曲靖一模数学.docx

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曲靖一模数学

2016年云南省曲靖市中考数学一模试卷

一、选择题：

本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共24分．

1．下列方程是一元二次方程的是（）

A．3x2+

=0B．2x﹣3y+1=0C．（x﹣3）（x﹣2）=x2D．（3x﹣1）（3x+1）=3

2．对右图的对称性表述，正确的是（）

A．轴对称图形

B．中心对称图形

C．既是轴对称图形又是中心对称图形

D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形

3．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）

A．115°B．120°C．125°D．145°

4．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则

的值为（）

A．﹣1B．1C．﹣2D．2

5．如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为（）

A．7cmB．6cmC．5cmD．4cm

6．某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）

A．200（1+a%）2=148B．200（1﹣a%）2=148C．200（1﹣2a%）=148D．200（1﹣a2%）=148

7．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为（）

A．5B．7C．8D．10

8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在ab、ac、b2﹣4ac，2a+b，a+b+c，这五个代数式中，其值一定是正数的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题：

本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

9．一元二次方程x（x﹣2）=0的解是__________．

10．二次函数y=2（x﹣

）2+3，当x__________时，y随x的增大而增大．

11．平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），把OA绕点O逆时针旋转90°，那么A点旋转后所到点的横坐标是__________．

12．如图，AB是半圆的直径，点C在半圆周上，连接AC，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动．则∠ACP的度数可以是__________．

13．已知点A（a﹣2b，﹣2）与点A′（﹣6，2a+b）关于坐标原点对称，则3a﹣b=__________．

14．若x=a是方程x2﹣x﹣2015=0的根，则代数式2a2﹣2a﹣2015值为__________．

15．一个圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是__________cm2．

16．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④、…则三角形⑩的直角顶点与坐标原点的距离为__________．

三、解答题：

本大题共8个小题，满分72分。

17．计算：

（

）﹣2﹣（π﹣3.14）0+

﹣|2﹣

|．

18．解方程：

（1）3x（x﹣1）=2x﹣2

（2）x2+3x+2=0．

19．先化简，再求值：

，其中

．

20．已知关于x的方程x2+mx+m﹣3=0．

（1）若该方程的一个根为1，求m的值及该方程的另一根；

（2）求证：

不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

21．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．

22．有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：

①分别转动转盘A、B．

②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．

（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和为5的倍数的概率；

（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：

数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？

请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏双方公平．

23．如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且

，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．

（1）求证：

CD是⊙O的切线；

（2）若

，CD=4，求⊙O的半径．

24．如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）求△ACD的面积；

（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2016年云南省曲靖市中考数学一模试卷

一、选择题：

本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共24分．

1．下列方程是一元二次方程的是（）

A．3x2+

=0B．2x﹣3y+1=0C．（x﹣3）（x﹣2）=x2D．（3x﹣1）（3x+1）=3

【考点】一元二次方程的定义．

【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：

（1）只含有一个未知数；

（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．

【解答】解：

A、3x2+

=0是分式方程，故此选项错误；

B、2x﹣3y+1=0为二元一次方程，故此选项错误；

C、（x﹣3）（x﹣2）=x2是一元一次方程，故此选项错误；

D、（3x﹣1）（3x+1）=3是一元二次方程，故此选项正确．

故选D．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．

2．对右图的对称性表述，正确的是（）

A．轴对称图形

B．中心对称图形

C．既是轴对称图形又是中心对称图形

D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：

由图形的对称性知右图不是轴对称图形，是中心对称图形．

故选：

B．

【点评】掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．

①轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；

②中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

3．如图，将Rt△ABC（其中∠B=30°，∠C=90°）绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角等于（）

A．115°B．120°C．125°D．145°

【考点】旋转的性质．

【专题】计算题．

【分析】先利用互余计算出∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAB′等于旋转角，然后利用邻补角计算∠BAB′的度数即可．

【解答】解：

∵∠B=30°，∠C=90°，

∴∠BAC=60°，

∵Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转到△AB1C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，

∴∠BAB′等于旋转角，且∠BAB′=180°﹣∠BAC=120°，

∴旋转角等于120°．

故选B．

【点评】本题考查了旋转的性质：

对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．

4．已知一元二次方程x2﹣3x﹣3=0的两根为α与β，则

的值为（）

A．﹣1B．1C．﹣2D．2

【考点】根与系数的关系．

【专题】计算题．

【分析】先根据根与系数的关系得到α+β=3，αβ=﹣3，再通分得到

=

，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：

根据题意得α+β=3，αβ=﹣3，

所以

=

=

=﹣1．

故选A．

【点评】本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣

，x1x2=

．

5．如图，在⊙O中，弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，若AB=8cm，AC=6cm，则⊙O的半径OA的长为（）

A．7cmB．6cmC．5cmD．4cm

【考点】垂径定理；勾股定理．

【分析】根据垂径定理求得OD，AD的长，并且在直角△AOD中运用勾股定理即可求解．

【解答】解：

∵弦AB⊥AC，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，

∴四边形OEAD是矩形，AD=

AB=4cm，AE=

AC=3cm，

∴OD=AE=3cm，

∴OA=

=

=5（cm）；

故选：

C．

【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、矩形的判定与性质；利用垂径定理求出AD，AE的长是解决问题的关键．

6．某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为148元，下列所列方程正确的是（）

A．200（1+a%）2=148B．200（1﹣a%）2=148C．200（1﹣2a%）=148D．200（1﹣a2%）=148

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】主要考查增长率问题，本题可用降价后的价格=降价前的价格×（1﹣降价率），首先用x表示两次降价后的售价，然后由题意可列出方程．

【解答】解：

依题意得两次降价后的售价为200（1﹣a%）2，

∴200（1﹣a%）2=148．

故选：

B．

【点评】增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．

7．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，若PA=4，则△PCD的周长为（）

A．5B．7C．8D．10

【考点】切线长定理．

【分析】根据切线长定理得到PB=PA、CA=CE，DE=DB，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：

∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，

∴PB=PA=4，

∵CD切⊙O于点E且分别交PA、PB于点C，D，

∴CA=CE，DE=DB，

∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+CA+PD+DB=PA+PB=8，

故选：

C．

【点评】本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．

8．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在ab、ac、b2﹣4ac，2a+b，a+b+c，这五个代数式中，其值一定是正数的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【考点】二次函数图象与系数的关系．

【专题】数形结合．

【分析】利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号，则可判断ab＜0，ac＜0；由抛物线与x轴有2个交点可判断△=b2﹣4ac＞0；利用对称轴方程得到﹣

＜1，根据不等式性质可判断2a+b＞0；利用x=1时的函数值为负数可得到a+b+c＜0．

【解答】解：

∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，

∴x=﹣

＞0，

∴b＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c＜0，

∴ab＜0，ac＜0；

∵抛物线与x轴有2个交点，

∴△=b2﹣4ac＞0；

∵0＜﹣

＜1，

∴2a+b＞0；

∵x=1时，y＜0，

∴a+b+c＜0．

故选B．

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：

抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：

△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

二、填空题：

本大题共8个小题，每小题3分，共24分。

9．一元二次方程x（x﹣2）=0的解是x1=0，x2=2．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】利用因式分解法解方程．

【解答】解：

x=0或x﹣2=0，

所以x1=0，x2=2．

故答案为：

x1=0，x2=2．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：

先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

10．二次函数y=2（x﹣

）2+3，当x＞

时，y随x的增大而增大．

【考点】二次函数的性质．

【分析】根据二次函数的顶点式方程可得出其对称轴及增减性，可得出答案．

【解答】解：

∵y=2（x﹣

）2+3，

∴二次函数开口向上，对称轴为x=

，

∴当x＞

时，y随x的增大而增大，

故答案为：

＞

．

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数y=a（x﹣h）2+k的对称轴为x=h及其增减性是解题的关键．

11．平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，3），把OA绕点O逆时针旋转90°，那么A点旋转后所到点的横坐标是﹣3．

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【专题】数形结合．

【分析】如图，作AB⊥y轴于点B，如图，易得AB=2，OB=3，则把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△OA′B′，根据旋转的性质得∠BOB′=90°，∠ABO=∠A′B′O=90°，OB′=OB=3，即点B′落在x轴的负半轴上，于是得到A点旋转后所到点的横坐标为﹣3．

【解答】解：

如图，作AB⊥y轴于点B，如图，

∵点A的坐标为（2，3），

∴AB=2，OB=3，

把△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA′B′，

∴∠BOB′=90°，∠ABO=∠A′B′O=90°，OB′=OB=3，

∴A点旋转后所到点的横坐标为﹣3．

故答案为﹣3．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：

图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：

30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是把线段的旋转转化为直角三角形的旋转．

12．如图，AB是半圆的直径，点C在半圆周上，连接AC，∠BAC=30°，点P在线段OB上运动．则∠ACP的度数可以是60°．

【考点】圆周角定理．

【专题】开放型．

【分析】分类讨论：

当点P在点O处时，根据等腰三角形的性质易得∠ACP=30°；当点P在点B处时，根据圆周角定理易得∠ACP=90°，所以30°≤∠ACP的度数≤90°，然后在此范围内任意取一个角度即可．

【解答】解：

当点P在点O处时，PC=PA，此时∠ACP=30°；

当点P在点B处时，AB为直径，此时∠ACP=90°，

所以30°≤∠ACP的度数≤90°，

故答案为60°．

【点评】本题考查了圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

13．已知点A（a﹣2b，﹣2）与点A′（﹣6，2a+b）关于坐标原点对称，则3a﹣b=8．

【考点】关于原点对称的点的坐标．

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：

两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a﹣2b=6，2a+b=2，再解方程即可．

【解答】解：

∵点A（a﹣2b，﹣2）与点A′（﹣6，2a+b）关于坐标原点对称，

∴a﹣2b=6，2a+b=2，

∴a=2，b=﹣2，

∴3a﹣b=8，

故答案为：

8．

【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．

14．若x=a是方程x2﹣x﹣2015=0的根，则代数式2a2﹣2a﹣2015值为2015．

【考点】一元二次方程的解．

【分析】把x=a代入已知方程，并求得a2﹣a=2015，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．

【解答】解：

把x=a代入x2﹣x﹣2015=0，得

a2﹣a﹣2015=0，

解得a2﹣a=2015，

所以2a2﹣2a﹣2015=2（a2﹣a）﹣2015=2×2015﹣2015=2015．

故答案是：

2015．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

15．一个圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是18πcm2．

【考点】圆锥的计算．

【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长=底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．

【解答】解：

底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面展开图是半圆，则母线长=6π×2÷2π=6cm，

∴圆锥的侧面积=

×6π×6=18πcm2．

【点评】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．

16．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④、…则三角形⑩的直角顶点与坐标原点的距离为36．

【考点】坐标与图形变化-旋转．

【专题】规律型．

【分析】先利用勾股定理得到AB=5，利用图形和旋转的性质可得到△OAB每三次旋转一个循环，并且每一个循环向前移动了12个单位，由于10=3×3+1，则可判断三角形⑩和三角形①的状态一样，且三角形⑩与三角形⑨的直角顶点相同，所以三角形⑩的直角顶点与坐标原点的距离为3×12=36．

【解答】解：

∵A（﹣3，0），B（0，4），

∴OA=3，OB=4，

∴AB=

=5，

∵对△OAB连续作如图所示的旋转变换，

∴△OAB每三次旋转后回到原来的状态，并且每三次向前移动了3+4+5=12个单位，

∵10=3×3+1，

∴三角形⑩和三角形①的状态一样，则三角形⑩与三角形⑨的直角顶点相同，

∴三角形⑩的直角顶点的横坐标为3×12=36，纵坐标为0，

∴三角形⑩的直角顶点与坐标原点的距离为36．

故答案为36．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：

图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：

30°，45°，60°，90°，180°．解决本题的关键是确定△OAB连续作旋转变换后三角形的状态的变换规律．

三、解答题：

本大题共8个小题，满分72分。

17．计算：

（

）﹣2﹣（π﹣3.14）0+

﹣|2﹣

|．

【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．

【专题】计算题；实数．

【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项化为最简二次根式，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．

【解答】解：

原式=4﹣1+2

﹣

+2=

+5．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．解方程：

（1）3x（x﹣1）=2x﹣2

（2）x2+3x+2=0．

【考点】解一元二次方程-因式分解法．

【专题】计算题．

【分析】

（1）先变形得到3x（x﹣1）﹣2（x+1）=0，然后利用因式分解法解方程；

（2）利用因式分解法解方程．

【解答】解：

（1）3x（x﹣1）﹣2（x+1）=0，

（x+1）（3x﹣2）=0，

x+1=0或3x﹣2=0，

所以x1=﹣1，x2=

；

（2）（x+1）（x+2）=0，

x+1=0或x+2=0，

所以x1=﹣1，x2=﹣2．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：

先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

19．先化简，再求值：

，其中

．

【考点】二次根式的化简求值；分式的化简求值．

【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．

【解答】解：

原式=

=

=

=﹣（x﹣4），

当

时，

原式=

=

=

．

【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．

20．已知关于x的方程x2+mx+m﹣3=0．

（1）若该方程的一个根为1，求m的值及该方程的另一根；

（2）求证：

不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

【考点】根的判别式；一元二次方程的解．

【分析】

（1）把x=1代入原方程求得m的值，进一步求得方程的另一个根即可；

（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．

【解答】

（1）解：

把x=1代入方程x2+mx+m﹣3=0得

1+m+m﹣3=0，

解得：

m=1，

则原方程为x2+x﹣2=0，

解得：

x=﹣2，或x=1．

因此方程的另一个根为﹣2．

（2）证明：

△=m2﹣4（m﹣3）=（m﹣2）2+8，

∵（m﹣2）2≥0，

∴（m﹣2）2+8＞0，

∴该方程都有两个不相等的实数根．

【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

21．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．

【考点】一元二次方程的应用．

【专题】几何图形问题．

【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程．

【解答】解：

设人行道的宽度为x米，根据题意得，

（18﹣3x）（6﹣2x）=60，

化简整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．

解得x1=1，x2=8（不合题意，舍去）．

答：

人行通道的宽度是1m．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块相同的矩形绿地面积之和为60米2得出等式是解题关键．

22．有两个可以自由转动的均匀转盘A、B，都被分成了3等份，并在每份内均标有数字，如图所示，规则如下：

①分别转动转盘A、B．

②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相乘（若指针停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．

（1）用列表法（或树状图）分别求出数字之积为3的倍数和为5的倍数的概率；

（2）小亮和小芸想用这两个转盘做游戏，他们规定：

数字之积为3的倍数时，小亮得2分；数字之积为5的倍数时，小芸得3分．这个游戏对双方公平吗？

请说明理由；认为不公平的，试修改得分规定，使游戏双方公平．

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．

【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的