高考数学文总复习《命题及其关系充分条件与必要条件》.docx
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高考数学文总复习《命题及其关系充分条件与必要条件》
命题及其关系、充分条件与必要条件
考试要求 1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.
知识梳理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
（1）四种命题间的相互关系
（2）四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q
p
p是q的必要不充分条件
p
q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p
q且q
p
[常用结论与微点提醒]
1.否命题与命题的否定：
否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且B
A），与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A
B）两者的不同.
3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.
诊断自测
1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）
（1）“x2＋2x－3<0”是命题.（ ）
（2）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（ ）
（3）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.（ ）
（4）若原命题为真，则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.（ ）
解析
（1）错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.
答案
（1）×
（2）√ （3）√ （4）√
2.（新教材必修第一册P34复习参考题T5改编）设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>
的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>
”，
若“a>
”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，
故“ab>1”是“a>
”的既不充分也不必要条件.
答案 D
3.（老教材选修1－1P6练习引申）命题“若α＝
，则tanα＝1”的逆否命题是（ ）
A.若α≠
，则tanα≠1B.若α＝
，则tanα≠1
C.若tanα≠1，则α≠
D.若tanα≠1，则α＝
解析 命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠
”.
答案 C
4.（2017·北京卷）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.
解析 a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，
则a＋b＝－6答案 －2，－4，－5（答案不唯一）
5.（2019·郑州模拟）已知p：
x>a是q：
2解析 由已知，可得{x|2a}，∴a≤2.
答案 （－∞，2]
6.（2020·青岛二中检测）直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
解析 直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点等价于
<
，解得－1答案 －1考点一 命题及其关系
【例1】
（1）下列说法正确的是（ ）
A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”
B.“若am2C.存在x0∈（0，＋∞），使3x0>4x0成立
D.“若sinα≠
，则α≠
”是真命题
（2）（2018·北京卷）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
解析
（1）对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，A错；
对于B项，若“am2对于C项，由指数函数的图象知，∀x∈（0，＋∞），都有4x>3x，C错；
对于D项，原命题的逆否命题为“若α＝
，则sinα＝
”是真命题，故原命题是真命题.
（2）根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f（x）min＝f（0）.
答案
（1）D
（2）f（x）＝sinx，x∈[0，2]（答案不唯一，再如f（x）＝
）
规律方法 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.
【训练1】
（1）（2020·石家庄模拟）下列说法中正确的是（ ）
A.若函数f（x）为奇函数，则f（0）＝0
B.若数列{an}为常数列，则{an}既是等差数列也是等比数列
C.在△ABC中，A>B是sinA>sinB的充要条件
D.命题“若
（2）（2019·江门模拟）命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是________.
解析
（1）A错，f（x）＝
为奇函数，但f（0）无意义；
B错，an＝0为常数列，但{an}不是等比数列；
C正确，由于A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.
D错，若{an}递减，则an＋1（2）逆否命题的条件和结论分别是原命题结论的否定和条件的否定.故逆否命题在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.
答案
（1）C
（2）在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面
考点二 充分条件与必要条件的判定
【例2】
（1）（2019·浙江卷）若a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
（2）已知条件p：
x>1或x<－3，条件q：
5x－6>x2，则綈p是綈q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析
（1）当a>0，b>0时，得4≥a＋b≥2
，即ab≤4，充分性成立；当a＝4，b＝1时，满足ab≤4，但a＋b＝5>4，不满足a＋b≤4，必要性不成立，故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.
（2）由5x－6>x2，得22所以q⇒p，p
q，所以綈p⇒綈q，綈q
綈p，
所以綈p是綈q的充分不必要条件，故选A.
答案
（1）A
（2）A
规律方法 充要条件的三种判断方法
（1）定义法：
根据p⇒q，q⇒p进行判断.
（2）集合法：
根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
（3）等价转化法：
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练2】
（1）（2019·天津卷）设x∈R，则“0A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
（2）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－
＋a为奇函数”的________条件.
解析
（1）由|x－1|<1可得0（2）显然a＝0时，f（x）＝sinx－
为奇函数；
当f（x）为奇函数时，
f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－
＋a＋sinx－
＋a＝0.
因此2a＝0，故a＝0.
所以“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－
＋a为奇函数”的充要条件.
答案
（1）B
（2）充要
考点三 充分、必要条件的应用
典例迁移
【例3】（经典母题）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求实数m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.
∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.
∴
解得m≤3.
又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.
综上，m的取值范围是[0，3].
【迁移1】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？
并说明理由.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴
∴
这样的m不存在.
【迁移2】设p：
P＝{x|x2－8x－20≤0}，q：
非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}，且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.
∵綈p是綈q的必要不充分条件，
p是q的充分不必要条件.
∴p⇒q且q
p，即PS.
∴
或
∴m≥9，又因为S为非空集合，
所以1－m≤1＋m，解得m≥0，
综上，实数m的取值范围是[9，＋∞）.
规律方法 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.
（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【训练3】（2020·湖南雅礼中学月考）若关于x的不等式|x－1|A.（－∞，1]B.（－∞，1）
C.（3，＋∞）D.[3，＋∞）
解析 |x－1|解得a≥3.
答案 D
A级 基础巩固
一、选择题
1.命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是（ ）
A.“若a，b，c成等比数列，则b2≠ac”
B.“若a，b，c不成等比数列，则b2≠ac”
C.“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”
D.“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”
解析 命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”的逆否命题是“若b2≠ac，则a，b，c不成等比数列”.
答案 D
2.已知命题p：
“正数a的平方不等于0”，命题q：
“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的（ ）
A.逆命题B.否命题
C.逆否命题D.否定
解析 命题p：
“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题.
答案 B
3.（2019·北京卷）设函数f（x）＝cosx＋bsinx（b为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 ∵f（x）＝cosx＋bsinx为偶函数，
∴对任意的x∈R，都有f（－x）＝f（x），
即cos（－x）＋bsin（－x）＝cosx＋bsinx，
∴2bsinx＝0.由x的任意性，得b＝0.
故f（x）为偶函数⇒b＝0.必要性成立.
反过来，若b＝0，则f（x）＝cosx是偶函数.充分性成立.
∴“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件.
故选C.
答案 C
4.设a>b，a，b，c∈R，则下列命题为真命题的是（ ）
A.ac2>bc2B.
>1
C.a－c>b－cD.a2>b2
解析 对于选项A，a>b，若c＝0，则ac2＝bc2，故A错；对于选项B，a>b，若a>0，b<0，则
<1，故B错；对于选项C，a>b，则a－c>b－c，故C正确；对于选项D，a>b，若a，b均小于0，则a2答案 C
5.原命题：
设a，b，c∈R，若“a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（ ）
A.0个B.1个
C.2个D.4个
解析 原命题：
若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为：
设a，b，c∈R，若“ac2>bc2，则a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，
∴真命题共有2个.
答案 C
6.已知命题p：
x2＋2x－3＞0；命题q：
x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是
綈p，则a的取值范围是（ ）
A.[1，＋∞）B.（－∞，1]
C.[－1，＋∞）D.（－∞，－3]
解析 由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
答案 A
7.（2018·浙江卷）已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
解析 若m⊄α，n⊂α，m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α.若m∥α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m∥n，直线m与n可能异面，故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.
答案 A
8.下列结论错误的是（ ）
A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”
B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件
C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题
D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”
解析 C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，
即m≥－
，不能推出m>0.所以不是真命题.
答案 C
二、填空题
9.（2017·北京卷改编）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________条件.
解析 存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0；反之m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇒cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈
，当〈m，n〉∈
时，m，n不共线.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
10.有下列几个命题：
①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2其中真命题的序号是________.
解析 ①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，正确.
答案 ②③
11.若不等式m－1，则实数m的取值范围是________.
解析 由题意可知
（m－1，m＋1），借助数轴得
解得－
≤m≤
，
故实数m的取值范围是
.
答案
12.“a＝1”是“函数f（x）＝
－
是奇函数”的__________条件.
解析 当a＝1时，f（－x）＝－f（x）（x∈R），则f（x）是奇函数，充分性成立.
若f（x）为奇函数，恒有f（－x）＝－f（x），得（1－a2）（e2x＋1）＝0，则a＝±1，必要性不成立.故“a＝1”是“函数f（x）＝
－
是奇函数”的充分不必要条件.
答案 充分不必要
B级 能力提升
13.已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
解析 由S4＋S6－2S5＝S6－S5－（S5－S4）＝a6－a5＝d，所以S4＋S6>2S5⇔d>0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.
答案 C
14.（2020·长沙一中模拟）已知a，b∈R，那么“2a>2b”是“a2>b2”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
解析 2a>2b⇔a>b
a2>b2；
a2>b2
a>b，即a2>b2
2a>2b，
∴“2a>2b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件.
答案 D
15.已知p：
实数m满足3a0），q：
方程
＋
＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________.
解析 由2－m>m－1>0，得1，即q：
1.因为p是q的充分条件，所以
解得
≤a≤
.
答案
16.（2019·华南师大附中月考）设p：
ln（2x－1）≤0，q：
（x－a）[x－（a＋1）]≤0，若q是p的必要而不充分条件，则实数a的取值范围是________.
解析 p对应的集合A＝{x|y＝ln（2x－1）≤0}＝
，q对应的集合B＝{x|（x－a）[x－（a＋1）]≤0}＝{x|a≤x≤a＋1}.由q是p的必要而不充分条件，知AB.所以a≤
且a＋1≥1，因此0≤a≤
.
答案
C级 创新猜想
17.（开放题）（2018·北京卷）能说明“若a>b，则
<
”为假命题的一组a，b的值依次为________.
解析 若a>b，则
<
为真命题，则
－
＝
<0，∵a>b，∴b－a<0，则ab>0.故当a>0，b<0时，均能说明“若a>b，则
<
”为假命题.
答案 a＝1，b＝－1（答案不唯一，只需a>0，b<0）
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