高一数学精讲精练讲义7含绝对值不等式.docx

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高一数学精讲精练讲义7含绝对值不等式

高一数学讲义（7）含绝对值的问题

[知识要点]

绝对值是中学数学中的一个基本概念，与它紧密相联的有含绝对值的一元函数、含绝对值的不等式和含绝对值的一元方程等问题。

1．绝对值的概念

设

为任意实数，则

的绝对值记为

，绝对值的定义是：

。

2．绝对值的性质

（1）非负性：

（2）运算性质：

，

（3）等价性：

；

或

（4）绝对值不等式：

3．绝对值的几何意义

|x|的几何意义是实数x在数轴上对应点P到原点的距离，利用它可把解含绝对值的不等式问题转化为几何问题，再利用几何图形的直观使问题顺利解决。

4．含绝对值的问题的解法

（1）定义讨论法

由于利用定义可以把绝对值去掉，因此往往需要分类讨论。

其方法是：

把每个绝对值为零的零点标在数轴上，则这些零点把数轴分成若干段，再对各段所对应的范围分别进行讨论即可。

（2）性质平方法

因为绝对值的性质有

，利用此性质可把绝对值去掉。

但这种方法的缺点是平方后往往比较繁，另外要注意何时才能平方，防止出现增根。

（3）等价转化法

利用性质（3）的等价性可得：

；

或

，从而去掉了绝对值。

一般地，形如

的不等式均可用此方法求解，不必对

的正负讨论。

（4）数形结合法

利用函数的图象解含有绝对值的不等式。

例如解不等式

时，可先作出函数

和

的图象，则原不等式的解为函数

的图象在函数

图象上方（或下方）的部分对应的横坐标的取值范围。

其中在作

的图象时，先作出

的图象，然后保留

的部分图象；再将

的图象中的部分沿x轴对称反射到x轴上方，即得整个

的图象。

[例题精析]

例1．解下列含绝对值的方程：

（1）

；

（2）

；（3）

解：

（1）如何化去绝对值符号，是解此方程的关键。

根据绝对值的零点，故分成三段讨论。

当

时，

，不合；当

时，

，不合；当

时，

，符合。

所以原方程的解为

。

（2）两边平方得

，得

，解得

或

或

。

经检验均满足

，故都是原方程的根。

（3）原方程可化为

，即

，解得

，即有

。

评注：

解含绝对值的方程的关键，就是根据绝对值的定义或性质，运用分类讨论法或平方法转化为不含绝对值的方程，从而求解。

但要注意转化必须是等价的。

当然，部分题目也可以运用绝对值的几何意义或其它特殊的方法求解，如本题（3）就用特殊法求解。