正项级数敛散性判别法的讨论-论文.doc
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摘要：
级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分，判别正项级数敛散性的方法很多，本文主要讨论了正项级数的判别法一些特性，及判别正项级数敛散性的一般步骤.并阐述一些正项级数判别的新方法.
关键词：
正项级数、收敛、判别法
Abstract:
HigherMathematicsseriesisanimportantpartofteaching,TheseriesofpositivetermsisanimportantseriesPart,PositiveidentificationofConvergenceandDivergenceofmanyways,Thispaperdiscussesthepositiveseriesofdistinguishinganumberofsub-features,anddeterminethepositiveseriesforconvergenceofthegeneralsteps.andpresentsanumberofpositiveseriesofnewmethodsofidentification.
Keywords:
Positiveseries;Convergence;Discriminance;
引言
数项级数是数的加法从有限到无限的自然推广.但在作加法运算时，许多有限次加法的性质在计算无限次加法时发生了改变.首先，有限次相加的结果总是客观存在的，而无限次相加则可能不存在有意义的结果.也就是说，一个级数可能是收敛或发散的.因而，判别级数敛散性的问题往往被看作级数的首要问题.
教材和很多文献已经给出了关于级数敛散性的判别方法，但实际应用中往往会遇到这样的问题：
对于一个给定级数，应采用哪种判别法才能快速而又简洁的判定它的敛散性呢？
即应按怎样的步骤去思考，在短时间内很难把握.本文就这一问题做了一些总结和讨论.
1正项级数的定义和收敛的充要条件
1.1正项级数的定义
如果级数中各项均有,这种级数称为正项级数.
1.2正项级数收敛的充要条件
如果级数中，部分和数列有界，即存在某正数M，对有.
2正项级数判别法
2.1比较判别法【1】
设和是两个正项级数，如果存在某个正数N，对一切n>N都有，那么
（1）若级数收敛，则级数也收敛；
（2）若级数发散，则级数也发散.
比较判别法的极限形式：
设和是两个正项级数.若，则
（1）当时，和同时收敛或同时发散；
（2）当时，若级数收敛，则级数也收敛；
（3）当，若级数发散，则级数也发散.
2.2比式判别法【２】
设为正项级数，且存在某正整数及常数
（1）若对一切，成立不等式，则级数收敛；
（2）若对一切，成立不等式，则级数发散.
比式判别法的极限形式
若为正项级数，则
（1）当时，级数收敛；
（2）当时，级数发散.
2.3根式判别法【2】
设为正项级数，且存在某正整数及常数
（1）若对一切，成立不等式，则级数收敛；
（2）若对一切，成立不等式，则级数发散；
根式判别法的极限形式:
设是正项级数，且，则
（1）当时，则级数收敛；
（2）当时，则级数发散.
2.4积分判别法
设为上非负递减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.
2.5Raabe判别法【1】
设为正项级数，且则
（1）当时，级数收敛；
（2）当时，级数发散.
2.5.1第一对数判别法【2】
设为正项级数，且.则
（1）当时，级数收敛；
（2）当时，级数发散.
2.5.2第二对数判别法【2】
设为正项级数，且则
（1）当时，级数收敛；
（2）当时，级数发散.
引理1当，有不等式：
证明作函数.在区间上应用lagrange中值定理可得
也就是说，当，有.
引理2无穷级数，当时收敛；当时发散
引理3设级数和为正项级数，存在正整数N，当，满足不等式:
则
（1）如果收敛，则收敛；
（2）如果发散，则发散.
对数第二判别法的证明
（1）当时，则存在，使，由知，对存在正整数，使得当时，有
，即.
由数列单调递减且趋于知对一切正整数有
.于是当时有
而无穷级数，当时收敛，故由引理3知当时，级数收敛.
（2）当时,存在正数，使，由知，对存在正整数，使得当时，有
，即
根据且知，存在正整数，得当时有
.
取，则当时有
而调和级数是发散的，故由引理3知当时，级数发散.
2.5.3第二对数判别法和Raabe判别法的等价性
既然第二对数判别法和Raabe判别法都是以p一级数作为比较标准得出的，那么它们之间有什么内在的必然的联系呢?
下面我们将证明第二对数判别法和Raabe判别法是等价的．我们有：
定理数列是正数列，则充要条件是.
证明（充分性）若.由引理1有
对上式取极限，可得.
（必要性）若，有，于是有
，
由定理可知，第二对数判别法是Raabe判别法的等价变形，因而将第二对数判别法称为Raabe对数判别法更合理一些．对于有的正项级数有Raabe对数判别法是很方便的.
应用举例
例1
分析：
本题无法使用根式判别法与比式判别法，因此选择比较判别法进行判断
且级数收敛
所以级数收敛.
例2
分析：
本题无法使用根式判别法、比式判别法，或比较判别法以及其他的判别法进行判断，因此选用充要条件进行判断
单调递增且有界
所以级数收敛.
例3
分析：
本题分母含有的表达式，优先选择积分判别法
当且仅当时收敛.
级数收敛.
例4
分析：
本题中分子中含有，无法用比式判别法或其他判别法进行判别，所以这种判别法是根式判别法的类型，取上极限进行判别，因此，选用根式判别法.
级数收敛.
3正项级数新的判别方法
引理设正数列单调递减，则级数与同时收敛【1】.
证明级数与有相同的收敛性，不妨设级数的部分和为，级数的部分和为.如果级数收敛，即级数收敛，又由于是单调递减的正项级数，则有
=
所以收敛时，也收敛.
反之，当收敛时，有
所以收敛时，也收敛.
命题1（隔项比值法）设正数列单调递减，且
.若，则级数收敛.
证明当时，有.现取
，就有
上式正是正项级数
第k+1项与第k项之比的极限，由比式判别法的极限形式可知收敛，
再由引理可知收敛.
例1判断正项级数的收敛性.
证明因为
可见比式判别法失效，现单调递减，改用隔项比值法求解.
由此可知级数收敛.
命题2设正数列单调递减，且，
若，则正项级数收敛
证明记，由引理可知与同时收敛
与同时收敛，故与同时收敛，在中令，就有
再令即得证.
例2证明级数的收敛性
证明设，因为正数列单调递减，且有
由命题2知收敛.
4总结与展望
数学分析作为数学系的重要专业基础课程，对学习好其他科目具有重要作用.级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断.
判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为0，若为0则发散，若不为0则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如比值判别法、根式判别法.当上述方法都无法使用时，根据条件选择积分判别法、柯西判别法判别法.当无法使用根式判别法时，通常可以选用比式判别法，当比式判别法也无法使用时，使用比较判别法，若比较判别法还是无法判别时再使用充要条件进行断.由此，我们可以得到正项级数的判别法是层层递进使用的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此正项级数的判别法有无穷多种.
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.本文归纳总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断.正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性，也可以推广到傅立叶级数的敛散性判别，在复变函数中也可以用于判定级数在复平面上的敛散性和收敛半径.
由于时间仓促，本文尚有许多不足之处，欢迎大家提出意见和建议，同时希望通过本文能加深学习者对正项级数的了解.
参考文献
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