江苏省苏州市届高三上学期期中考试数学Word版含答案.docx

江苏省苏州市届高三上学期期中考试数学Word版含答案.docx

《江苏省苏州市届高三上学期期中考试数学Word版含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省苏州市届高三上学期期中考试数学Word版含答案.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

江苏省苏州市届高三上学期期中考试数学Word版含答案

密封线

____________　号学　　____________　名姓　　____________　级班　　____________　校学

（这是边文，请据需要手工删加）

苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试·数学　第页（共6页）

（这是边文，请据需要手工删加）

苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试

数学一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1.已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{2，3}，则A∩（∁UB）＝________．

2.函数y＝的定义域为______________．

3.设命题p：

x>4；命题q：

x2－5x＋4≥0，那么p是q的______________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”）

4.已知幂函数y＝x2m－m2（m∈N*）在（0，＋∞）是增函数，则实数m的值是________．

5.已知曲线f（x）＝ax3＋lnx在点（1，f

（1））处的切线的斜率为2，则实数a的取值是________．　

6.已知在等比数列{an}中，a3＝2，a4a6＝16，则＝________．

7.函数y＝sin（2x＋φ）图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值是________．

8.已知奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，且f

（2）＝0，则不等式>0的解集是________．　

9.已知tan＝2，则cos2α的值是________．

10.若函数f（x）＝（a>0且a≠1）的值域为[6，＋∞），则实数a的取值范围是________．　

11.已知数列{an}，{bn}满足a1＝，an＋bn＝1，bn＋1＝（n∈N*），则b1·b2·…·b2017＝________．　

12.设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，D为AB的中点，若b＝acosC＋csinA且CD＝，则△ABC面积的最大值是________．

13.已知函数f（x）＝sin，若对任意的实数α∈，都存在唯一的实数β∈[0，m]，使f（α）＋f（β）＝0，则实数m的最小值是________．

14.已知函数f（x）＝若直线y＝ax与y＝f（x）交于三个不同的点A（m，f（m）），B（n，f（n）），C（t，f（t））（其中m

二、解答题：

本大题共6个小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

已知函数f（x）＝－sin＋＋b（a>0，b>0）的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）在上的最大值和最小值．

16.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sinB＋sinC＝msinA（m∈R），且a2－4bc＝0.

（1）当a＝2，m＝时，求b，c的值；

（2）若角A为锐角，求实数m的取值范围．

17.（本小题满分15分）

已知数列{an}的前n项和是Sn，且满足a1＝1，Sn＋1＝3Sn＋1（n∈N*）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）在数列{bn}中，b1＝3，bn＋1－bn＝（n∈N*），若不等式λan＋bn≤n2对n∈N*有解，求实数λ的取值范围．

18.（本小题满分15分）

如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB为2米，梯形的高为1米，CD为3米，上部是个半圆，固定点E为CD的中点．MN是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆（横杆面积可忽略不计），且滑动过程中始终保持和CD平行．当MN位于CD下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH（阴影部分均不通风）．

（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将通风窗的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数y＝S（x）；

（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S取得最大值？

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝x2－x－m.

（1）求过点P（0，－1）的f（x）的切线方程；

（2）当m＝0时，求函数F（x）＝f（x）－g（x）在（0，a]上的最大值；

（3）证明：

当m≥－3时，不等式f（x）＋g（x）

20.（本小题满分16分）

已知数列{an}的各项均为正数，a1＝1，a2＝2，且anan＋3＝an＋1an＋2对任意n∈N*恒成立，记{an}的前n项和为Sn.

（1）若a3＝3，求a5的值；

（2）证明：

对任意正实数p，{a2n＋pa2n－1}成等比数列；

（3）是否存在正实数t，使得数列{Sn＋t}为等比数列？

若存在，求出此时an和Sn的表达式；若不存在，请说明理由．

密封线

（这是边文，请据需要手工删加）

密封线

____________　号学　　____________　名姓　　____________　级班　　____________　校学

（这是边文，请据需要手工删加）

苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试·数学附加题　第页（共2页）

（这是边文，请据需要手工删加）

苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试

数学附加题21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.选修41：

几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上，CF⊥AB，垂足为F，D为线段CF上任意一点，延长AD交圆O于点E，∠AEC＝30°.

（1）求证：

AF＝FO；

（2）若CF＝，求AD·AE的值．

B.选修42：

矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵A＝，α＝，求A49α.

C.选修44：

坐标系与参数方程（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝acos（a≠0）．

（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

（2）若圆C的任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为，求实数a的值．

D.选修45：

不等式选讲（本小题满分10分）

设x，y均为正数，且x>y，求证：

2x＋≥2y＋3.

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

在小明的婚礼上，为了活跃气氛，主持人邀请10位客人做一个游戏．第一轮游戏中，主持人将标有数字1，2，…，10的十张相同的卡片放入一个不透明箱子中，让客人依次去摸，摸到数字6，7，…，10的客人留下，其余的淘汰；第二轮放入1，2，…，5五张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字3，4，5的客人留下；第三轮放入1，2，3三张卡片，让留下的客人依次去摸，摸到数字2，3的客人留下；同样第四轮淘汰一位，最后留下的客人获得小明准备的礼物．已知客人甲参加了该游戏．

（1）求甲拿到礼物的概率；

（2）设ξ表示甲参加游戏的轮数，求ξ的概率分布列和数学期望E（ξ）．

23.（本小题满分10分）

（1）若不等式（x＋1）ln（x＋1）≥ax对任意x∈[0，＋∞）恒成立，求实数a的取值范围；

（2）设n∈N*，试比较＋＋…＋与ln（n＋1）的大小，并证明你的结论．

密封线

（这是边文，请据需要手工删加）

苏州市2017～2018学年度第一学期期中考试

数学参考答案

1.{1}　2.（1，2）∪（2，＋∞）　3.充分不必要

4.1　5.　6.4　7.　8.（－2，0）∪（1，2）

9.－　10.（1，2]　11.　12.＋1

13.　14.

15.

（1）因为f（x）图象上相邻两个最高点之间的距离为，

所以f（x）的周期为，

所以＝且a>0，

所以a＝2，

此时f（x）＝－sin＋＋b.

因为f（x）的图象与x轴相切，

所以＝且b>0，

所以b＝－.

（2）由

（1）可得f（x）＝－sin（4x＋）＋.

因为x∈，所以4x＋∈，

所以当4x＋＝，即x＝时，f（x）有最大值为；

当4x＋＝，即x＝时，f（x）有最小值为0.

16.

（1）由题意得b＋c＝ma，a2－4bc＝0.

当a＝2，m＝时，b＋c＝，bc＝1，

解得或

（2）cosA＝＝＝＝2m2－3.

因为A为锐角，所以cosA＝2m2－3∈（0，1），

所以

又由b＋c＝ma可得m>0，

所以

17.解：

（1）因为Sn＋1＝3Sn＋1（n∈N*），

所以Sn＝3Sn－1＋1（n∈N*，n≥2），

所以an＋1＝3an（n∈N*，n≥2）．

又当n＝1时，由S2＝3S1＋1得a2＝3符合a2＝3a1，

所以an＋1＝3an（n∈N*），

所以数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，

所以an＝3n－1（n∈N*）．

（2）因为bn＋1－bn＝＝3（n∈N*），

所以{bn}是以3为首项，3为公差的等差数列，

所以bn＝3＋3（n－1）＝3n（n∈N*），

所以λan＋bn≤n2，即λ≤对n∈N*有解．

设f（n）＝（n∈N*）．

因为f（n＋1）－f（n）＝－＝，

所以当n≥4时，f（n＋1）f（n），

所以f

（1）

（2）f（5）>f（6）>…，

所以f（n）max＝f（4）＝，

所以λ≤.

18.

（1）当0≤x<1时，过点A作AK⊥CD，垂足K，如图1，则AK＝1，DK＝＝，HM＝1－x.

由＝＝2，得DH＝＝，

所以HG＝3－2DH＝2＋x，

所以S（x）＝HM·HG＝（1－x）（2＋x）＝－x2－x＋2；

当1

所以MN＝2，

所以S（x）＝MN·ET＝2·（x－1）．

综上所述，

S（x）＝

图1

图2

（2）当0≤x<1时，S（x）＝－x2－x＋2＝－＋在[0，1）上单调递减，

所以S（x）max＝S（0）＝2；

当1

S（x）＝2（x－1）≤2×＝，

当且仅当x－1＝，即x＝＋1∈时取等号，

所以S（x）max＝，此时S（x）max＝>2，

所以S（x）的最大值为.

答：

当MN与AB之间的距离为米时，通风窗的通风面积S取得最大值．

19.

（1）设切点坐标为（x0，lnx0），则切线方程为y－lnx0＝（x－x0），

将点P（0，－1）代入上式，得lnx0＝0，即x0＝1，

所以切线方程为y＝x－1.

（2）当m＝0时，F（x）＝lnx－x2＋x，x∈（0，＋∞），

所以F′（x）＝－，x∈（0，＋∞），

所以当00；当x>1时，F′（x）<0，

所以F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，

所以当0

当a>1时，F（x）的最大值为F

（1）＝0.

（3）f（x）＋g（x）（x－2）ex＋lnx－x.

设h（x）＝（x－2）ex＋lnx－x，x∈，要证m≥－3时m>h（x）对任意x∈均成立，只要证h（x）max<－3.下证此结论成立：

因为h′（x）＝（x－1），

所以当

设u（x）＝ex－，则u′（x）＝ex＋>0，

所以u（x）在上单调递增．

因为u（x）在区间上的图象是一条不间断的曲线，且u＝－2<0，u

（1）＝e－1>0，

所以∃x0∈，使得u（x0）＝0，即ex0＝，lnx0＝－x0，

所以当x∈时，u（x）<0，h′（x）>0；

当x∈（x0，1）时，u（x）>0，h′（x）<0，

所以函数h（x）在上单调递增，在[x0，1]上单调递减，

所以h（x）max＝h（x0）＝（x0－2）ex0＋lnx0－x0＝（x2－2）·－2x0＝1－－2x0.

因为y＝1－－2x在x∈上单调递增，

所以h（x0）＝1－－2x0<1－2－2＝－3，即h（x）max<－3，

所以当m≥－3时，不等式f（x）＋g（x）

20.

（1）因为a1a4＝a2a3，所以a4＝6.

又a2a5＝a3a4，

所以a5＝a4＝9.

（2）由已知得

两式相乘得anan＋1an＋3an＋4＝an＋1aan＋3.

因为an>0，所以anan＋4＝a（n∈N*），

所以{an}的奇数项和偶数项均构成等比数列．

设{an}的奇数项和偶数项的公比分别为q1，q2，则a2n＝a2q＝2q，a2n－1＝a1q＝q.

因为＝，

所以＝＝2＝，即q1＝q2.

设q1＝q2＝q，则a2n＋pa2n－1＝q（a2n－2＋pa2n－3），且a2n＋pa2n－1>0恒成立，

所以数列{a2n＋pa2n－1}是首项为2＋p，公比为q的等比数列．

（3）由

（2）知a2n＝2qn－1，a2n－1＝qn－1，且S1＝1，S2＝3，S3＝3＋q，S4＝3＋3q.

因为数列{Sn＋t}为等比数列，

所以

即

即

解得或（舍去），

所以a2n＝2qn－1＝22n－1，a2n－1＝22n－2，从而对任意n∈N*有an＝2n－1，

所以Sn＝20＋21＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，

此时Sn＋t＝2n，＝2为常数，满足{Sn＋t}成等比数列，

综上，存在t＝1使得数列{Sn＋t}为等比数列，此时an＝2n－1，Sn＝2n－1（n∈N*）．

数学附加题

21.A.

（1）如图，连结OC，AC.

因为∠AEC＝30°，

所以∠AOC＝2∠AEC＝60°.

又OA＝OC，所以△AOC为等边三角形．

因为CF⊥AB，

所以CF为△AOC中AO边上的中线，

所以AF＝FO.

（2）如图，连结BE.

因为CF＝，△AOC是等边三角形，

所以AF＝1，AB＝4.

因为AB为圆O的直径，所以∠AEB＝90°，

所以∠AEB＝∠AFD.

因为∠BAE＝∠DAF，

所以△AEB∽△AFD，所以＝，

所以AD·AE＝AB·AF＝4×1＝4.

B.矩阵A的特征多项式为f（λ）＝＝λ2－2λ－3，

令f（λ）＝0，解得λ1＝－1，λ2＝3，

当λ1＝－1时，对应的特征向量为α1＝；

当λ2＝3时，对应的特征向量为α2＝，

所以α＝＝α1＋3α2，

所以A49α＝λα1＋3λα2＝.

C.

（1）直线l的普通方程为x＋2y－2＝0，

圆C的直角坐标方程为＋＝.

（2）因为圆C的任意一条直径的两个端点到直线l的距离之和为，

所以圆心C到直线l的距离为，

即＝，

解得a＝3或a＝－.

D.因为x>0，y>0，x－y>0，

所以2x＋－2y＝2（x－y）＋

＝（x－y）＋（x－y）＋

≥3＝3，

所以2x＋≥2y＋3.

22.

（1）记“甲拿到礼物”为事件A.

在每一轮游戏中，甲留下的概率和他摸卡片的顺序无关，

则P（A）＝×××＝，

答：

甲拿到礼物的概率为.

（2）随机变量ξ的所有可能取值是1，2，3，4.

P（ξ＝1）＝，

P（ξ＝2）＝×＝，

P（ξ＝3）＝××＝，

P（ξ＝4）＝××＝，

随机变量ξ的概率分布列为

ξ

1

2

3

4

P

所以E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.

23.

（1）原问题等价于ln（x＋1）－≥0对任意x∈[0，＋∞）恒成立，

令g（x）＝ln（x＋1）－，

则g′（x）＝.

当a≤1时，g′（x）＝≥0恒成立，

所以g（x）在[0，＋∞）上单调递增，

所以g（x）≥g（0）＝0恒成立；

当a>1时，令g（x）＝0，则x＝a－1>0，

所以g（x）在（0，a－1）上单调递减，在（a－1，＋∞）上单调递增，

所以g（a－1）0使得g（x）<0，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是（－∞，1]．

（2）方法一：

在

（1）中取a＝1，得ln（x＋1）>（x∈（0，＋∞）），

令x＝（n∈N*），

上式即为ln>，

即ln（n＋1）－lnn>，

所以

上述各式相加可得＋＋…＋

方法二：

注意到

故猜想＋＋…＋

下面用数学归纳法证明该猜想成立．

证明：

①当n＝1时，

②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋

在

（1）中取a＝1，得ln（x＋1）>（x∈（0，＋∞）），

令x＝（k∈N*），则

那么，当n＝k＋1时，

＋＋…＋＋

由①②可知＋＋…＋