初高中数学衔接教案.docx
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初高中数学衔接教案
第一讲数与式1.1数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：
正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即a,a0,|a|0,a0,a,a0.绝对值的几何意义：
一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：
表示在数轴上，数和数之间的距离．abba练习1．填空：
（1）若，则x=_________；若，则x=_________.x5x4
（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.ab51c2a12．选择题：
下列叙述正确的是（）（A）若，则（B）若，则ababababab（C）若，则（D）若，则ababab－3．化简：
|x－5|－|2x13|（x＞5）．1.1.2.乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式；22（ab）（ab）ab
（2）完全平方公式．222b（ab）a2ab我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
；
（1）立方和公式2233abb）ab（ab）（a2233
（2）立方差公式；abb）（ab）（aab2222；（3）三数和平方公式bc2（abbc）a（abc）ac3322（4）两数和立方公式；b（ab）a3ab3ab3322（5）两数差立方公式．b（ab）a3ab3ab对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．22例1计算：
．（x1）（x1）（xx1）（xx1）222例2已知，，求的值．abc4abbcac4abc1
练习1．填空：
111122
（1）；（）ab（ba）942322
（2）；）16m4m（（4m）2222（3）．（a2bc）a4bc（）2．选择题：
12
（1）若是一个完全平方式，则等于（）kxmxk21112222（C）（D）（A）（B）mmmm416322
（2）不论，为何实数，的值（）baab2a4b8（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开a（a0）222得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而3aab2bab22，，等是有理式．222a2xx1x2xyy21．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，a3a22与，与，与，等等．一般地，3623322332axx36axby与，与互为有理化因式．axbaxbaxby分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的abab（a0,b0）形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．22．二次根式的意义a2
a,a0,2aaa,a0.例1将下列式子化为最简二次根式：
（1）；
（2）；（3）．6212b4xy（x0）ab（a0）例2计算：
．3（33）例3试比较下列各组数的大小：
2
（1）和；
（2）和.111022－6121164例4化简：
．20042005（32）（32）12例5化简：
（1）；
（2）．x2（0x1）9452x3232例6已知，求的值．22x,y3x5xy3y3232练习1．填空：
13
（1）＝_____；132
（2）若，则的取值范围是_____；x（5x）（x3）（x3）5x（3）_____；4246543962150x1x1x1x15（4）若，则________．x2x1x1x1x12．选择题：
xx等式成立的条件是（）x2x2（A）（B）（C）（D）x2x0x20x222a11a3．若，求的值．abba14．比较大小：
2－35－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义AAA形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式B0BBB具有下列性质：
3
AAM；BBMAAM．BBM上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式amnpb像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．2mcdnp5x4AB例1若，求常数的值．A,Bx（x2）xx2解得．A2,B3111例2
（1）试证：
（其中n是正整数）；n（n1）nn1111
（2）计算：
；12239101111（3）证明：
对任意大于1的正整数n，有．2334n（n1）2c22例3设，且e＞1，2c－5ac＋2a＝0，求e的值．ea练习1．填空题：
111对任意的正整数n，（）；nn2n（n2）2．选择题：
2xy2x若，则＝（）xy3y546（A）１（B）（C）（D）455xy223．正数满足，求的值．xy2xyx,yxy11114．计算．...99100122334习题1．11．解不等式：
4
（1）；
（2）；x13x3x27（3）．x1x1633２．已知，求的值．xy3xyxy13．填空：
1819
（1）＝________；（23）（23）22
（2）若，则的取值范围是________；a（1a）（1a）211111（3）________．12233445561．2分解因式因式分解的主要方法有：
十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1分解因式：
22
（1）x－3x＋2；
（2）x＋4x－12；（3）；（4）．22x（ab）xyabyxy1xy2解：
（1）如图1．2－1，将二次项x分解成图中的两个x的积，再将常数项2分2解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x－3x＋2中的一次项，所以，有2x－3x＋2＝（x－1）（x－2）．1－2xx1－ay－1－1x1－2x16－by－2图1．2－1图1．2－3图1．2－4图1．2－2说明：
今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得2x＋4x－12＝（x－2）（x＋6）．（3）由图1．2－4，得x－122＝x（ab）xyaby（xay）（xby）y1（4）＝xy＋（x－y）－1xy1xy图1．2－5＝（x－1）（y+1）（如图1．2－5所示）．5
2．提取公因式法与分组分解法例2分解因式：
（1）；
（2）．22322xxyy4x5y6x93x3x
（2）=22222xxyy4x5y62x（y4）xy5y6==．22x（y4）x（y2）（y3）（2xy2）（xy3）或=22222xxyy4x5y6（2xxyy）（4x5y）6=（2xy）（xy）（4x5y）6=．（2xy2）（xy3）23．关于x的二次三项式ax+bx+c（a≠0）的因式分解．若关于x的方程的两个实数根是、，则二次三项式2xxaxbxc0（a0）12就可分解为.2a（xx）（xx）axbxc（a0）12例3把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）；
（2）．222x2x1x4xy4y练习1．选择题：
22多项式的一个因式为（）2xxy15y（A）（B）（C）（D）x3yx3yx5y2x5y2．分解因式：
233
（1）x＋6x＋8；
（2）8a－b；2（3）x－2x－1；（4）．4（xy1）y（y2x）习题1．21．分解因式：
342
（1）；
（2）；a14x13x92222（3）；（4）．3x5xy2yx9y4bc2ab2ac2bc2．在实数范围内因式分解：
22x22x3
（1）；
（2）；x5x322222（3）；（4）．3x4xyy（x2x）7（x2x）126
2223．三边，，满足，试判定的形状．ABCABCbacabcabbcca224．分解因式：
x＋x－（a－a）．第二讲函数与方程2.1一元二次方程2.1.1根的判别式2我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为2bb4ac．①2（x）22a4a2因为a≠0，所以，4a＞0．于是2
（1）当b－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根2bb4acx＝；12，2a2
（2）当b－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bx＝x＝－；122ab22（3）当b－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一）（x2a定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．22由此可知，一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b－4ac来判22定，我们把b－4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．2综上所述，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1）当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根2bb4acx＝；12，2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根bx＝x＝－；122a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．7
22
（1）x－3x＋3＝0；
（2）x－ax－1＝0；22（3）x－ax＋（a－1）＝0；（4）x－2x＋a＝0．说明：
在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2根与系数的关系（韦达定理）2若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根22bb4acbb4ac，，xx122a2a则有22bb4acb4acb2bb；xx122a2a2aa2222bb4acbb4acb（b4ac）4acc．xx12222a2a4a4aa所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
bc2如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x，x，那么x＋x＝，xx＝．这·121212aa一关系也被称为韦达定理．2特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x＋px＋q＝0，若x，x是其两根，12由韦达定理可知x＋x＝－p，xx＝q，·1212即p＝－（x＋x），q＝xx，·121222所以，方程x＋px＋q＝0可化为x－（x＋x）x＋xx＝0，由于x，x是一元二·12121222次方程x＋px＋q＝0的两根，所以，x，x也是一元二次方程x－（x＋x）x＋xx＝0．因·121212此有以两个数x，x为根的一元二次方程（二次项系数为1）是122x－（x＋x）x＋xx＝0．·12122例2已知方程的一个根是2，求它的另一个根及k的值．5xkx6022－例3已知关于x的方程x＋2（m2）x＋m＝0有两个实数根，并且这两个＋4实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．2例5若x和x分别是一元二次方程2x＋5x－3＝0的两根．12
（1）求|x－x|的值；128
11
（2）求的值；22xx1233（3）x＋x．122例6若关于x的一元二次方程x－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．练习1．选择题：
22
（1）方程的根的情况是（）x23kx3k0（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D）没有实数根2
（2）若关于x的方程mx＋（2m＋1）x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）11（A）m＜（B）m＞－4411（C）m＜，且m≠0（D）m＞－，且m≠0442．填空:
112
（1）若方程x－3x－1＝0的两根分别是x和x，则＝．12xx122
（2）方程mx＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是．（3）以－3和1为根的一元二次方程是．223．已知，当k取何值时，方程kx＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
a8a16|b1|024．已知方程x－3x－1＝0的两根为x和x，求（x－3）（x－3）的值．1212习题2.11．选择题:
2
（1）已知关于x的方程x＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（）（A）－3（B）3（C）－2（D）2
（2）下列四个说法：
2①方程x＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；2②方程x－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；72③方程3x－7＝0的两根之和为0，两根之积为；32④方程3x＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个9
22（3）关于x的一元二次方程ax－5x＋a＋a＝0的一个根是0，则a的值是（）（A）0（B）1（C）－1（D）0，或－12．填空:
2
（1）方程kx＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝．222
（2）方程2x－x－4＝0的两根为α，β，则α＋β＝．2（3）已知关于x的方程x－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．2（4）方程2x＋2x－1＝0的两根为x和x，则|x－x|＝．1212223．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程mx－（2m＋1）x＋1＝0有两个不相等的实数根？
有两个相等的实数根？
没有实数根？
24．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x－7x－1＝0各根的相反数．2．2二次函数22.2.1二次函数y＝ax＋bx＋c的图像和性质22二次函数y＝ax（a≠0）的图象可以由y＝x的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得2到．在二次函数y＝ax（a≠0）中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．2二次函数y＝a（x＋h）＋k（a≠0）中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．2由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象的方法：
22bbbb222由于y＝ax＋bx＋c＝a（x＋）＋c＝a（x＋＋）＋c－xx2aa4a4a2bb4ac2，a（x）2a4a22所以，y＝ax＋bx＋c（a≠0）的图象可以看作是将函数y＝ax的图象作左右平移、2上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax＋bx＋c（a≠0）具有下列性质：
2b4acb2
（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为，对称（,）2a4abbb轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着x的增大2a2a2a24acbb而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．2a4a2b4acb2
（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为，,（）2a4abbb对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着x的2a2a2a10
24acbb增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．2a4a2－例1求二次函数y＝3x－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？
并画出该函数的图象．2例2把二次函数y＝x＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数2y＝x的图像，求b，c的值．2例3已知函数y＝x，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．练习1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）22（A）y＝2x（B）y＝2x－4x＋222（C）y＝2x－1（D）y＝2x－4x22
（2）函数y＝2（x－1）＋2是将函数y＝2x（）（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题2
（1）二次函数y＝2x－mx＋n图象的顶点坐标为（1，－2），则m＝，n＝．2
（2）已知二次函数y＝x+（m－2）x－2m，当m＝时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝时，函数图象经过原点．2（3）函数y＝－3（x＋2）＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x＝时，函数取最值y＝；当x时，y随着x的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．22
（1）y＝x－2x－3；
（2）y＝1＋6x－x．24．已知函数y＝－x－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最11
小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；
（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．2.2.2二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
21．一般式：
y＝ax＋bx＋c（a≠0）；22．顶点式：
y＝a（x＋h）＋k（a≠0），其中顶点坐标是（－h，k）．3．交点式：
y＝a（x－x）（x－x）（a≠0），其中x，x是二次函数图象与x轴交点的1212横坐标．例1已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．例2已知二次函数的图象过点（－3，0），（1，0），且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．例3已知二次函数的图象过点（－1，－22），（0，－8），（2，8），求此二次函数的表达式．练习1．选择题:
2
（1）函数y＝－x＋x－1图象与x轴的交点个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）无法确定12
（2）函数y＝－（x＋1）＋2的顶点坐标是（）2（A）（1，2）（B）（1，－2）（C）（－1，2）（D）（－1，－2）2．填空：
（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点（－1，0）和（2，0），则该二次函数的解析式可设为y＝a（a≠0）．2
（2）二次函数y＝－x+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为．3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点（1，－2），（0，－3），（－1，－6）；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点（1，11）；（3）函数图象与x轴交于两点（1－2，0）和（1＋2，0），并与y轴交于（0，－2）．习题2．21．选择题：
2－
（1）把函数y＝－（x1）＋4的图象的顶点坐标是（）（A）（－1，4）（B）（－1，－4）（C）（1，－4）（D）（1，4）12
2－
（2）函数y＝x＋4x＋6的最值情况是（）（A）有最大值6（B）有最小值6（C）有最大值10（D）有最大值22（3）函数y＝2x＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是（）（A）－3≤y≤1（B）－7≤y≤1（C）－7≤y≤11（D）－7≤y＜112．填空：
（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A（－2，0），B（1，0），且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为．
（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为．23．把已知二次函数y＝2x＋4x＋7的图象向下平移3个单位，在向右平移4个单位，求所得图象对应的函数表达式．4．已知某二次函数图象的顶点为A（2，－18），它与x轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式．2.3方程与不等式2.3.1二元二次方程组解法方程22x2xyyxy60是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中,,叫做这个方程的二次项,,叫做一次项,6叫做常22xyx2xyy数项．我们看下面的两个方程组：
22x4yx3y10,2xy10;22xy20,22x5xy6y0.第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．例1解方程组22x4y40,①②x2y20.13
例2解方程组xy7,①②xy12.练习1．下列各组中的值是不是方程组22xy13,xy5的解?
x2,x3,x1,x2,
（1）
（2）（3）（4）y3;y2;y4;y3;2．解下列方程组:
yx5,xy3,
（1）
（2）22xy10;xy625;22xy2y2x,1,（3）（4）4522xy8.yx3;2.3.2一元二次不等式解法2
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点（x，0）和（x，0），方程122ax＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x和x（x＜x），由图2.3－2①可知12122不等式ax＋bx＋c＞0的解为x＜x，或x＞x；122不等式ax＋bx＋c＜0的
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