物理学第三版刘克哲 张承琚课后习题解答第十章.docx

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物理学第三版刘克哲张承琚课后习题解答第十章

[物理学10章习题解答]

10-3两个相同的小球质量都是m，并带有等量同号电荷q，各用长为l的丝线悬挂于同一点。

由于电荷的斥力作用，使小球处于图10-9所示的位置。

如果θ角很小，试证明两个小球的间距x可近似地表示为

图10-9

.

解小球在三个力的共同作用下达到平衡，这三个力分别是重力mg、绳子的张力t和库仑力f。

于是可以列出下面的方程式

（1）

（2）

（3）

因为θ角很小，所以

.

利用这个近似关系可以得到

（4）

. （5）

将式（5）代入式（4），得

由上式可以解得

 .

得证。

10-4在上题中，如果l=120cm，m=0.010kg，x=5.0cm，问每个小球所带的电量q为多大？

解在上题的结果中，将q解出，再将已知数据代入，可得

.

10-5氢原子由一个质子和一个电子组成。

根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r0=5.29⨯10-11m。

质子的质量m=1.67⨯10-27kg，电子的质量m=9.11⨯10-31kg，它们的电量为±e=1.60⨯10-19c。

（1）求电子所受的库仑力；

（2）电子所受库仑力是质子对它的万有引力的多少倍？

（3）求电子绕核运动的速率。

解

（1）电子与质子之间的库仑力为

.

（2）电子与质子之间的万有引力为

.

所以

.

（3）质子对电子的高斯引力提供了电子作圆周运动的向心力，所以

从上式解出电子绕核运动的速率，为

.

10-6边长为a的立方体，每一个顶角上放一个电荷q。

图10-10

（1）证明任一顶角上的电荷所受合力的大小为

.

（2） f的方向如何？

解立方体每个顶角上放一个电荷q，由于对称性，每个电荷的受力情况均相同。

对于任一顶角上的电荷，例如b角上的qb，它所受到的力

、

和

大小也是相等的，即

 .

首先让我们来计算

的大小。

由图10-10可见，

、

和

对

的作用力不产生x方向的分量；

对

的作用力f1的大小为

f1的方向与x轴的夹角为45︒。

对

的作用力f2的大小为

f2的方向与x轴的夹角为0︒。

对

的作用力f3的大小为

f3的方向与x轴的夹角为45︒。

对

的作用力f4的大小为

f4的方向与x轴的夹角为α，

。

于是

.

所受合力的大小为

.

（2） f的方向：

f与x轴、y轴和z轴的夹角分别为α、β和γ，并且

.

10-7计算一个直径为1.56cm的铜球所包含的正电荷电量。

解根据铜的密度可以算的铜球的质量

 .

铜球的摩尔数为

.

该铜球所包含的原子个数为

.

每个铜原子中包含了29个质子，而每个质子的电量为1.602⨯10-19c，所以铜球所带的正电荷为

.

10-8一个带正电的小球用长丝线悬挂着。

如果要测量与该电荷处于同一水平面内某点的电场强度e，我们就把一个带正电的试探电荷q0引入该点，测定f/q0。

问f/q0是小于、等于还是大于该点的电场强度e？

解这样测得的f/q0是小于该点的电场强度e的。

因为正试探电荷使带正电的小球向远离试探电荷的方向移动，q0受力f减小了。

10-9根据点电荷的电场强度公式

当所考查的点到该点电荷的距离r接近零时，则电场强度趋于无限大，这显然是没有意义的。

对此应作何解释？

解当r→0时，带电体q就不能再视为点电荷了，只适用于场源为点电荷的场强公式不再适用。

这时只能如实地将该电荷视为具有一定电荷体密度的带电体。

10-10离点电荷50cm处的电场强度的大小为2.0n⋅c-1。

求此点电荷的电量。

解由于

所以有

.

10-11有两个点电荷，电量分别为5.0⨯10-7c和2.8⨯10-8c，相距15cm。

求：

（1）一个电荷在另一个电荷处产生的电场强度；

（2）作用在每个电荷上的力。

图10-11

解已知

=5.0⨯10-7c、

=2.8⨯10-8c，它们相距r=15cm，如图10-11所示。

（1） 

在点b产生的电场强度的大小为

方向沿从a到b的延长线方向。

在点a产生的电场强度的大小为

 ,

方向沿从b到a的延长线方向。

（2） 

对

的作用力的大小为

方向沿从b到a的延长线方向。

对

的作用力的大小为

.

方向沿从a到b的延长线方向。

10-12求由相距l的±q电荷所组成的电偶极子，在下面的两个特殊空间内产生的电场强度：

（1）轴的延长线上距轴心为r处，并且r>>l；

图10-12

（2）轴的中垂面上距轴心为r处，并且r>>l。

解

（1）在轴的延长线上任取一点p，如图10-12所示，该点距轴心的距离为r。

p点的电场强度为

.

在r>>l的条件下，上式可以简化为

图10-13

.

（1）

令

（2）

这就是电偶极子的电矩。

这样，点p的电场强度可以表示为

.（3）

（2）在轴的中垂面上任取一点q，如图10-13所示，该点距轴心的距离为r。

q点的电场强度为

也引入电偶极子电矩，将点q的电场强度的大小和方向同时表示出来：

 .

10-13有一均匀带电的细棒，长度为l，所带总电量为q。

求：

（1）细棒延长线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>l；

（2）细棒中垂线上到棒中心的距离为a处的电场强度，并且a>>l。

解

图10-14

（1）以棒中心为坐标原点建立如图10-14所示的坐标系。

在x轴上到o点距离为a处取一点p，在x处取棒元dx，它所带电荷元为λdx，该棒元到点p的距离为a-x，它在p点产生的电场强度为

.

整个带电细棒在p点产生的电场强度为

图10-15

方向沿x轴方向。

（2）坐标系如图10-15所示。

在细棒中垂线（即y轴）上到o点距离为a处取一点p，由于对称性，整个细棒在p点产生的电场强度只具有y分量ey。

所以只需计算ey就够了。

仍然在x处取棒元dx，它所带电荷元为λdx，它在p点产生电场强度的y分量为

 .

整个带电细棒在p点产生的电场强度为

方向沿x轴方向。

图10-16

10-14一个半径为r的圆环均匀带电，线电荷密度为λ。

求过环心并垂直于环面的轴线上与环心相距a的一点的电场强度。

解以环心为坐标原点，建立如图10-16所示的坐标系。

在x轴上取一点p，p点到盘心的距离为a。

在环上取元段dl，元段所带电量为dq=λdl，在p点产生的电场强度的大小为

.

由于对称性，整个环在p点产生的电场强度只具有x分量ex。

所以只需计算ex就够了。

所以

.

10-15一个半径为r的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ。

求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电场强度。

图10-17

解取盘心为坐标原点建立如图10-17所示的坐标系。

在x轴上取一点p，p点到盘心的距离为a。

为计算整个圆盘在p点产生的电场强度，可先在圆盘上取一宽度为dr的圆环，该圆环在p点产生的电场强度，可以套用上题的结果，即

的方向沿x轴方向。

整个圆盘在p点产生的电场强度，可对上式积分求得

.

图10-18

10-16一个半径为R的半球面均匀带电，面电荷密度为σ。

求球心的电场强度。

解以球心o为坐标原点，建立如图10-18所示的坐标系。

在球面上取宽度为dl的圆环，圆环的半径为r。

显然

圆环所带的电量为

.

根据题10-14的结果，该圆环在球心产生的电场强度为

方向沿x轴的反方向。

由图中可见，

将这些关系代入上式，得

.

所以

e的方向沿x轴的反方向。

10-19如果把电场中的所有电荷分为两类，一类是处于高斯面s内的电荷，其量用q表示，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e'，另一类是处于高斯面s外的电荷，它们共同在高斯面上产生的电场强度为e"，显然高斯面上任一点的电场强度e=e'+e"。

试证明：

（1） 

；

（2） 

。

解高斯面的电通量可以表示为

 .

显然，上式中的第一项是高斯面内部电荷对高斯面电通量的贡献，第二项是高斯面外部电荷对高斯面电通量的贡献。

高斯定理表述为“通过任意闭合曲面s的电通量，等于该闭合曲面所包围的电量除以ε0，而与s以外的电荷无关。

”可见，高斯面s以外的电荷对高斯面的电通量无贡献。

这句话在数学上应表示为

. 

（1）

所以，关系式

的成立是高斯定理的直接结果。

因为

于是可以把高斯定理写为

.

将式

（1）代入上式，即得

.

（2）

图10-19

10-20一个半径为r的球面均匀带电，面电荷密度为σ。

求球面内、外任意一点的电场强度。

解由题意可知，电场分布也具有球对称性，可以用高斯定理求解。

在球内任取一点，到球心的距离为r1，以r1为半径作带电球面的同心球面s1，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得

由此解得球面内部的电场强度为

 .

在球外任取一点，到球心的距离为r2，以r2为半径作带电球面的同心球面s2，如图10-19所示，并在该球面上运用高斯定理，得

即

.

由此解得

e2的方向沿径向向外。

10-21一个半径为R的无限长圆柱体均匀带电，体电荷密度为ρ。

求圆柱体内、外任意一点的电场强度。

图10-20

解显然，电场的分布具有轴对称性，圆柱体内、外的电场强度呈辐射状、沿径向向外，可以用高斯定理求解。

在圆柱体内部取半径为r1、长度为l的同轴柱面s1（见图10-20）作为高斯面并运用高斯定理

.

上式左边的积分实际上包含了三项，即对左底面、右底面和侧面的积分，前两项积分由于电场强度与面元相垂直而等于零，只剩下对侧面的积分，所以上式可化为

于是得

方向沿径向向外。

用同样的方法，在圆柱体外部作半径为r2、长度为l的同轴柱面s2，如图10-20所示。

在s2上运用高斯定理，得

.

根据相同的情况，上面的积分可以化为

由上式求得

方向沿径向向外。

10-22两个带有等量异号电荷的平行平板，面电荷密度为±σ，两板相距d。

当d比平板自身线度小得多时，可以认为两平行板之间的电场是匀强电场，并且电荷是均匀分布在两板相对的平面上。

（1）求两板之间的电场强度；

（2）当一个电子处于负电板面上从静止状态释放，经过1.5⨯10-8s的时间撞击在对面的正电板上，若d=2.0cm，求电子撞击正电板的速率。

解

图10-21

（1）在题目所说情况下，带等量异号电荷的两平行板构成了一个电容器，并且电场都集中在两板之间的间隙中。

作底面积为δs的柱状高斯面，使下底面处于两板间隙之中，而上底面处于两板间隙之外，并且与板面相平行，如图10-21所示。

在此高斯面上运用高斯定理，得

由此解得两板间隙中的电场强度为

.

（2）根据题意可以列出电子的运动学方程

.

两式联立可以解得

 .

10-24一个半径为r的球体均匀带电，电量为q，求空间各点的电势。

解先由高斯定理求出电场强度的分布，再由电势的定义式求电势的分布。

在球内：

，根据高斯定理，可列出下式

解得

方向沿径向向外。

在球外：

，根据高斯定理，可得

解得

方向沿径向向外。

球内任意一点的电势：

 （

）.

球外任意一点的电势：

（

）.

10-25点电荷+q和-3q相距d=1.0m，求在它们的连线上电势为零和电场强度为零的位置。

图10-22

解

（1）电势为零的点：

这点可能处于+q的右侧，也可能处于+q的左侧，先假设在+q的右侧x1处的p1点，如图10-22所表示的那样可列出下面的方程式

.

从中解得

.

在+q左侧x2处的p2点若也符合电势为零的要求，则有

.

解得

.

（2）电场强度为零的点：

由于电场强度是矢量，电场强度为零的点只能在+q的左侧，并设它距离+q为x，于是有

.

解得

 .

图10-23

10-26两个点电荷q1=+40⨯10-9c和q2=-70⨯10-9c，相距10cm。

设点a是它们连线的中点，点b的位置离q1为8.0cm，离q2为6.0cm。

求：

（1）点a的电势；

（2）点b的电势；

（3）将电量为25⨯10-9c的点电荷由点b移到点a所需要作的功。

解根据题意，画出图10-23。

（1）点a的电势：

.

（2）点b的电势：

.

（3）将电荷q从点b移到点a，电场力所作的功为

电场力所作的功为负值，表示外力克服电场力而作功。

图10-24

10-27一个半径为r的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ。

求过盘心并垂直于盘面的轴线上与盘心相距a的一点的电势，再由电势求该点的电场强度。

解以盘心为坐标原点、以过盘心并垂直于盘面的轴线为x轴，建立如图10-24所示的坐标系。

在x轴上任取一点p，点p的坐标为x。

在盘上取半径为r、宽为dr的同心圆环，该圆环所带电荷在点p所产生的电势可以表示为

.

整个圆盘在点p产生的电势为

.

由电势求电场强度

.

图10-25

10-28一个半径为r的球面均匀带电，球面所带总电量为q。

求空间任意一点的电势，并由电势求电场强度。

解在空间任取一点p，与球心相距r。

在球面上取薄圆环，如图10-25中阴影所示，该圆环所带电量为

.

该圆环在点p产生的电势为

. 

（1）

式中有两个变量，a和θ，它们之间有下面的关系：

微分得

.

（2）

将上式代入式

（1），得

.

如果点p处于球外，

，点p的电势为

.（3）

其中

q=4πr2σ.

如果点p处于球内，

，点p的电势为

. （4）

由电势求电场强度：

在球外，

方向沿径向向外。

在球内，

：

.

图10-26

10-30如图10-26所示，金属球a和金属球壳b同心放置，它们原先都不带电。

设球a的半径为r0，球壳b的内、外半径分别为r1和r2。

求在下列情况下a、b的电势差：

（1）使b带+q；

（2）使a带+q；

（3）使a带+q，使b带-q；

（4）使a带-q，将b的外表面接地。

解

（1）使b带+q：

这时a和b等电势，所以

.

（2）使a带+q：

这时b的内表面带上了-q，外表面带上了+q，a、b之间的空间的电场为

方向沿径向由内向外。

所以

.

（3）使a带+q，使b带-q：

这时b的内表面带-q，外表面不再带电，a、b之间的空间的电场不变，所以电势差也不变，即与（3）的结果相同。

（4）使a带-q，将b的外表面接地：

这时b的内表面感应了+q，外表面不带电，a、b之间的空间的电场为

方向沿径向由外向内。

所以

.

10-31两平行的金属平板a和b，相距d=5.0mm，两板面积都是s=150cm2，带有等量异号电荷±q=2.66⨯10-8c，正极板a接地，如图10-27所示。

忽略边缘效应，问：

图10-27

（1） b板的电势为多大？

（2）在a、b之间且距a板1.0mm处的电势为多大？

解

（1）可以证明两板之间的电场强度为

.

于是可以求得b板的电势，为

.

（2）根据题意，a板接地，电势为零，两板之间的任何一点的电势都为负值。

所求之点处于a、b之间、且到a板的离距为

处，所以该点的电势为

.

图10-28

10-32三块相互平行的金属平板a、b和c，面积都是200cm2，a、b相距4.0mm，a、c相距2.0mm，b、c两板都接地，如图10-28所示。

若使a板带正电，电量为3.0⨯10-7c，略去边缘效应，求：

（1） b、c两板上感应电荷的电量；

（2） a板的电势。

解

（1） a板带电后，电荷将分布在两个板面上，其面电荷密度分别为σ1和σ2。

由于静电感应，b板与a板相对的面上面电荷密度为-σ1，c板与a板相对的面上面电荷密度为-σ2。

c板和b板都接地，电势为零。

所以

即

.

（1）

式中e1和d1是a、b之间的电场强度和板面间距，e2和d2是a、c之间的电场强度和板面间距。

另外

.

（2）

式

（1）、

（2）两式联立，可以解得

 .

b板上的电量为

c板上的电量为

.

（2） a板的电势

.

10-33如图10-29所示，空气平板电容器是由两块相距0.5mm的薄金属片a、b所构成。

若将此电容器放在一个金属盒k内，金属盒上、下两壁分别与a、b都相距0.25mm，电容器的电容变为原来的几倍？

图10-29

解设原先电容器的电容为c0，放入金属盒中后，形成了如图10-30所示的电容器的组合。

根据题意，有

.

图10-30

ca与cb串联的等效电容为

.

cab与c0并联的等效电容c就是放入金属盒中后的电容：

.

可见，放入金属盒中后，电容增大到原来的2倍。

10-34一块长为l、半径为r的圆柱形电介质，沿轴线方向均匀极化，极化强度为p，求轴线上任意一点由极化电荷产生的电势。

图10-31

解以圆柱体轴线的中点为坐标原点建立如图10-31所示的坐标系，x轴沿轴线向右。

根据公式

圆柱体的右端面（a端面）的极化电荷密度为+σ'，b端面的极化电荷密度为-σ'。

它们在轴线上任意一点（坐标为x）产生的电势可以套用题10-27的结果。

a面上的极化电荷在该点产生的电势为

.

b面上的极化电荷在该点产生的电势为

.

该点的电势应为以上两式的叠加，即

 .

10-35厚度为2.00mm的云母片，用作平行板电容器的绝缘介质，其相对电容率为2。

求当电容器充电至电压为400v时，云母片表面的极化电荷密度。

解云母片作为平行板电容器的电介质，厚度等于电容器极板间距。

根据极板间电压，可以求得云母片内的电场强度：

.

云母片表面的极化电荷密度为

.

10-36平行板电容器两极板的面积都是s=3.0⨯10-2m2，相距d=3.0mm。

用电源对电容器充电至电压u0=100v，然后将电源断开。

现将一块厚度为b=1.0mm、相对电容率为εr=2.0的电介质，平行地插入电容器中，求：

（1）未插入电介质时电容器的电容c0；

（2）电容器极板上所带的自由电荷q；

（3）电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度e1；

（4）电介质内的电场强度e2；

（5）两极板之间的电势差u；

（6）插入电介质后电容器的电容c。

解

（1）未插入电介质时电容器的电容为

.

（2）电容器极板上所带的自由电荷为

.

（3）电容器极板与电介质之间的空隙中的电场强度为

.

（4）电介质内的电场强度为

.

（5）两极板之间的电势差为

.

（6）插入电介质后电容器的电容为

.

10-37半径为r的均匀电介质球，电容率为ε，均匀带电，总电量为q。

求：

（1）电介质球内、外电位移的分布；

（2）电介质球内、外电场强度和电势的分布；

（3）电介质球内极化强度的分布；

（4）球体表面和球体内部极化电荷的电量。

解电介质球体均匀带电，电荷体密度为

.

（1）电介质球内、外电位移的分布

球内，即

：

 ,

方向沿径向向外。

球外，即

：

方向沿径向向外。

（2）电介质球内、外电场强度和电势的分布

电场强度的分布

球内，即

：

方向沿径向向外。

球外，即

：

方向沿径向向外。

电势的分布

球内，即

：

.

球外，即

：

.

（3）电介质球内极化强度的分布

球内，即

：

方向沿径向向外。

在球外p=0。

（4）球体表面和球体内部极化电荷的电量

球体表面的极化电荷密度为

极化电荷的总量为

.

因为整个球体的极化电荷的代数和为零，所以球体内部的极化电荷总量为-q'。

10-38一个半径为r、电容率为ε的均匀电介质球的中心放有点电荷q，求：

（1）电介质球内、外电位移的分布；

（2）电介质球内、外电场强度和电势的分布；

（3）球体表面极化电荷的密度。

解

（1）电介质球内、外电位移的分布

方向沿径向向外。

无论在电介质内还是在球外的真空中上式都是适用的。

（2）电场强度的分布

：

方向沿径向向外。

：

方向沿径向向外。

电势的分布

：

.

：

.

（3）球体表面极化电荷的密度

紧贴点电荷的电介质极化电荷总量为

.

电介质球表面上的极化电荷总量为

所以电介质表面的极化电荷密度为

.

10-39图10-32中a是相对电容率为εr的电介质中离边界极近的一点，已知电介质外的真空中的电场强度为e，其方向与界面法线n的夹角为α，求：

（1） a点的电场强度；

（2）点a附近的界面上极化电荷密度。

解

图10-32

（1）求解点a的电场强度可以分别求出点a电场强度的切向分量

和法向分量

，而这两个分量可以根据边界条件求得。

根据电场强度的切向分量的连续性可得

.

根据电位移矢量的法向分量的连续性可得

.

点a的电场强度的大小为

 ,

电场强度的方向与表面法向n的夹角α'满足下面的关系

.

（2）点a附近的界面上极化电荷密度为

.

10-40一平行板电容器内充有两层电介质，其相对电容率分别为εr1=4.0和εr2=2.0，厚度分别为d1=2.0mm和d2=3.0mm，极板面积为s=5.0⨯10-3m2，两板间的电势差为u0=200v。

（1）求每层电介质中的电场能量密度；

（2）求每层电介质中的总电场能；

（3）利用电容与电场能的关系，计算电容器中的总能量。

解

（1）两板间的电势差可以表示为

所以

.

于是可以求得电介质中的电场强度

 .

电介质中的能量密度为

.

（2）第一层电介质中的总电场能为

.

第二层电介质中的总电场能为

.

（3）题意所表示的电容器相当于两个电容器的串联，这两个电容器的电容分别为

和

.

它们串联的等效电容为

.

电容器中的总能量为

.

也可以利用上面的结果来计算

.

两种计算