的t二1、2、5、10s等各时刻的周相各是多少？
x—t、
（5）iilij出这个振动的旋转矢量图，并在图屮指明v-1.和a—t.图线。
等各时刻的矢量位置。
解解解解t=1,2,5,10s:
（1）3
rad/s
T2Ji
s
A,
m4）
n2
3
vdx
dt—
jiX
sin
n2
3
=>vmax8n
X
512m/s
ad
2dt
x222
2-
兀
cos
兀3
今amax64
JiX
63in/s2
:
⑵
Ek1
212
2
X
—
2Ji
2
X
Jisin（8n
t3
Ekmax
EPmax1221
X
—
X
=>
k
2
X
JI
JI
•
••
EP
1
22
12n
2
2
X
2
ji
X
cos（
8nt
F-
—
最人冋复力Fmax
3
Ji2
X
壬
\
总能量E
EkEP1
k
122
2
X
—
X
n
X
Ek
12
23A2sin2
（st
□k
kO0
.J
J2
1
□2
m3
A21
42
4
X
X
X
h）2X
1111ppO0
2JIJTJT
2202
kAcos（3t□dt
-5-的规律做
21,2,5,10.吒勺位置
11T122X一JkA2f
（3t□dtkA2开262Ji502n*.*
4）8nt4）8n4）16n⑶.\2n1222n
24280n（I）40n（4）x~t,v-t,a~t图如下所示：
0.08
0.03
-0.02-1.0
-0.07
-0.12
80
20
-20
-40
-60
-80-2.0-3.01.03.02.00.0（5）该振动的旋转矢量图如下所示-6
9-2—•个沿0X轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A,周期为T,其振动方程用余弦函数表示。
如果在t=0时，质点状态分别为：
（1）x0二一A；
（2）过平衡位置向正方向运动；
（3）过x二A/2处向负方向运动;
（4）过x二一A/2处向正方向运动；
试求出相应的初相之值，并写出振动方程。
（1）ji
解解解解:
x
（1）x0—
贝0Acos
（1）
Acos（0Acos
3n,因为其向正方向运
（2）
过平衡位置时，x0
则
eo4）,
或者ev0,
V
_e
4）
动，X」
4）0,3n
或考
—n,2n3n
2n
nx
xAcos（Acos（或者AAx0
54）n
⑶:
过时，Acos4）,
XAcos（e其振动方程为时，质点状态为在t二02几~A4）
或者•因为向负方向运动，222兀nvOJi
满足条件
xO—处
2n
e4n
x,Acos（/.,uf以得到e;T3）AA
4兀，因为其向正方向运动，（4）过Acos4或者（t>222Ji4Jiv0,可以得到
xAcos（・•・满足条件，T3-7-
9-3如图所示，弹簧振子水平放置，弹簧的劲度
系数为匕振子质量为叽假定从弹簧振子原长处
开始对振子施加一恒力f,经过一段距离xO后撤
去外力，试问在撤去外力后振子将作何种运动？
试求系统的总能量，并写出振子位移函数表达式。
假定我们从xO处开始计时。
解解解解：
图图图图由于系统屮没冇摩擦力之类的非保守力做功，因此系统的总能量等于恒力f做的总功。
撤
去外力后，弹簧振子振动过程屮能量守恒。
12kA恒力f对弹簧振子做的总功为fxOo在振幅最人的位置，有：
fxO=>
A
物体位移表达式0,3
9-4有光滑水平血上，有劲度系数分别为kl和R2的两个轻弹簧以及质量为m的物体，构成两种弹簧振子，如图所示。
试求这两个系统的固有角频率。
题题题题9-4图图图图解解解：
解：
：
：
（1）由图（b）所示，设弹簧原长分别为11、12,11+12二L,平衡时弹簧的伸长量分别为
11和12,贝0△2L,klAlk2△11A1121
xk2（-,fflf2-1以平衡点0为坐标原点，x轴向右建立坐标
系，当小球向x轴正向移动x时，物体受力-8-
A,所以fk2）x,—由于klAllk2
k2）d2xd2x（kl（kk2）xmx0,即物体的运动方程为一1（kl
k2）物体作简谐振动，振动角频率为32n2n周期为T
（2）如右图所示，以物体不受力，弹簧自然伸
长时，物体位置为原点建立坐标系。
当物体在位
移x处时,若弹簧kl的伸长为xl,弹簧k2的伸
长为x2,则
k2klAx2解得Axl,1212
2klk2dx-,物体的运动方程为物体受力f—k2A
kik2112
x0物体同样做简谐振动，振动角频率为s
2皿2n振动周期为Tm（klk2）
19-5在LC振荡电路中，L=260u,u,初始时电容器两端电势差
VO=1V,且电流为0。
试求：
（1）振荡频率；
（2）电犬电流；（3）电容器两极板间电场能量随时间变化的关系；
（4）证明电场能量与磁场能量之和等于初始电场能量。
解解解解：
3
1f901KHz;
（1）振荡频率
9-6一轻弹簧下挂一质量为0.lkg的磕码。
祛码静止时,弹簧伸长0.05m。
如果再把祛码竖直拉下0.02m,求放于后祛码的振动频率、振幅和能量。
12讨论振动能量时所说的“振动势能在最小值和最人值kA之间变化”。
在木题情况下，这振动势能是否是祛码重力势能与弹性势能Z和？
对“零势能”参考位置有无特殊规定？
解解解：
解：
：
：
取祛码静止时的位置为平衡位置，并令为坐标原点，向下为正方向，则有
kmg/xOmgkxO=>
当下拉x位置时，祛码所受冋复力为Q2010-11电场能量和磁场能量和为初始
电场能量：
wewm6X
f—0x）+mg—
fk一o3a因此祛码作简谐振动3111Hz
v0m0代入振幅公式：
V将初始条件xO,0
2V0A2m312-J能量为EX2
9-7如图所示，一•根长为1的轻绳上端固定，下端连
接一质量为m的小物体就构成一个单摆；一任意形状
的刚体，支在通过0点的光滑水平转轴上，就构成一
个复摆，设刚体对0轴的转动惯量为J,质心C到0
轴的距离为h。
试证明：
在小角度摆动情况下，单摆和
复摆的运动是简谐振动。
并求出其振动周期。
解解解：
解：
：
：
当单摆单摆单摆单摆在竖直血（即图血）内摆动，摆线与竖百
方向成a角时，物体m的重力对0轴的力矩为
M—sina（负号表明M与a的转向相反）。
按定轴转动定律可知MJP,且对于物体有
2Jml,d2aMgP2-a题题题题9-7图图图图
当a角较小时，a心sinci,因此在小角度摆动情况下，式屮的sinaLJ用a代替。
得：
由这个振动方程可知，在小角度摆动情况下，单摆的运动是简谐振动。
由该运动方程可得小角度单摆的简谐振动的振动参量为:
-10-dg-22ag2n2nwT由于单摆的摆
线长1和周期T容易精确测定，因此用单摆按上式测量当地的重力加速度
4n21
g值是很简便的方法，即g2
对于复摆，同样有：
当摆线与竖玄方向成a角时，物体m的重力对0轴的力矩为
的转动惯最J不能从公式玄接给出）可得复摆的运动方程（在小角度摆动时）为：
Td2aMrnghP2aJJsin由此振动方程可知，在小角
度摆动情况下，复摆的运动也是简谐振动。
2兀mgh2兀33TJ3根
据上式，可以根据当地的g值和复摆的m、h、T等值求岀该刚体对0轴的转动惯量J：
mghT2
cos9-8已
1010
J4兀231oxl
知两个平行简谐振动如下：
式中X以米计,t以秒计。
亦以米计，x3
（2）另有一平行简谐振,式|||xt亦以秒计。
问©3为何值
（3）用旋转矢
m
（1）合成振幅为A
时,xl+x3的振幅量大?
4>3为何值时,x2+x3的振幅为最小?
量图示法表示
（1）、
（2）两结果。
解解解解：
一A222AlA2cos（4>一dX
2
sin
•008283
-1
Alsine
A2
-1o6822.
.0379合成初相为4）
tan
tanAlcose
2
Acos4）
.003309Ji
（2）3若4>3贝ij1x
cos（10t
4）
xl
x3的振幅最人，
4）2kn,k,0±
3・・・
4>3
5n
若则两者刚好反相4）3-42
k
）1n
k
o±
x2x3振
幅最小，6/•e：
35Ji
（3）略-
•11一
要使C2能安全工作，则工作时的两端最高电势差不
能超过300V
9-10有两个平行•同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为0.20m,周相与第一•振动的周相
差为0.173m,求第二振动的振幅以及第一、第二两振动Z间的周相差。
解解解解：
作旋转矢量如图所示，有几何关系得
0A2A2A21-2AAcos30m1
22A2AAlcos（n2一口,解得再由AA2122
ncos（□□一口2—□1）0/.29_11—*待测频率的咅叉与一频
率为440Hz的标准音叉并排放着，并同时振动，声音响度有
周期性起伏，每隔0.5s听到一•次最大的响度咅。
在待测音叉一端粘上一•块橡皮泥，最大响度的音之间的时间间隔便拉长一些。
问这一音叉的频率是多少？
解解解：
解：
：
：
待测频率的音叉与-•频率为440Hz的标准音叉并排放着，同时振动，两者的声音产生
拍的现象。
每隔0.5su22,待测
音叉的频率为442IIz或438IIz。
在待测音叉一端粘上一块橡皮泥，最大响度的音之间的时间间隔便拉长一些，说明待测频率的音叉与标准音叉Z间的频率差减小。
粘上一块橡皮泥,阻尼增加,待测音叉频率降低，所以，待测音叉的频率应该为442Hz0
_12-
9-12示波管的电了束受到两个相互垂宜的电场作用。
若电了在两个方向的位移分别为
=0,30°
°三种情况下，电子在荧光屏上的方程。
xAcos3,求在
和
yAcos
3e
*
22xy2xy—□2解解解：
解：
：
：
2
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