二次函数专题复习与测试含答案.docx
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二次函数专题复习与测试含答案
二次函数专题复习
【课标要求】
1.通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的表达式并体会二次函数的意义.
2.会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质.
3.会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并解决简单的实际问题.
4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【知识网络】
第1讲二次函数
【知识要点】
1.二次函数的定义：
一般地，如果y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数.当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数.
2.抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“+”，下“－”）平移k（k﹥0）个单位得到函数y=ax2
；将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“+”）平移h（h﹥0）个单位得到y=a（x
.在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（（左加右减）．
【典型例题】
例1抛物线y=（x－2）2+3的顶点坐标是（）
A.（－2，3） B.（2，3） C.（－2，－3）D.（2，－3）
分析：
考查由二次函数的顶点式y=a（x－h）2+k，确定顶点坐标（h，k）
解：
B
例2将二次函数y=x2+4x－8，化为y=（x+m）2+n的形式正确的是（）
A.y=（x+2）2－8B.y=（x+2）2－4C.y=（x+2）2+12D.y=（x+2）2－12
分析：
考查配方法．
解：
D
例3二次函数y=x2的图象向上平移2个单位，得到新的图象的二次函数表达式是（）
A.y=x2－2B.y=（x－2）2C.y=x2+2D.y=（x+2）2
分析：
考查函数图象平移的规律，关键看抛物线的顶点移动前后的位置（即坐标），抛物线形状未变.
解：
C
例4已知一次函数y1=2x，二次函数y2=x2+1
（1）根据表中给出的值，计算对应的函数值，并填在表格中；
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
y1=2x
y2=x2+1
（2）观察第
（1）问表中有关的数据，证明如下结论：
在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≤y2均成立。
分析：
证明y1≤y2，可以说明y2－y1≥0
解：
（略）
【知识运用】
一、选择题
1.下列函数中,是二次函数的是（）
A.
B.y=2x2C.y=x2－2x3+1D.y=x+
2.抛物线y=（x－1）2+2的对称轴是（）
A.直线x=－1B.直线x=1C.直线x=2D.直线x=－2
3.已知抛物线y=x2－2bx+4的顶点在x轴上,则b的值一定是（）
A.1B.2C.－2D.2或－2
4.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x2－3x+5,则有（）
A.b=3,c=7B.b=－9,c=－15C.b=3,c=3D.b=－9,c=21
二、填空题
5.平移抛物线y=x2+2x－8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式．
6.若将二次函数y=x2－2x+3配为y=（x－h）2+k的形式,则y=．
7.已知二次函数y=ax2+bx－1的图象如图20－1－1所示,则点（a,b）关于原点的对称点在第______象限．
三、解答题
8.等边三角形边长为x，面积为y，求x与y之间的函数关系式．
图20-1-1
9.把一个长为100m，宽为60m的游泳池扩建成一个周长为600m的大型水上游乐场，如果把游泳池的长增加xm．
（1）写出扩建后面积y（m2）与x（m）之间的关系式；
（2）水上游乐场的面积能否达到20000m2？
第二讲二次函数的图象及性质
【知识要点】
1、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是以（－
，
）为顶点，以x=－
为对称轴的一条抛物线.
2、在画二次函数的图象时应抓住以下五点：
开口方向，对称轴，顶点，与x轴交点，与y轴交点.
3、抛物线y=ax2+bx+c的图象位置及性质与a、b、c的关系：
1当a﹥0时，开口向上，a越大，开口越小，图象两边越靠近y轴.在对称轴x=－
的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴x=－
的右侧，y随x的增大而增大.此时，y有最小值y=
，顶点（－
，
）为最低点.（同样的方法，分析当a﹤0时的情况）
2ab﹥0时，对称轴在y轴左侧；ab=0时，对称轴是y轴；ab﹤0时，对称轴在y轴右侧.c﹥0时，与y轴正半轴相交；c=0时，经过原点；c﹤0时，与y轴负半轴相交.
【典型例题】
例1用列表法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时先列一个表,当表中自变量x的值以相等间隔的值增加时,函数y所对应的值依次为20,56,110,182,274,380,506,650.其中有一个值不正确,这个不正确的值是（）
A.506B.380C.274D.182
分析：
考查二次函数的性质,56－20=36,110－56=54,182－110=72,274－182=92,380－274=106,506－380=126,显然274这个值不正确.
解：
C
例2已知二次函数y=ax2－2x+3的图象如图20－2－1,则一次函数y=ax+3的图象不经过（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
分析：
考查二次函数的图象的特征,观察图象可知a﹤0,又根据
3﹥0,可推断一次函数y=ax+3的图象经过第一、二、四象限.
解：
C
例3图20－2－2中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（）
A.h=mB.k=nC.k﹥nD.h﹥0，k﹥0
分析：
考查在同一直角坐标系下，不同的抛物线的特征与相应
字母系数的关系．
解：
B
例4心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位:
分）之间满足函数关系：
y=－0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）
①x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?
x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?
②第10分时,学生的接受能力是多少?
③第几分时,学生的接受能力最强?
分析：
解决这类问题先求二次函数的顶点坐标,再结合开口方向及自变量的取值范围,画出草图,观察图象得出结论.
解：
①y=－0.1x2+2.6x+43=－0.1（x－13）2+59.9
草图如图20－2－3,所以,当0≤x≤13时,学生的接受能力逐步增强;
当13﹤x≤30时,学生的接受能力逐步降低.
②当x=10时,y=－0.1（x－13）2+59.9=59,即第10分时,学生的接受能力是59.
③当x=13时,y取最大值.所以第13分时,学生的接受能力最强.
【知识运用】
一、选择题
1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）
A.－1B.0C.1D.2
2．关于二次函数y=（x+2）2－3的最大（小）值,叙述正确的是（）
A.当x=2时,有最大值－3B.当x=－2时,有最大值－3
C.当x=2时,有最小值－3D.当x=－2时,有最小值－3
3．已知a﹤－1,点（a－1,y1）,（a,y2）,（a+1,y3）都在函数y=x2的图象上,则（）
A.y1﹤y2﹤y3B.y1﹤y3﹤y2C.y3﹤y2﹤y1D.y2﹤y1﹤y3
4．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图20－2－4所示,则下列结论正确的是（）
A.a﹥0,b﹤0,c﹥0B.a﹤0,b﹤0,c﹥0
C.a﹤0,b﹥0,c﹤0D.a﹤0,b﹥0,c﹥0
二、填空题
5．在二次函数y=ax2+bx+c（c≠0）中，已知b是a、c的比例中项，且当x=0时，y=－4，那么y的最值为（说明最大值还是最小值）
6．与抛物线y=2x2－2x－4关于x轴对称的图象表示的函数关系式为
三、解答题
7．已知正方形周长为xcm，面积为ycm2.
（1）写出x与y的函数关系式；
（2）画出图象；
（3）根据图象回答，当y=
cm2时，正方形的周长.
8．某农场种植一种蔬菜，销售员张平根据往年的销售情况，对今年这种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图20－2－5，图中的抛物线（部分）表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系．观察图象，你能得到关于这种蔬菜销售情况的那些信息？
图20-2-5
第三讲二次函数与方程（组）
【知识要点】
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点
△﹥0
抛物线与x轴相交.②有一个交点
△=0
抛物线与x轴相切.③没有交点
△﹤0
抛物线与x轴相离.
2．一次函数y=kx+n（k≠0）的图象L与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象G的交点，由方程组
的解的数目确定：
①当方程组有两个不同的解时
L与G有两个交点；②方程组只有一组解时
L与G只有一个交点；③方程组无解时
L与G有没有交点.
【典型例题】
例1若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c= （只要求写出一个）
分析：
考查二次函数的图象的性质，其实，当c=4时，二次函数y=（x－2）2与x轴只有一个交点，因而当c﹥4，二次函数与x轴没有交点.
解：
5（答案不唯一）
例2二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为
分析：
考查二次函数的图象与坐标轴交点的问题.由x2－2x－3=0，得x1=－1，x2=3，然后观察图象，确定点（－1，0）与点（3，0）之间的距离.
解：
4
例3已知抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个交点,且交点为A（2,0）．
（1）求b、c的值．
（2）若抛物线与y轴交点为B，坐标原点为O，求△OAB的周长（答案可带根号）．
分析：
抛物线与x轴交点的横坐标，也就是方程x2+bx+c=0的实数根.因为只有一个实数根，也就是方程有两个相等实数根，即b2－4c=0.再把A点坐标代入，求出b、c的值.△OAB为直角三角形，一条直角边OA=2，另一条直角边为抛物线与y轴交点的纵坐标的绝对值，求出交点B的坐标即可.用勾股定理求出AB的长，最后求得周长.
解：
（1）因为抛物线与x轴只有一个交点,所以x2+bx+c=0有两个相等实数根.
所以b2－4c=0.①又因为A（2，0）在抛物线上，所以4+2b+c=0②，由①②得，b=－4，c=4.
（2）由
（1）得抛物线解析式为y=x2－4x+4，当x=0时，y=4，所以B（0，4），即OB=4.
所以，AB=
，所以△OAB的周长为：
2+4+2
=6+2
.
例4如图20－3－1,已知一抛物线形大门,其地面宽度AB=18m.一同学站在门内,在离门脚B点1m远的D处,垂直地面立起一根1.7m长的木杆,其顶端恰好顶在抛物线形门上C处.根据这些条件,请你求出该大门的高h.
分析：
本题关键是建立坐标系,不同坐标系下,函数形式不一样.
解：
如图20－3－2建立坐标系.
设抛物线解析式为y=ax2.
把B（9,－h）,C（8,－h+1.7）分别代入解析式,得
∴
解得
∴该大门的高h为8.1米.
【知识运用】
一、选择题
1.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是（）
A.a﹥0，b2－4ac﹤0B.a﹤0，b2－4ac﹥0
C.a﹥0，b2－4ac﹥0D.a﹤0，b2－4ac﹤0
2.抛物线y=x2+（2m－1）x+m2与x轴有两个交点，则m的取值范围是（）
A.m﹥
B.m﹥－
C.m﹤
D.m﹤－
3.一次函数y=2x－3与二次函数y=x2－2x+1的图象有（）
A.一个交点B.两个交点C.无数个交点D.无交点
4.二次函数y=ax2+bx+c的最大值是零，那么代数式
的化简结果是（）
A.aB.－aC.1D.0
二、填空题
5.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交点的横坐标为－1,则a+c=
6.已知二次函数y=－4x2－2mx+m2与反比例函数y=
的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是－2,则m的值是
三、解答题
7.已知二次函数y=ax2－2的图象经过点（1,－1）.求这个二次函数的解析式,并判断该函数图象与x轴的交点的个数.
8.已知抛物线y=x2－2x－8.
（1）求证：
该抛物线与x轴一定有两个交点.
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A，B，且它的顶点为P，求△ABP的面积.
第四讲二次函数解析式的三种求法
【知识要点】
求二次函数的解析式，要根据具体情况，选择适当方法.二次函数常见的表达式有三种：
（1）已知任意三点求解析式用一般式，即y=ax2+bx+c（a≠0）.其方法是：
把三点坐标值分别代入一般式，得到关于a，b，c的三元一次方程组，求出a，b，c，即可得二次函数解析式.
（2）已知顶点或最大（小）值求解析式用顶点式，即y=a（x－h）2+k（a≠0）．其方法是：
先将顶点坐标（h，k）或最大（小）值代入顶点式，再把另一点坐标代入求出a，即可得二次函数解析式.
（3）已知与x轴两交点坐标求解析式用交点式，即y=a（x－x1）（x－x2）（a≠0）.其方法是：
将抛物线与x轴两交点横坐标x1，x2代入交点式，然后将抛物线上另一点坐标代入求出a，即可得二次函数解析式.
【典型例题】
例1已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过A（－1，3）、B（1，3）、C（2，6）三点，则该抛物线的解析式为
分析：
因为抛物线y=ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点，可将A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c中，得到关于a、b、c的一个三元一次方程组，解之，求出a、b、c.
解：
y=x2+2
例2如图20－4－1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时，y的值相等.直线y=3x－7与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M，求这条抛物线的解析式.
分析：
因为x=0和x=2时，y的值相等，所以由抛物线的对称性可知，对称轴是x=1.因为y=3x－7与y=ax2+bx+c相交于两点，其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M，所以直线与抛物线的一交点为（4，5），顶点M（1，－4）.
设抛物线解析式为y=a（x－1）－4，把（4，5）代入此式，得a=1.
解：
y=x2－2x－3
例3已知变量y是x的二次函数，且图象如图20－4－2所示，在x轴上截得的线段AB长为4个单位，又知函数图象顶点坐标为P（3，－2）.求这个函数的解析式。
分析：
因为函数图象顶点坐标为P（3，－2），在x轴上截得的线段AB长为4个单位，
所以抛物线与x轴的两个交点为A（1，0），B（5，0）
设所求二次函数解析式为y=a（x－1）（x－5），图象经过（3，－2），代入，求得a=
解：
y=
x2－3x+
例4已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和点（5，0），则该抛物线的解析式为
分析：
方法一：
因为抛物线的对称轴为x=2，则可设解析式为y=a（x－2）2+b，再将两点坐标代入求出a、b的值.
方法二：
将两点坐标代入y=ax2+bx+c中，得到两个方程式，再由x=－
=2得到一个方程，然后联立解这个方程组，得a、b、c的值.
方法三：
因为抛物线的对称轴是x=1，由线的对称性可知，抛物线与x轴另一交点为（－1，0）.可由交点式求出解析式.
解：
y=－
x2+2x+
【知识运用】
一、选择题
1.过A（－1,0）、B（3，0）、C（1，2）三点的抛物线的顶点坐标是（）
A.（1，2）B.（1，
）C.（－1，5）D.（2，
）
2.二次函数y=mx2+4x+m－1的最小值为2，则m的值为（）
A.4B.3C.－1D.4或－1
3.已知二次函数y=－x2+bx+c的图象的最高点是（－1，－3），则b与c的值是（ ）.
A.b=2c=4 B.b=2c=－4 C.b=－2c=4D.b=－2c=－4
4.若所求的二次函数与抛物线y=2x2－4x－1有相同的顶点,并且在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小,则所求二次函数的解析式为（）
A.y=x2+2x－4B.y=ax2－2ax+a－3（a﹥0）C.y=2x2－4x－5D.y=ax2－2ax+a－3（a﹤0）
二、填空题
5.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（－2，7）、B（6，7）、C（3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是
6.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1，10）和（2，7）且3a+2b=0。
则该抛物线的解析式是
7.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（－1，2）和（3，2）两点，则4a+2b+3的值为
三、解答题
8.已知抛物线y=ax2+bx+c经过（0，0）与（12，0），最高点纵坐标是3，求这条抛物线的解析式.
9.已知抛物线y=－x2+（m－4）x+2m+4与x轴交于点A（x1,0）、B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x1﹤x2，x1+2x2=0.若点A关于y轴的对称点是点D.
求：
过点C、B、D的抛物线的解析式。
第五讲用二次函数解决实际问题
【典型例题】
例1农村常需要搭建截面为半圆形的全封闭蔬菜塑料暖房（如图20－5－1），则需塑料布y（m2）与半径R（m）的函数关系式是（不考虑塑料布埋在土里的部分）
分析：
考查在实际问题情况中确定二次函数的表达式，
y=30·
·2R+
，再整理而得.
解：
y=30R+
例2某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，生产第一档次（即最低档次）的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元.
（1）当每件利润为16元时，此产品质量在第几档次？
（2）由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天产量减少4件.若生产第x档的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的是第几档次的产品？
分析：
考查二次函数的应用.
解：
（1）当每件利润为16元时，此产品质量在第四档次.
（2）根据题意，得y=[10+2（x－1）][76－4（x－1）]=－8x2+128x+640
当总利润为1080元时，－8x2+128x+640=1080解得x1=5，x2=11（不符合题意，舍去）
答：
当生产的是第5档次的产品，一天的总利润为1080元．
例3随着海峡两岸交流日益增强，通过“零关税”进入我市的一种台湾水果，其进货成本是0.5万元,这种水果市场上的销售量y（t）是每吨的销售价x（万元）的一次函数,且x=0.6时,y=2.4；x=1时,y=2.
（1）求出销售量y（t）与每吨的销售价x（万元）之间的函数关系式；
（2）若销售利润为w（万元）,请写出w与x之间的函数关系式,并求出销售价为每吨2万元时的销售利润.
分析：
考查二次函数的应用.
解：
（1）设y=kx+b∵x=0.6时,y=2.4;x=1时,y=2∴
∴
∴函数关系式为y=－x+3
（2）∵由已知w=y·x－0.5y=（－x+3）x－（－x+3）×0.5=－x2+3.5x－1.5
∴当x=2时,w=－22+3.5×2－1.5=1.5故此时的销售利润是1.5万元．
例4一辆电瓶车在实验过程中,前10s行驶的路程s（m）与时间t（s）满足关系式s=at2，第10s末开始匀速行驶,第24s末开始刹车,第28s末停在离终点20m处,图20－5－2是电瓶车行驶过程中每2s记录一次的图象.
（1）求电瓶车出发到刹车时的路程s（m）与时间t（s）的函数关系式．
（2）如果第24s末不刹车继续匀速行驶,那么出发多少秒
后通过终点?
（3）如果10s后仍按s=at2的运动方式行驶,那么出发多少秒后通过终点?
（参考数据:
≈2.24,
≈2.45,计算结果保留两个有效数字）
分析：
这是一道综合性问题,考查学生一次函数、二次函数的应用，以及综合分析问题、解决问题的能力.
解：
（1）当0≤t≤10时，点（10，10）在s=at2上，可解得a=0.1，s=0.1t2
当0≤t≤10时,由图象可设一次函数s=kt+b,过（10,10）,（24,38）,
∴
解得
∴s=2t－10
（2）当s=40+20=60时,60=2t－10,∴t=35即第24s末不刹车继续匀速行驶,那么出发35秒后通过终点．
（3）当s=60时,由s=0.1t2,60=0.1t2,t=
（舍去负值）∴t≈25即出发25秒后通过终点.
【知识运用】
一、选择题
1.把一个小球以20m/s的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
h=20t－5t2.当h=20时，小球的运动时间为（）
A.20sB.2sC.（2
+2）sD.（2
－2）s
2.苹果熟了，从树上落下所经过的路线s与下落的时间t满足s=
（g是不为0的常数），则s与t的函数图象大致是（）
3..如图20－5－3，有一抛物线形拱桥，当水线在AB位置时，拱桥离
水面2m，水面宽4m，水线下降1m后，水面宽为（）
A.
mB.
mC.
mD.2
m
4.如图20－5－4，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为S，AE为x，则S关于x的函数图象大致是（）
二、填空题
5.汽车刹车距离s（m）与速度v（km/h）之间的函数关系是s=
，在一辆车速为100km/h的汽车前方80m处发现停着一辆故障车，此时刹车有危险.（填“会”或“不会”）
6.如图20－5－5，一男生推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是
，则铅球推出距离为m．
三、解答题
7.一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆围成如图20－5－6所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
8.如图20－5－7为某市立交桥横断面的示意图，以地面水平线为x轴，横断面的对称轴为y轴建立坐标系.已知横断面为抛物线形状，跨度为40m（即AB=40m），最高处离地面10m（即CD=10m）.问：
一辆宽5m，
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