安庆师范学院.docx
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安庆师范学院
安庆师范学院
课时计划（教案）
课时安排：
2节
课题：
定积分的计算
重点：
换元积分法与分部积分法
难点：
无
教学目的：
要求学生掌握定积分的换元法和分部法，了解Taylor公式的积分型余项
教学方法:
讲授谈话法
教学过程：
1、回顾Newton-Leibnize公式
2、给出换元积分法定理及特点
3、例:
①^kdx
2°fxdx二°fa一xdx及推论
30^^x
01x2
4、给出定积分的分部积分法公式及注
1
5、例求:
①严乂dx
3TH
2Jn二2sinnxdx=2cosnxdx
0乜
3求-
6、分部积分法的推论
7、Taylor公式的积分型余项（有时间就讲lagarange.Cauchy余型）
课后作业:
ex.4.2k1（k_3）,ex.5
（1）,ex,6.,ex,7.
课时:
2节
课题：
广义积分
重点：
无穷限积分的定义及性质、判敛
难点:
无教学目的：
要求学生掌握无穷限积分的定义，性质，收敛的Cauchy准
则及比较判别法教学方法:
讲授法
教学过程：
1、引进非正常积分的两个例子
1火箭发射脱离地球的初速度问题
2面积问题
2、无穷限非正常积分的定义（各种情况）
3、例用定义判敛示例及求值
①啓axp
②rdxpaxlnXP
③：
：
dx
ax（lnx*i（lnxjJP
④］dx2
:
-1x2
4、回顾函数极限性质及判定
5、对照给出无穷限积分的Canchy准则
6、性质（线性、可加、绝对值）
7、绝对收敛和条件收敛的概念
&比较判别法（有时间就讲极限形式）
9、布置作业
课后作业：
P331ex.1.
（1）（4）（5）,ex4,ex5.
（1）（3）（5）
课时:
2节
课题：
广义积分
重点：
无穷限积分的判敛法
难点：
Abel.Dirichlet判别法的证明
教学目的：
要求学生掌握比较判别法的各种形式、柯西判别法、阿贝
尔判别法、狄利克雷判别法
教学方法：
谈话法
教学过程：
1、先回顾无穷限广义积分收敛的概念和比较判别法
2、与同学们一道寻找比较判别法的极限形式
3、以广半为尺子度量敛散性，得柯西判别法，并举例
1x
4、对于一般级数除Cauchy准则外，还有用函数之积的形式给出的判
别法,探索出Abel.Dirichlet判别法
5、讨论『警dx和『甞的敛散性（及绝对收敛和条件收敛）
1Xx
6、证明1sinx2dx.*xsinx4dx收敛,此例说明什么？
7、无界函数非正常积分的定义•问题:
无穷限积分计算的换元积分法和
分部积分法的条件是什么？
课后作业：
P332ex.5.（4）（6）（7）,ex.6.（注意改）
课时:
2节
课题：
瑕积分的性质及判敛法
重点：
瑕积分判敛法
难点:
特殊瑕积分的计算
教学目的：
要求学生掌握无穷限广义积分比较，对照自给瑕积分的性质、判敛法，注意两类积分的联系
教学方法：
谈话诱导法
教学过程：
1、先回顾瑕积分收敛、发散的概念
2、由瑕积分的定义判断0dX,f-^生的敛散性（说明『d：
发散）
X詁1-xX
3、与无穷限积分比较，口述三条性质
4、口述Cauchy准则，比较原则
5、书写比较原则，及极限形式6、板书Cauchy判别法及其极限形式
7、例判别瑕积分的敛散性：
&口述阿贝尔判别法、狄利克雷判别法
1
0COS—
9、判断xdx的敛散性,说明两类非正常积分的联系
0x
10、布置作业
课时:
2节
课题：
定积分的应用
重点：
平面图形的面积和由截面面积求体积
难点:
无
教学目的：
要求学生用定积分处理平面图形面积问题，会求已知截面
面积主体的体积
教学方法：
谈话法
教学过程：
1、由y=fx,x=a,x=b,x轴围成图形的面积
2、y=fx,y=gx,x=a,x=b围成图形的面积
3、例求y2=x与直线x-2y=3所围平面图形面积
4、由兰t邛（xYt）V（t）连续）和x=x©）,x=x（B）,x轴所围内容的
y=y（t）
面积
5、例求由摆线x二at-sint,y=a1-cost（a>0）的—拱与x轴围成图形
的面积
6、极坐标系中由r二厂，「"乞1和［所围图形的面积及例
7、问题:
极坐标方程给出图形
&截面积函数Ax，体积？
9、y=fx,a10、问题:
上例绕y轴转怎样？
课后作业：
ex.3.ex.5.
课时安排：
2节
课题：
曲线的弧长及旋转曲面的面积
重点：
推导弧长及面积公式
难点：
微元法
教学目的：
让学生掌握求曲线弧长及旋转曲面的面积公式，了解微元
法。
教学方法：
提问复习法
教学过程：
1、先说明一下上次参数方程表示曲线及x轴，x=a,x=b曲线所围图形面积公式未讲透明的地方。
2、曲线弧长的定义
3、先导x=x（t）,y=y（t）,t•［〉，：
］所描述曲线的弧长公式。
（x（t）,y（t）连续，且x2（t）y2（th^0，注意讲清思想）
4、例1求摆线x=a（t-sint）,y=a（1-cost）,（a0）—拱的弧长。
5、一起导y二f（x）及极坐标方程的弧长公式。
6、例2求心脏线r=a（1co^）的周长。
7、弧微分。
8微元法。
9、微元法的关键。
10、旋转曲面的面积。
（用弧微分）
11、两例
课后作业：
P352•ex.1.
（1）（3）,P356.ex1.
（1）
课时安排：
2节
课题：
定积分的物理应用•近似计算
重点：
继续学习微元法
难点：
无
教学目的：
1、讲清微元法，解决实际问题。
2、介绍定积分的近似计算。
教学方法：
谈话法
教学过程：
1、回顾旋转体体积公式，表面积公式，曲线的弧长公式，微元
法解题步骤。
2、
压力问题举例P360
ex.2.
3、
做功问题举例P361
ex.4.
4、
定积分的近似计算:
a意义
b.梯形法
C.抛物线法
5、
求二?
（1）圆面积
（2）上次的极限P307例8
（3）普丰法
6、
布置作业
课后作业：
P360ex.1.
课时安排：
2节课题：
数项级数的收敛性
重点：
收敛性的概念与极限的比较
难点：
子列的性质在级数收敛性中的反映
教学目的：
让学生掌握级数收敛的意义，能从数列极限理论自觉导出级数收敛的性质。
教学方法：
谈话法
教学过程：
1、用龟兔赛跑悖论导课。
2、级数及收敛与发散的定义。
（部分和函数列，余和，及例
11（忙（汀
（2）、（-俨（3）、
2n（n+1）
3、任意已知数列可为某级数的部分和数列，也可构成某级数。
4、级数收敛的Cauchy准则。
5、用Cauchy准则证明：
-发散，2收敛。
nn
6、'、Un与VVn收敛，-C-,C2•R，贝SV（q%•C2Vn）收敛。
7、级数的敛散性与前有限项无关。
8收敛级数加括号后所成级数任收敛且和不变。
9、布置作业，并强调级数理论与数列极限的关系。
。
课后作业：
ex.1,ex.2
（2）（3）（4）,ex.6,ex.8.
课题：
正项级数（比较判别法，比值判别法）
重点：
比较判别法和比值判别法的运用难点：
无
教学目的：
首先让学生从单调有界原理导出比较判别法，再引出比值
判别法，并学会用其判别敛散性。
教学方法：
问题法
教学过程：
1、先回顾级数收敛与发散的概念。
2、由单调有界原理导出正项级数的概念。
3、由单调有界原理导出正项级数收敛二部分和数列有界。
4、进而导出比较判别法（大敛则小敛）。
5、考察a21的敛散性。
n-n+1
6、用比式导出比较判别法。
7、写出比较判别法的极限形式，并举例。
&用qn为尺子导出达朗贝尔比值判别法
9、比值判别法的极限形式。
10、判敛性
（1）、nxn1（x0）
（2）、（3）1bbe-b2cb2c2亠亠bncn」bncn「（b,c0）
1+4n
11、布置作业
课后作业：
P19ex1
（2）（4）（6）（8）ex2
（1）
（2）（4）ex5.,ex.6.
课题：
根式判别法与积分判别法
重点：
两判别法的用法
难点：
Rabbe判别法
教学目的：
让学生掌握根式判别法、积分判别法原理及应用，了解
Rabbe判别法，及比较标准可无止境地精细，但不存在万能的尺子。
教学方法：
谈话法
教学过程：
1、比较原则：
比值判别法（回顾），根式判别法（导出）。
2、证明根值判别法说明比较标准（尺子）任为几何级数。
3、举例说明根值判别法比比值判别法用途广。
（用比值判别法能判定的用根值判别法一定能判定）
4、以+为尺子导出Rabbe判别法，并举例说明其比前两判别
np
法精细。
5、说明比较标准（尺子）无限（介绍一点历史）
6、与非正常积分比较，导出积分判别法并证明。
8总结并布置作业课后作业：
P20.ex.2.,.ex.8.
课题：
交错级数与绝对收敛级数重点：
交错级数判敛性与绝对收敛级数性质
难点：
绝对收敛级数与条件收敛级数特征性质
教学目的：
要求学生掌握交错级数的Leibniz判别法，了解绝对收敛
级数与条件收敛级数的特征性质。
教学方法：
问题法
教学过程：
1、
回顾正项级数几个判敛法。
单调有界原理导出的：
夹逼原理导出的：
（见习题）
Cauchy原理导出的：
（Cauchy准则）
2、
交错级数的概念。
3、
Leibniz判别法，思想及证明。
4、
Leibniz判别法举例。
5、
绝对收敛级数与条件收敛级数及关系。
6、
重排特征（绝对收敛，条件收敛均讲）
7、
级数的乘积（Cauchy定理）。
&
（有时间讲Able变换）。
9、
布置作业
课后作业：
ex.1
（2）（4）（6）（8）.
课时安排：
2节
课题：
般项级数判敛法，函数列收敛性
重点：
Able判别法与Dirichlet判别法
难点：
无
教学目的：
要求学生掌握Able变换导出的两个级数判敛法，理解函
数列收敛的概念。
教学方法：
问题法
教学过程：
1、
复习Able变换公式。
2、
由Able变换公式给出Able引理
3、
由Able引理产生两个判别法：
a.Able判别法b.Dirichlet
判别法
4、
例an单调递减趋于0，判别'ansinnx与'ancosnx的敛散性。
5、本章总结，解决龟兔赛跑悖论。
6、引入函数列与函数级数这一章。
7、函数列及其收敛域等相关概念。
8、求fn（x）=xn,n=1,2,,x（-〜二）的收敛域。
9、求fn（x）=SinnX,n・NxR的收敛域。
n
10、总结并布置作业。
课后作业：
P30ex2.
课时安排：
2节
课题：
致收敛性
重点：
致收敛的概念
难点：
一致收敛的概念
教学目的：
要求学生掌握一致收敛的概念，及充要条件，理解其几何意义。
教学方法：
讲授法教学过程:
1、问题：
如何保证｛仁｝在D上连续，fn>fXD，导出f连续。
（再回顾）
2、引入｛fn｝一致收敛的概念，及与收敛的关系及例。
3、｛fn｝在D上不一致收敛的正面陈述和一致收敛与否的几何特
征。
4、一致收敛的Cauchy准则
1
2n
5、一致收敛定义的又一形式（Th13.2）
c2
2nx
11
6、
例3fn（x）=<2n—2n2x,一ex兰一x^[0,1]
2nn
0,1:
:
x乞1
n
例4fn（x）xr^,x•R
1+nx
7、函数项级数收敛及其相关概念。
8函数项级数一致收敛及其相关概念
课后作业：
P44ex.1
（1）（3）（5）（7）ex2.
课时安排：
2节
课题：
致收敛判别法
重点：
一致收敛性及三个判别法
难点：
一致收敛性的深刻理解
教学目的：
让学生进一步理解一致收敛的概念，掌握：
M-判别法，
Able判别法，Dirichlet判别法。
教学方法：
问题法
教学过程：
1、复习级数的一致收敛性概念，区间I上aUn（X）—致收敛的两
个充要条件。
2、例'X在（0,1）上收敛，但不一致收敛而在其任意闭子区间上一致收敛。
3、级数一致收敛的优级数判别法及例。
4、函数项收敛一致收敛的Able判别法与Dirichlet判别法。
5、应用举例
6、习题选讲例P45ex.8.,ex10等。
7、总结并布置作业。
课后作业：
ex.5ex.6.
课时安排：
2节
课题：
一致收敛函数列（级数）的性质
重点：
连续性，可积性与可微性
难点：
连续性，可积性与可微性
教学目的：
要求学生在掌握一致收敛的情况下，掌握极限函数的三个
分析性质。
教学方法：
讲授法
教学过程：
1、复习一下一致收敛的概念及判别法。
2、连续性定理及证明（函数列）。
3、举例帮助理解连续性定理。
4、一致收敛函数列极限函数的可积性定理及证明，并举例帮助理解。
（见笔记）
5、一致收敛函数列的可微性定理及证明，并举例（见笔记）。
6、和同学们一道写出相应的三个定理。
7、例un（x）=—ln1（，n2x2），讨论'un（x）,x[0,1]的分析性质。
n
8总结并布置作业。
课后作业:
ex.1（3）.ex.6.ex.7.
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