基于Matlab非线性电路的混沌仿真计算机课设.docx
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基于Matlab非线性电路的混沌仿真计算机课设
计算机课程设计报告
基于Matlab的非线性电路混沌
实验仿真
姓
名：
_
任华西
学
院：
测试与光电信息工程
班
级：
-
100851
指导老师：
-
陈常婷
摘要
混沌是指发生在确定系统中的貌似随机的不规则运动。
而混沌对于非线性动力学的研究有着非常重要的作用，本文结合非线性电路的混沌的课堂教学，设计了Matlab/Simulink仿真实验,研究蔡氏电路的模拟仿真过程。
本文首先通过对非线性电路（蔡氏电路）与非线性动力学进行了阐述和分析，建立非线性动力学方程，然后利用Matlab/Simulink软件进行仿真，研究系统波形图、单吸引子、双吸引子、相面图以及在不同的非线性电阻的导纳下的不同形状。
达到了预期的实验效果，基于Matlab/Simulink对非线性电路混沌的仿真对学生对非线性电路实验混沌适应实验的理解有着较大的参考价值。
关键词非线性电路混沌现象Matlab/Simulink仿真
摘要3
1混沌的概述4
1.1混沌现象的概述4
1.2混沌电路综述5
2混沌理论基础5
2.1混沌的基本定义5
2.2混沌的基本特征5
2.3混沌理论的基本概念7
3蔡氏电路的分析与仿真8
3.1蔡氏电路的分析9
3.2计算机仿真10
4结论15
致谢16
参考书目16
1混沌的概述
1.1混沌现象概述
混沌是指发生在确定系统中的貌似随机的不规则运动，长期以
来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定
的运动有一个完美确定的解析解。
但是自然界在相当多情况下，非线性现象
却起着很大的作用。
1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解。
于是，1975年混沌作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。
从此，非线性动力学迅速发展，并成为有丰富内容的研究领域。
该学科涉及非常广泛的科学范围从电子学到物理学，从气象学到生态学，从数学到经济学等。
与我们通常研究的线性科学不同，混沌学研究的是一种非线性科学，而
非线性科学研究似乎总是把人们对正常”事物正常”现象的认识转向对反
常”事物反常”现象的探索。
例如，孤波不是周期性振荡的规则传播；多媒
体”技术对信息贮存、压缩、传播、转换和控制过程中遇到大量的非常规”
现象产生所采用的非常规”的新方法；混沌打破了确定性方程由初始条件严格确定系统未来运动的常规”，出现所谓各种奇异吸引子”现象等。
混沌来自于非线性动力系统，而动力系统又描述的是任意随时间发展变
化的过程，并且这样的系统产生于生活的各个方面。
举个例子，生态学家对
某物种的长期性态感兴趣，给定一些观察到的或实验得到的变量（如捕食者
个数、气候的恶劣性、食物的可获性等等），建立数学模型来描述群体的增
减。
如果用Pn表示n代后该物种极限数目的百分比，则著名的罗杰斯蒂
映射”：
Pn+仁kP（1-Pn）（其中k是依赖于生态条件的常数，n+1”是脚标）
可以用于在给定Po,k条件下，预报群体数的长期性态。
如果将常数k处
理成可变的参数k，则当k值增大到一定值后，罗杰斯蒂映射”所构成的动
力系统就进入混沌状态。
混沌（Chaos）也作混沌，指确定性系统产生的一种对初始条件具有敏感依赖性的回复性非周期运动。
浑沌与分形（fractal）和孤子（soliton）是非线性科学中最重要的三个概念。
浑沌理论隶属于非线性科学，只有非线性系统才能产生浑沌运动。
据1991年出版的《浑沌文献总目》统计，已收集到与浑沌研究有直接关系的书269部、论文7157篇。
到1996年底，还不断有新的浑沌研究成果发表。
科学史上只有量子力学的攻坚热情可与之媲美。
1.2混沌电路综述
混沌理论是现代非线性科学的一个重要分支，混沌应用是一个全新的非线性利于，从混沌理论的研究到实际应用，混沌电路起着重要的纽带作用，随着非线性力学的飞速发展，是的混沌理论应用与实践成为了可能，混沌逐渐应用与电子电路，混沌通信等诸多领域，因此，无论是在理论研究还是工程应用上，对混沌电路域混沌系统的研究都是很有必要的。
由于混沌的初值的敏感性，使其在电路设计中对于案件的精度要求比较高，因此从硬件出发研究混沌现象比较困难，而且某些元器件仅在理论上成立，因此目前大都从理论上进行研究。
不过，经过多年的发展，人们在混沌电路的实现已经取得了可喜的成绩，诸如蔡氏电路，可以较为方便的观察到单吸引子，双吸引子等现象。
2、混沌理论基础
2.1混沌的定义
由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解，因此至今混沌还没有一个统一的定义，不过经过多年的发展，从不同的理论观点出发，揭示了混沌现象的一些本质。
基于混沌的“蝴蝶效益”，洛伦兹（E.N.Lorenz）教授于1963年《大
气科学》杂志上发表了“决定性的非周期流”-
-文，阐述了在气候不能精确
重演与长期天气预报者无能为力之间必然存在着
种联系，这就是非周期性
与不可预见性之间的关系。
洛伦兹在计算机上用他所建立的微分方程模拟气
候变化的时候，偶然发现输入的初始条件的极细微的差别，可以引起模拟结
果的巨大变化。
洛伦兹打了个比喻，即我们在文首提到的关于在南半球巴西某地一只蝴蝶的翅膀的偶然扇动所引起的微小气流，几星期后可能变成席卷
北半球美国得克萨斯州的一场龙卷风，这就是天气的“蝴蝶效应”。
2.2混沌的基本特征
从现象上看，混沌貌似是随机的不可预测的，但是混沌与随机有着本质的区别，混沌运动是有确定的物理规律引起的是源于内在特性的外在表现，因此又称为确定性混沌，下面就混沌的特性加以介绍：
混沌理论是近代非线性动力学中重要的组成部分，虽然混沌的定义多繁复杂，但混沌还是有自己的一些与其他非线性系统所没有的基本特征，具体表现为如下：
（1）对初始条件的敏感性
经典学说认为：
确定性的系统只要初始条件给定，方程的解也就随之确
定了。
一个随时间确定性变化或具有微弱随机性的变化系统，称为动力系统，
它的状态可由一个或几个变量数值确定。
在动力系统中，两个几乎完全一致
的状态经过充分长时间后会变得毫无一致，恰如从长序列中随机选取的两个
状态那样，这种系统被称为敏感地依赖于初始条件，这就是系统对初值的敏
感，还有混沌的敏感表现在一些控制参数的变化。
1972年洛伦兹在华盛顿科学进步协会上的报告上指出：
“在巴西的一只
蝴蝶拍打翅膀会引发得克萨斯州的一场龙卷风”。
这就是著名的“蝴蝶效应”。
这句话的意思是说任意一个微小的扰动可能会引起世界另一边天气的变化，这种微小的扰动如同蝴蝶扇一下翅膀，都有可能发生巨大的改变。
这一现象
的指出就是对混沌初值敏感性的最好的诠释。
（2）整体稳定局部不稳定
稳定性是有关扰动现象的。
如果一个动力系统中发生轻微的变化，这个
系统还会保持它的运动状态，保持它的能力和属性。
混沌的整体稳定性指一个微小的扰动也不会改变系统原有的性能。
一个系统并不能只是绝对的稳定，还要有局部的稳定，这样这个系统才能进化。
局部不稳定性表现在混沌对初值的敏感依赖性，一个微小的初值变化就会引起系统局部的不稳定。
（3）奇怪吸引子及其分形
奇怪吸引子将混沌运动的特征初始条件的敏感性和确定性的随机直观地反映出来。
在耗散系统当中，当连续流在收缩体积时，一边沿这些地方压缩，另一边又沿其他地方延伸。
不过连续流是固定在一个有界的区域内，这
种伸缩和折叠过程会使运动轨道在奇怪吸引子上产生混沌运动。
可见，奇怪吸引子是轨道不稳定和耗散系统相体积收缩两种因素的内在性质同时发生
的现象。
它的几何特性由分形来刻画，具有大尺度与小尺度之间的相似性，具有
无穷无尽自相似的精细图案，具有分数维数。
分形的形状是一些难以用传统
的几何学来描述的极度不规则的图形；分形存在着很小的比例精密的细节结
构；分形的维数大于等于它的拓扑维；分形具有自相似性，这种自相似性可
以是严格的，也可以是近似的或统计意义上的；分形一般都产生于迭代过程
这些规则。
分形和混沌是同一种规律的不同表现，这种统一的规律反映在空
间分布上表现为分形，出现在时间分布上表现为混沌。
（4）分岔（Bifurcation）
当系统的一些控制参数发生变化时，新的定常状态解、周期解、拟周期
解或者是混沌解就会分叉出来，其中相轨迹图发生拓扑结构的突变，分岔理
论是非线性解定性行为数学理论，失稳是发生分岔的物理前提，分岔后，系
统的不同状态便会有了突变，经过不断的分岔，最终达到的状态就是混沌理
论的研究对象。
（5）遍历性及有界性
混沌运动的轨迹经历混沌吸引子内每一个状态点的地方，不重复，不紊
乱。
混沌的有界性最好的证明是奇怪吸引子，混沌的运动轨迹虽说有点乱，但它始终在一个确定的区域里，有一定的规律性。
（6）普适性
若将第n倍周期分岔（或混沌带合并）时对应的参数」记为叫，则相继两次分岔（或合并）的间隔之比趋于同一个常数：
S=4.66920160910299（67,
它是一个普适常数：
一类具有相同的单峰映射性质的函数中的任何一个，
在沿倍周期分岔的道路进入混沌时，都会出现同一个S；在沿倍周期分岔的
道路进入混沌的过程中，不仅在周期区内分岔序列按3速率收敛，在混沌区
中的倒分岔序列也以同样的3速率收敛。
并证明了此种结构所具有的定量特
征有着普适性，既出现于不同的非线性系统之中，又反映于同一系统的不同
层次。
普适性有结构普适性和测度普适性两种
结构普适性指出无论是指数函数或是三角函数，只要是单峰映射，那么
函数表现出来的结构与有着某种共同的数学性质的非线性动力系统的逻辑斯蒂方程所表现出来的结构相同，为复杂的分岔结构。
同样都是经倍周期分
岔进入混沌状态。
测度普适性指在沿倍周期分岔进入混沌的过程中隐含着一种深刻的规律，它以常数的形式表现出来。
倍周期分岔序列具有一个确定的收敛速率。
费根鲍姆普适常数:
.的数值只与系统的某种非线性性质有关，而与各个系统的其他具体细节无关，反映出混沌演化过程中所存在的一种普适性，说明混沌内部存在着一定的统一规律，是混沌内在规律性的另一个侧面反映，为认识和研究混沌提供了坚实的基础。
2.3混沌理论的基本概念
1.混沌运动
确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动，混沌电路分析及其
在保密通信中的应用研究所谓轨道高度不稳定，是指近邻的轨道随时间的发
展会指数的分离。
由于这种不稳定性，系统的长时间行为会显示出来某种混乱性。
2.相空间
在连续动力系统中，用一组一阶微分方程描述运动，以状态变量（或状态向量）为坐标轴的空间构成系统的相空间。
系统的一个状态用相空间的一个点表示，通过该点有唯一的一条积分曲线。
3.混沌运动
是确定性系统中局限于有限相空间的高度不稳定的运动。
所谓轨道高度不稳定，是指近邻的轨道随时间的发展会指数地分离。
由于这种不稳定性
系统的长时间行为会显示出某种混乱性。
4.分形和分维：
分形是n维空间一个点集的一种几何性质，该点集具有无限精细的
结构，在任何尺度下都有自相似部分和整体相似性质，具有小于所在空间
维数n的非整数维数。
分维就是用非整数维一一分数维来定量地描述分形的基本性质。
5.不动点：
又称平衡点、定态。
不动点是系统状态变量所取的一组值，对于这些
值系统不随时间变化。
在连续动力学系统中，相空间中有一个点x0，若满
足当tr时，轨迹X（t）—；Xo，则称x0为不动点。
6.吸引子：
指相空间的这样的一个点集s（或一个子空间），对s邻域的几乎任意一点，当t—」时所有轨迹线均趋于s，吸引子是稳定的不动点。
7.奇异吸引子：
又称混沌吸引子，指相空间中具有分数维的吸引子的集合。
该吸引集由永不重复自身的一系列点组成，并且无论如何也不表现出任何周期性。
混沌轨道就运行在其吸引子集中。
8.分叉和分叉点：
又称分岔或分支。
指在某个或者某组参数发生变化时，长时间动力学
运动的类型也发生变化。
这个参数值（或这组参数值）称为分叉点，在分叉点处参数的微小变化会产生不同性质的动力学特性，故系统在分叉点处是结
构不稳定的。
9.周期解：
对于系统Xn+=f（Xn），当nT叱时，若存在匕=Xn十二Xn，则称该系统有周期i解•。
不动点可以看作是周期为1的解，因为它满足
Xn1一Xn。
10.初值敏感性：
对初始条件的敏感依赖是混沌的基本特征，也有人用它来定义混沌：
混沌系统是其终极状态极端敏感地依赖于系统的初始状态的系统。
敏感依赖
性的一个严重后果就在于，使得系统的长期行为变得不可预见。
3蔡氏电路的分析与仿真
3.1蔡氏电路的分析
蔡氏电路是著名的非线性混沌电路，结构简单，但却出现
了双涡卷奇怪吸引子和极其丰富的混沌力学行为。
蔡氏混沌电路（Chua'chaoticcircuit）是美籍华裔科学家蔡
绍棠与1984年提出的一种典型的混沌电路，蔡氏电路是一种物理结构和数学模型简单的混沌系统。
实验电路如下图3.1所示，图中只有一个非线性元件NR，它是一
个有源非线性负阻元件，电感L和电容°组成一个损耗可以忽略的振
荡回路；可变电阻R/和电容器C1串联将振荡器产生的正弦信号移相输出。
较理想的非线性元件NR是一个三段分段的线性元件，3.2所示的是该电阻的伏安特性曲线，从特性曲线上显示加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的。
由于加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小，因而将此元件称为非线性负阻元件。
3-1蔡氏电路
图3-1中非线性电阻NR式压控型非线性电阻，它具有三段分段的伏安特性；
g（Vd）=m）Vci+*（m—m°）Vd+E—%!
—e，其中
I=Vci+E卜|Vd-E是它的非线性部分
3-2蔡氏电路负阻元件的三段曲线根据图3-1得出蔡氏电路的非线性动力学方程
Ci二G（Vc2=Vci=g（Vci））
dVC2.
2G（Vci二Vc2）iL
dt
diL
3.2计算机仿真
根据上述方程和g（乂J的表达式
根据上述方程式和g（Vci）的表达式，令Vc^xi,Vc^X2,i^x3带入方程式,
i1
选择参数：
Ci】，CU‘7，G"7,ZW。
.心「°，则得出下面方程：
dXl=—i.8xi+6.3X2—1.35（Xi—1.0—Xi+1.0）
dt
dx2
“=0.7Xi—0.7x2+X3
dt
dx3
—=-0.7x2
Idt
此时电路有混沌解，对上述方程选取非线性项的系数为一个变量a,即如下
dx1
dt
空
dt
dx3
.dt
式表示：
一1.8捲+6.3x2—a（为一1.0-为+1.0）
0.7论-0.7x2x3
-0.7x2
在不同的参数a值对方程应用Matlab仿真。
（1）在Matlab编辑器中建立方程式的微分方程文件；
（2）通过编写程序文件解微分方程；
（3）由解出的方程三个变量的数值绘制波形图和吸引子；
取该混沌电路的典型状态进行仿真，选择在参数a=1.05，a=1.15,a=1.25,a=1.35下，及电路处于周期震荡、倍频震荡、单涡旋混沌和双涡旋混沌状态下进行仿真，得到如下结果。
当a=1.05时，波形图，混沌吸引子及投影图形
t-X浪形圏
jLn■!
IIIIII
乂：
1/V巒wv缈wvyvwwyww缈vwywvwyw叫
'202040GO801001201401601C0200
t
炖液形国
05■■1111111
■02040€0BO1OD12D140160^100200
图3-4a=1.05时混沌吸引子极其在各个平面的投影图形
当a=1.15时，波形图，混沌吸引子及投影图形
ne玻形團
204060601001201401S0190200
t
t-y、波形图
。
■■WWWBWWWWW1WW
204060S010012014016018Q200
-0.51111111111
t-z浪形图
（BiOiWOlMWWWiMMrtW
■21■■■・IIIII
02040608010012011401S0180200
t
图3-7a=1.15时混沌吸引子极其在各个平面的投影图形
当a=1.25时，波形图，混沌吸引子及投影图形
图3-9a=1.15时混沌吸引子极其在各个平面的投影图形
当a=1.35时，波形图，混沌吸引子及投影图形
ne玻形團
5
0
B0
W波形图
t-z浪形图
5
2040
120140
嬖0
120140160180200
502040€080
吸弓I子在打y平面的投影04
02
鑿0
■02
^»4
图3-11a=1.35时混沌吸引子极其在各个平面的投影图形
4、结论
通过分析和仿真，得出如下结论：
1•蔡氏电路的结构和蔡氏混沌电路结构完全行对称。
2.蔡氏对偶混沌电路通过计算机仿真，在混沌振荡过程中出现了与蔡氏电路同样的双涡卷混沌奇怪吸引子，改变其参数和初始值，电路呈现出丰富的混沌动力学行为。
次换的电路也证实了蔡氏混沌电路所描述的非线性动态方程，正确的揭示了自然界的一种工程物理现象的非线性激励。
3.具有负电容的三阶自制混沌电路与蔡氏电路的非线性动态方程是一致的，其电路结构是众多蔡氏混沌电路中的一种新结构。
4.具有负电容的三阶自制混沌电路在混沌振荡过程中，出现了与蔡氏电路同样的双涡卷混沌奇怪吸引子，改变其参数和初始值，电路呈现出丰富的混沌动力学行为。
参考文献
[1]周建兴岂兴明.MATLAB从入门到精通•人民邮电出版社
2008.11
[2]朱全水龚勇清.大学物理实验.科学出版社2011.8
[3]TheEsseneeofChaos《混沌的本质》）E.N.洛仑兹，气
象出版社，北京1997
[4]王正林刘明.精通MATLAB7电子工业出版社，北京2007
⑸于万波.混沌的计算实验与分析.科学出版社2011.8
[6]刘秉正.非线性动力学与混沌基础.东北师范大学出版
社.1994.35-38
致谢
在本次设计中感谢陈常婷老师在设计中对我们的指导和帮助！
在整个创新实践过程中，陈老师以严谨求实的态度，兢兢业业的工作作风，开拓进取的科研精神影响着我、激励着我，特此感谢。
附录
试验程序：
functionyprime=bxchual（t,y）%电路非线性动力学方程
yprime=[-1.8*y
（1）+6.3*y
（2）-1.35*（abs（y
（1）-1）-abs（y
（1）+
1））；
0.7*y
（1）-0.7*y
（2）+y（3）;
-7*y
（2）；]
%方程中非线性系数g=1.05,1.15,1.25,1.35
二元时间向量
tspan=[0,200];
微分方程的初始值
取出函数的第i列
y0=[-0.5;0.4;0.1];%
[t,y]=ode45（'bxchual',tspan,y0）;yi=y（：
i）;%
y2=y（：
2）；y3=y（：
3）；
figure
（1）subplot（311）plot（t,y1,'b'）xlabel（'t'）ylabel（'xl'）title（'t-x波形图'）
subplot（312）plot（t,y2,'r'）xlabel（'t'）
ylabel（'x2'）
title（'t-y波形图'）
subplot（313）plot（t,y3,'k'）xlabel（'t'）ylabel（'x3'）
title（'t-z波形图'）
figure
（2）subplot（222）plot（y1,y2,'g'）xlabel（'xl'）ylabel（'x2'）title（'吸引子在x-y平面的投影'）
subplot（223）plot（y2,y3,'r'）xlabel（'x2'）
ylabel（'x3'）
title（'吸引子在y-z平面的投影'）
subplot（224）plot（y1,y3,'r'）xlabel（'xl'）ylabel（'x3'）
title（'吸引子在x-z平面的投影'）
subplot（221）
plot3（y1,y2,y3）
xlabel（'xl'）
ylabel（'x2'）
zlabel（'x3'）
title（'混沌吸引子'）gridon
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