高二数学最新教案九年级数学椭圆及其标准方程 精品.docx

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圆锥曲线教案椭圆及其标准方程教案

教学目标

1．使学生理解并掌握椭圆的定义、标准方程及其推导过程，并能进行简单应用．

2．通过数形结合，教学生猜想，培养学生的探索发现能力．

3．帮助学生树立运动变化的观点，培养学生的探索能力和进取精神．

教学重点与难点

对椭圆的定义的理解及其标准方程记忆是本节重点，椭圆标准方程的推导是难点．

教学过程

一、复习并引入新课

师：

在解析几何中，我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线．曲线和方程的关系是什么？

生：

如果曲线上任意一点的坐标都是方程f（x，y）=0的解，同时以方程f（x，y）=0的解为坐标的点又都在曲线上，那么方程就是曲线的方程，曲线就是方程的曲线．

师：

圆的定义是：

在平面上，到定点的距离等于定长的点的轨迹；那么当动点满足哪些条件时轨迹仍然是圆？

生：

①平面上到两个定点（距离为2d）距离的平方和等于定值a（a＞2d2）的点的轨迹是圆；

②平面上，与两个定点连线的斜率乘积为-1的点的轨迹是圆．

（以上结论在本节课之前书上第61页习题中，请学生自己总结．）

师：

由此可见，平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特殊，下面就从这点出发研究．

二、讲授新课

1．请学生观察计算机演示如图2-23，并思考两个问题．

（1）动点是在怎样的条件下运动的？

（2）动点运动出的轨迹是什么？

观察后请学生回答．

生：

动点是在“到两个定点距离之和等于定值”这一条件下

运动的，轨迹是椭圆．

师：

椭圆这种曲线你在哪些地方见过？

生：

立体几何中圆的直观图是椭圆．

生：

人造卫星的运行轨道．

师：

好，这种曲线在实际生活中是很常见的，很多物体的横截面的轮廓线也是椭圆，可见学习这种曲线的有关知识是十分必要的．

（联系实际生活进行教学可以使教学内容亲切，激发学生的学习热情．）

师：

是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？

（学生可能一时答不出，教师可请学生观察计算机演示如图2-24并思考．）

师：

当两个定点位置变化时，轨迹发生了怎样的变化？

生：

当两个定点重合时，轨迹变化为圆；当定值等于两个定点间的距离时，轨迹是一条线段．

师：

可见圆是椭圆的特例．据此你能得到什么结论？

生：

平面上不存在到两个定点距离之和小于定值的点．

说明：

观察计算机演示“通过两焦点位置的改变而引起椭圆形状变化的课件”，首先从一个点分裂为两个点，曲线从圆变成椭圆；随着两点间距离的增大，椭圆越来越扁，直到动点到此两点距离之和恰好等于两点间距离时，动点的运动曲线变成了线段，然后随着两点间距离的缩小，曲线再变成椭圆；当两点重合时，曲线又变成了圆，如此反复……如图2-24．从而启发学生发现椭圆定义中的条件，然后师生共同小结完成下表，教师可用投影进行完整的总结．

在平面上到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹为

最后由学生口述教师板书：

把平面内与两个定点F1，F2距离之和等于定值2a的点的轨迹叫做椭圆，其中2a＞|F1F2|．顺便可以指出两个定点叫做焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距，用2c（c＞0）表示．

2．推导椭圆的标准方程．

师：

下面我们一起来推导椭圆的方程．

教师提出问题：

求到两个定点F1，F2距离之和等于定值2a（2a＞|F1F2|）的点的轨迹．

师：

求曲线方程的步骤是什么？

生：

求曲线方程的步骤是：

①建立坐标系设动点坐标：

②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；⑤检验其完备性．

师：

那么此题应如何建立坐标系呢？

建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量（距离、直线的斜率等）的表达式简单化，注意要充分利用图形的特殊性．

（让学生思考后回答）

教师归纳大体上有如下三个方案：

①取一个定点为原点，以F1，F2所在直线为x轴建立直角坐标系，如图2-25；

②以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，如图2-26；

③以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，最后选定方案②，如图2-27，推导出方程．

解 1）建系：

以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，并设椭圆上任意一点的坐标为M（x，y），

设两定点坐标为：

F1（-c，0），F2（c，0），

2）则M满足：

|MF1|+|MF2|=2a，

4）化简．

师：

我们要化简方程就是要化去方程中的根式，你学过什么办法？

生：

化去方程中的根式应该用移项平方、再移项再平方的办法．

师：

好，下面我们就一起来完成这部分计算．（师生共同完成）

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，整理得：

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）．

师：

还有其它化简的方法吗？

一般遇到化简根式的问题你应该想到什么？

生：

共轭根式．

师：

好，下面我们就通过构造共轭根式、解方程组的办法化方程中的根式．

（师生共同完成．此部分内容可根据学生情况选讲）

（x+c）2+y2-[（x-c）2+y2]=4cx

②，由②÷①得：

化简得：

（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）．

师：

到此我们已经推导出了椭圆的方程，但此形式还不够简洁，且x，y的系数形式不一致，为了使方程形式和谐且便于记忆和使用，我们应该如何将方程进行变形呢？

（这里，数学审美成为研究发现的动力．）

学生此时可能还不理解，教师可启发学生观察图形如图2-28，看看a与c的关系如何？

师：

请结合图形找出方程中a、c的关系．

生：

根据椭圆定义知道a2＞c2，且如图所示，a与c可以看成Rt△MOF2的斜边和直角边．

师：

很好！

那我们不妨令b2=a2-c2，则方程就变形为b2x2+a2y2=a2b2，如果再化简，你会得到什么形式的方程呢？

师：

其中a与b的关系如何？

为什么？

生：

a＞b＞0，因为a与b分别是Rt△MOF2的斜边、直角边．

教师指出（*）式就是焦点在x轴上的椭圆的标准方程，最后说明：

1）方程中条件a＞b＞0不可缺少（结合图形），当a=b＞0时，就化成圆心在原点的圆的方程，从而进一步说明圆是椭圆的特例；（这实际上是一种极限情况．）

2）b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实际的几何意义，即：

b2=a2-c2；

3）请学生猜想：

若用方案③（即焦点在y轴上），得到的方程形式又如何呢？

（启发学生根据对称性进行猜想）

师：

请同学们课后进行推导验证．

师：

此时方程中a与b的关系又如何？

（结合图形请学生将条件a＞b＞0补上．）

3．椭圆的第二定义：

请学生观察方程推导过程中的④式：

师：

④式左边表示什么？

生：

④式左边可以表示动点M（x，y）到一定点F1（-c，0）的距离；

师：

我们将④式右边变形为：

师：

好，下面我们将④式变形为：

师：

由此可见，椭圆还可以从另一方面定义，你能用自己的语言叙述吗？

生：

椭圆可以看成是平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为定值的点的轨迹．

师：

你能说说定值的取值范围吗？

（由此引出椭圆的第二定义，教师板书．）

椭圆的第二定义：

平面内到定点的距离与到定直线的距离之比为定值e（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆．

师：

关于椭圆第二定义的其他问题我们将在下节课学习．下面我们看看如何应用本节的知识解决问题．

三、例题

例1 平面内两个定点间的距离为8，写出到这两个定点距离之和为10的点的轨迹方程．（由学生完成）

解 所求轨迹是椭圆，两个定点为焦点，用F1，F2表示，不妨以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则2a=10，2c＝8，因为b2=a2-c2=9，

本题的主要问题是：

很多学生不建立坐标系就写出了方程．强调建立不同的坐标系会得到不同的方程，因此当题目中没有给定坐标系时，首先应选择合适的坐标系．

课堂练习1：

写出适合下列条件的椭圆的标准方程（其中（

（1）、

（2））学生回答）．

（1）a=4，b-1，焦点在x轴上；

例2 已知定圆x2+y2-6x-55=0，动圆M和已知圆内切且过点P（-3，0），求圆心M的轨迹及其方程．

分析

师：

由两圆内切，你会得到什么结论？

生：

圆心距等于半径之差的绝对值．

师：

根据图形，请用数学符号表示此结论．（如图2-29）

生：

此结论表示为：

|MQ|=8-|MP|．

师：

观察上式，你有何联想？

生：

上式可以变形为|MQ|+|MP|=8，又因为|PQ|＝6＜8，所以圆心M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆．

师：

很好．下面我们观察计算机演示验证一下此结论．（演示计算机如图2-29）

师：

我们的结论完全正确，下面请大家把解题过程写在笔记上．（指定一名学生板演，然后更正．）

解 已知圆化为：

（x-3）2+y2=64，

圆心Q（3，0），r=8，所以P在定圆内．

设动圆圆心为M（x，y），则|MP|为半径．

又圆M和圆Q内切，做|MQ|=8-|MP|，

|MQ|+MP=8，故M的轨迹是以P，Q为焦点的椭圆，且PQ中点

课堂练习2：

已知：

△ABC的一边长BC=6，周长为16，求顶点A的轨迹方程．

略解 以BC所在直线为x轴，BC中垂线为y轴建立直角坐标系，设顶点A（x，y），根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得顶点A

因为A为△ABC的顶点，故点A不在x轴上，所以方程中要注明y≠0的条件．

四、小结（由师生共同完成）

1．知识方面：

椭圆的定义（要注意定义中的条件）以及椭圆的标准方程要注意焦点的位置与方程形式的关系；

2．能力方面：

巩固了求曲线方程的步骤与方法，要学会用运动变化的观点研究问题；

3．体会到数学知识的和谐美，几何图形的对称美．

布置作业：

（1）看书第71页至第74页．

（2）第74页2，3．

教案设计说明

这份教案是针对基础较好班级的情况设计的，以提高学生思维素质、既教学生猜想又教学生证明为着眼点，通过创设问题情境，达到提高学生学习能力的目的．以下将从4个方面具体说明．

1．关于教学目标的制订

《椭圆及其标准方程》是在学生学习了曲线和方程及圆的有关知识以后学习的第二种圆锥曲线，因此这一节的教学既可以对前面所学知识情况进行检查，又可以为进一步学习其它两种圆锥曲线打好基础．所以学好本节内容具有承上启下的重要意义，据此制订了教学目标1；在图形由圆变化到椭圆的过程中蕴涵着运动变化和从量变到质变的哲学思想，通过学生的观察、猜想到验证，既可以让学生体会圆与椭圆两种曲线的内在联系，又为今后的学习做了铺垫，据此制定了目标2，3．

2．关于教学过程的设计

在教学过程中，为了使教学目标得到有效的落实，在以下两个环节上进行了精心设计：

（1）在引入椭圆定义时，为了使学生了解圆是椭圆的特例以及两种曲线之间的内在联系，于是在本节课之前让学生通过课本习题亲自从轨迹形成的角度给圆下定义，从而使学生接受椭圆定义时不会感到陌生，同时也落实了教学目标2，3；

（2）在推导椭圆的标准方程的环节中，使学生对前面求曲线方程的步骤和方法进行了复习，既加强了教学中学生的参与，又使教学目标2，3得到进一步落实；

3．关于教学例题的选择

针对学生的情况，在例题选择上也力求从中档题起步，对一些解题形式单一的作为课堂练习，这样可以省下课时，给学生充分的时间进行观察、猜想、讨论，从而提高课堂效率．通过例1着重强调建立不同坐标系方程形式也不同；例2的目的则在于进一步加深学生对椭圆定义的理解，培养他们运动变化的观点和用数形结合的思想解题，从而使教学目标1也得到落实．

4．关于教学方法和手段的选择

在教法的选择上，通过用“MM”教学方式指导课堂教学，使学生直接参与课堂教学，充分体现学生的主体作用；启发、讨论的教学形式既增加了教师与学生、学生与学生之间的交流，又能使他们的思路更加开阔，思维更加敏捷，从而引发了他们的学习兴趣．在教学手段的选择上，也力求克服只为单纯展示课件的教学形式，使多媒体辅助教学的作用得以充分发挥，从而使学生想象、发现的空间更加广阔．