中考数学热身训练《二次函数》含答案解析.docx
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中考数学热身训练《二次函数》含答案解析
二次函数
1．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：
球出手时，他跳离地面的高度是多少？
2．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？
每月的最大利润是多少？
3．在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）该男同学把铅球推出去多远？
（精确到0.01米，
=3.873）
4．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：
这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：
t=﹣3x+204
（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：
商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
5．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，身体（将运动员看成一点）在空中运动的路线是如图所示坐标系经过原点O的抛物线（图中标出的数据为已知数据）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面
米，入水处距池边4米．同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．
（1）求这条抛物线的关系式；
（2）某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是
（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为
米，问此次跳水会不会失误？
通过计算说明理由．
6．某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）．目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：
转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100
价格（元/套）240250260270280290300310320330340350
方案1：
不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；
方案2：
全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；
方案3：
部分转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装．
问：
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？
若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？
此时他在一年内共得利润多少元？
7．某商店以每件30元的价格购进一种衣服，试销中发现，这种衣服每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数m=210﹣3x．
（1）写出商店卖这种衣服每天的利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式（不考虑房租、人工等因素）；
（2）如果商场要每天获得最大利润，每件衣服的售价应定为多少？
并求出这最大利润．
8．如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米，面积为S平方米．
（1）求：
S与x之间的函数关系式，并求当S=200米2时，x的值；
（2）设矩形的边BC=y米，如果x，y满足关系式x：
y=y：
（x+y）即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽．
9．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图
（1）和
（2）所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是y=﹣x2+2x+
，请回答下列问题．
（1）柱子OA的高度为多少米？
（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
二次函数
参考答案与试题解析
1．如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．
（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：
球出手时，他跳离地面的高度是多少？
【考点】HE：
二次函数的应用．
【分析】
（1）设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．
【解答】解：
（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5．
由图知图象过以下点：
（1.5，3.05）．
∴2.25a+3.5=3.05，
解得：
a=﹣0.2，
∴抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5．
（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，
因为
（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，
则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=（h+2.05）m，
∴h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，
∴h=0.2（m）．
答：
球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．
【点评】这是一道典型的函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性．
2．某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．
（1）试求y与x之间的关系式；
（2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？
每月的最大利润是多少？
【考点】HE：
二次函数的应用．
【分析】
（1）设出一次函数解析式y=kx+b，用待定系数法求解即可．
（2）按照等量关系“每月获得的利润=（销售价格﹣进价）×销售件数”列出二次函数，并求得最值．
【解答】解：
（1）依题意设y=kx+b，
则有
解得
．
所以y=﹣30x+960（16≤x≤32）
（2）每月获得利润P=（﹣30x+960）（x﹣16）
=30（﹣x+32）（x﹣16）
=30（﹣x2+48x﹣512）
=﹣30（x﹣24）2+1920．
所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．
答：
当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．
注意：
数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
3．在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）该男同学把铅球推出去多远？
（精确到0.01米，
=3.873）
【考点】HE：
二次函数的应用．
【分析】
（1）由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将（0，2）代入即可求解．
（2）由
（1）求得的函数解析式，令y=0，求得的x的正值即为铅球推出的距离．
【解答】解：
（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣h）2+k，
由于顶点坐标为（6，5），
∴y=a（x﹣6）2+5．
又A（0，2）在抛物线上，
∴2=62•a+5，
解得：
a=﹣
．
∴二次函数的解析式为y=﹣
（x﹣6）2+5，
整理得：
y=﹣
x2+x+2．
（2）当y=0时，﹣
x2+x+2=0．
x=6+2
，x=6﹣2
（不合题意，舍去）．
∴x=6+2
≈13.75（米）．
答：
该同学把铅球抛出13.75米．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是函数解析式的求法．
4．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：
这种服装每天的销售量t（件），与每件的销售价x（元/件）可看成是一次函数关系：
t=﹣3x+204
（1）写出商场卖这种服装每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式（每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）；
（2）通过对所得函数关系式进行配方，指出：
商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？
【考点】HE：
二次函数的应用．
【分析】
（1）商场的利润是由每件商品的利润乘每天的销售的数量所决定．在这个问题中，每件服装的利润为（x﹣42），而销售的件数是（﹣3x+204），由销售利润y=（售价﹣成本）×销售量，那么就能得到一个y与x之间的函数关系，这个函数是二次函数．
（2）要求销售的最大利润，就是要求这个二次函数的最大值．
【解答】解：
（1）由题意，销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系为
y=（x﹣42）（﹣3x+204），
即y=﹣3x2+330x﹣8568．
故商场卖这种服装每天的销售利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式为y=﹣3x2+330x﹣8568；
（2）配方，得y=﹣3（x﹣55）2+507．
故当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用二次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．
5．某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，身体（将运动员看成一点）在空中运动的路线是如图所示坐标系经过原点O的抛物线（图中标出的数据为已知数据）．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中最高处距水面
米，入水处距池边4米．同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，否则就会失误．
（1）求这条抛物线的关系式；
（2）某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是
（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为
米，问此次跳水会不会失误？
通过计算说明理由．
【考点】HE：
二次函数的应用．
【专题】16：
压轴题．
【分析】
（1）根据题意可求起跳点，入水处的坐标及顶点的纵坐标，结合对称轴的位置可求出解析式；
（2）距池边的水平距离为3
米处的横坐标是1
，可求出纵坐标，再根据实际求出距水面的距离，与5进行比较，得出结论．
【解答】解：
（1）如答图所示，在给定的直角坐标系中，设最高点为A，入水点为B．
∵A点距水面
米，跳台支柱10米，
∴A点的纵坐标为
．
由题意可得O（0，0），B（2，﹣10）．
设该抛物线的关系式为y=ax2+bx+c，
把O（0，0），B（2，﹣10）代入上式，
得
，
解得
或
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴﹣
＞0，
又∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＞0，
∴a=﹣
，b=
，c=0，
∴所求抛物线的关系式为y=
．
（2）试跳会出现失误，当x=
时，
y=
．
此时，运动员距水面的高为
，
∴试跳会出现失误．
【点评】本题重在考查认真读题，仔细观察图象，得出特殊点的坐标是关键．
6．某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）．目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有如下关系：
转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100
价格（元/套）240250260270280290300310320330340350
方案1：
不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装；
方案2：
全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装；
方案3：
部分转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装．
问：
①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？
②经销商甲选择哪种方案可以使自己一年内获得最大利润？
若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是多少（精确到百套）？
此时他在一年内共得利润多少元？
【考点】HE：
二次函数的应用．
【专题】21：
阅读型；22：
方案型．
【分析】
（1）根据利润=（售价﹣成本）×销售量，分别求出两方案一年内的利润．
（2）设转让A品牌服装x套，则转让价格是每套360﹣
元，可进购B品牌服装
套，列出利润与x之间的函数关系式，求其最大值．
【解答】解：
经销商甲的进货成本是=1200×400=480000（元）
①若选方案1，
则获利1200×600﹣480000=240000（元）．
若选方案2，
得转让款1200×240=288000元，可进购B品牌服装
=1440套，一年内刚好卖空可获利1440×500﹣480000=240000（元）．
②设转让A品牌服装x套，
则转让价格是每套360﹣
元，可进购B品牌服装
套，全部售出B品牌服装后得款
元，
此时还剩A品牌服装（1200﹣x）套，全部售出A品牌服装后得款600（1200﹣x）元，
共获利w=
+600（1200﹣x）﹣480000=﹣
+330000（0＜x≤1200）．
故当x=600套时，可得最大利润为330000元．
答：
经销商甲选择方案3可以使自己一年内获得最大利润．若选用方案3，请问他转让给经销商乙的A品牌服装的数量是600（精确到百套），此时他在一年内共得利润330000元．
【点评】本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价﹣成本）×销售量，列出函数关系式，求出最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．
7．某商店以每件30元的价格购进一种衣服，试销中发现，这种衣服每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数m=210﹣3x．
（1）写出商店卖这种衣服每天的利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数关系式（不考虑房租、人工等因素）；
（2）如果商场要每天获得最大利润，每件衣服的售价应定为多少？
并求出这最大利润．
【考点】HE：
二次函数的应用．
【分析】
（1）每件商品的利润为（x﹣30），销售量为（210﹣3x），根据利润=每件利润×销售量，列函数式；
（2）根据顶点坐标公式求最大利润及最大利润时，每件衣服的售价．
【解答】解：
（1）∵每件商品的利润为（x﹣30），
∴y=（x﹣30）（210﹣3x）=﹣3x2+300x﹣6300；
（2）当x=﹣
=50时，
y最大=
=1200．
答：
当每件衣服定为50元时，每天有最大利润，最大利润是1200元．
【点评】根据自变量x表示的实际意思，表示每件利润及销售量，根据销售问题中的基本等量关系列函数式．
8．如图，一边靠学校院墙，其它三边用40米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形ABCD的边AB=x米，面积为S平方米．
（1）求：
S与x之间的函数关系式，并求当S=200米2时，x的值；
（2）设矩形的边BC=y米，如果x，y满足关系式x：
y=y：
（x+y）即矩形成黄金矩形，求此黄金矩形的长和宽．
【考点】HE：
二次函数的应用．
【分析】
（1）设AB为x，则BC=40﹣2x，列出关系式，
（2）当BC=y则y=40﹣2x，联立二次方程解得x和y．
【解答】解：
（1）S=x（40﹣2x）=﹣2x2+40x
当S=200时，
﹣2x2+40x﹣200=0
解得x=10；
（2）当BC=y则y=40﹣2x①
又y2=x（x+y）②
由①、②解得x=20±4
，
其中20+4
不合题意，舍去，
∴x=20﹣4
米，y=8
米
当矩形成黄金矩形时，宽为20﹣4
米，长为8
米．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题．
9．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图
（1）和
（2）所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式是y=﹣x2+2x+
，请回答下列问题．
（1）柱子OA的高度为多少米？
（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【考点】HE：
二次函数的应用．
【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题．
【解答】解：
（1）当x=0时，y=
，
故OA的高度为1.25米；
（2）∵y=﹣x2+2x+
=﹣（x﹣1）2+2.25，
∴顶点是（1，2.25），
故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米；
（3）解方程﹣x2+2x+
=0，
得x1=﹣
，x2=
，
∴B点坐标为
，
∴OB=
．
故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外．
【点评】本题是抛物线解析式的实际应用，要求掌握抛物线顶点，与x轴交点，y轴交点的实际意义．
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