数理统计学课后答案.docx
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数理统计学课后答案
数理统计学课后答案
【篇一：
数理统计习题】
为总体（或母体），而把组成总体的每个元素称为个体。
1.2设随机样本（x1,x2,?
xn）来自总体为正态分布（x1,x2,?
xn）的联合分布函数为
f（x1,x2,?
xn）?
（2?
?
）
*
2?
n2
n（?
?
2），则样本
exp{?
12?
2
?
（x
i?
1
n
2
i
?
?
）}。
1.3若对一批n件产品的合格率进行检查，从中有放回地随机抽取n件。
分别以0，1表示某件产品为次品和合格品，?
（0?
?
的0—1分布，即
?
1）表示产品的合格率，则总体x服从参数为?
p（x?
x）?
?
x（1?
?
）1?
x,x?
0,1。
所以样本（x1,x2,?
xn）的联合分布律数为
p（x1?
x1,x2?
x2,?
xn?
xn）?
?
?
i?
1
n
xi
（1?
?
）1?
xi,xi?
0,1.
2
1.4设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n（?
?
数，则（x1?
x2?
x3）?
?
，
），其中?
?
2是未知参
11
（x1?
x2）?
?
和（x1?
x2?
x3）都不是统计量，2?
11222
因为它们都含有未知参数，而（x1?
x2?
x3）（x1?
x2?
x3）和x1?
x2?
x3
32
都是统计量。
1.5设随机样本x1,x2,x3来自总体为正态分布n（?
?
知参数，则
2
1
3
），其中?
已知，?
2是未
12（x12?
x22
111（x1?
x2?
x3）?
?
，（x1?
x2）?
?
（x1?
x2?
x3）和323
12
?
x3）都是统计量，而（x1?
x2?
x3）不都是统计量。
?
1．6设x1,x2,?
xn是来自总体x的一个样本，则称统计量
121ns?
（xi?
）2?
nx?
?
xi，ni?
1
ni?
1
n
分别为样本的均值和样本方差；统计量
1nk1n
ak?
?
xi，bk?
?
（xi?
x）k
ni?
1ni?
1
分别为样本k阶原点矩和k阶中心矩。
2
显然，a1?
x，b2?
sn。
1．7设（x1,x2,?
xn）是来自正态总体n（?
?
任意一个确定线性函数
2
）的一个样本，统计量是样本的
u?
a1x1?
a2x2?
?
?
anxn，则统计量u?
a1x1?
a2x2?
?
?
anxn也是服从正态分布的随机变量，其均值和方差分别为
e（u）?
?
（a1?
a2?
?
?
an）?
?
?
a
i?
1
n
i
，
n
d（u）?
?
（a1?
a2?
?
?
an）?
?
特别地，取a1?
a2?
?
?
an?
22222
?
a
i?
1
2i
。
1
，则统计量u是样本的均值x，有下面的推论。
n
2
1.8设（x1,x2,?
xn）是来自正态总体n（?
?
）的一个样本，则样本的均值
?
2
）。
（2x~n（?
n
1.9设（x1,x2,?
x25）是来自正态总体n（2,5）的一个样本，求统计量x的密度函数。
解由推论知
52
x~n（2,）?
n（2,1），
25
则x的密度函数为
fx（x1,x2,?
x25）?
1
exp[?
（x?
2）2]。
22?
1
1．10设（x1,x2,?
xn）是来自正态总体n（?
?
数，求统计量
t?
的分布。
解作变换
yi?
2
）的一个样本，且?
是已知常
?
（x
i?
1
n
i
?
?
）2
xi?
?
?
i?
1,2,?
n，
则y1,y2,?
yn相互独立，且同服从n（0,1）分布，所以
2
t
?
2
?
?
（
i?
1
n
xi?
?
?
）?
?
yi2
2
i?
1
n
服从?
分布。
从而统计量t的密度函数为
1.11①如果f~f（m,n），则②x
1
~f（n,m）。
f
与y独立，则f
~?
2
（1）,y~?
2（n）,x?
t2，即f（1,n）与t2（n）相同。
2
1.12设（x1,x2,?
xn）是来自正态总体n（?
?
）的一个样本，
x?
?
1n
x?
?
xi，则u?
~n（0,1）。
ni?
1?
/n
证明因为x1,x2,?
xn相互独立，与总体服从同一分布n（?
?
2
），即
xi~n（?
?
2
1n
），由正态分布的加性定理知x?
?
xi服从正态分布。
又因为
ni?
1
1n1n
e（x）?
e?
xi}?
?
e（xi）?
?
，
ni?
1ni?
1
1n1
d（x）?
d?
xi}?
2
ni?
1n
所以
?
d（x）?
i
i?
1
n
?
2
n
，
x~n（?
?
2
n
）。
再由正态分布的性质知u?
x?
?
?
/n
~n（0,1）。
1.13设（x1,x2,?
xn）是来自正态总体
n（?
?
2）
的一个样本，则
1
?
2
?
（x
i?
1
n
i
?
?
）2~?
2（n）。
2
证明因为x1,x2,?
xn相互独立，与总体服从同一分布n（?
?
），即
xi~n（?
?
2），于是
xi?
?
?
~n（0,1）,（i?
1,2,?
n）。
再由?
2的定义，则
1
?
2
?
（x
i?
1
n
i
?
?
）2~?
2（n）。
2
1．14设（x1,x2,?
xn）是来自正态总体n（?
?
）的一个样本，则
t?
x?
?
sn/n?
1
x?
?
~t（n?
1）。
nsn
2
证明由定理2.2知，
2
?
/n
~n（0,1），由定理2.10知，
?
2
~?
2（n?
1），且
x?
?
?
/n
与
nsn
?
2
相互独立。
由t分布的定义，则
2nsn
?
/~t（n?
1）。
t?
2
sn/n?
1?
/n（n?
1）?
x?
?
x?
?
1.15设（x1,x2,?
xm）是来自正态总体（y1,y2,?
yn）是来自正态总体
2
n（?
1,?
1）
2
的一个样本，
和
n（?
2,?
2）的一个样本，且x1,x2,?
xm
y1,y2,?
yn相互独立，则
（x?
y）?
（?
1?
?
2）
?
21
m
?
?
22
~n（0,1）。
n
证明因为（x1,x2,?
xm）是来自正态总体（y1,y2,?
yn）是来自正态总体
2?
2
n（?
1,?
1）
2
的一个样本，
n（?
2,?
2）的一个样本，所以x~n（?
1,
2
?
12
m
），
y~n（?
2,
性定理知
n
）。
又因为x1,x2,?
xm和y1,y2,?
yn相互独立，再由正态分布的可加
x?
y~n（?
1?
?
2,从而
?
12
m
?
2?
2
n
），
（x?
y）?
（?
1?
?
2）
?
21
m
?
?
22
~n（0,1）。
n
1.16设（x1,x2,?
xm）是来自正态总体（y1,y2,?
yn）是来自正态总体
n（?
1,?
2）
的一个样本，
和
n（?
2,?
2）的一个样本，且x1,x2,?
xm
y1,y2,?
yn相互独立，则
t?
（x?
y）?
（?
1?
?
2）mn（m?
n?
2）
~t（m?
n?
2）。
22m?
nms1?
ns2
1m1n1n1m222
其中s?
?
（xi?
x），x?
?
xi；s2?
?
（yi?
y），y?
?
yi。
mi?
1ni?
1ni?
1mi?
1
21
证明由定理2.10知，
ms1
2
?
2
2
~?
（m?
1），
2
ns2
2
?
2
~?
2（n?
1），又x1,x2,?
xm
和y1,y2,?
yn相互独立，由?
的加法定理可得
【篇二：
数理统计习题】
、填空题（本题15分，每题3分）
1、总体x~n（20,3）的容量分别为10，15的两独立样本均值差?
~________；
2
2、设x1,x2,...,x16为取自总体x~n（0,0.52）的一个样本，若已知?
0.01（16）?
32.0,则
p{?
xi2?
8}=________；
i?
1
16
3、设总体x~n（?
?
2），若?
和?
2均未知，n为样本容量，总体均值?
的置信水平为
1?
?
的置信区间为（x?
?
x?
?
），则?
的值为________；
4、设x1,x2,...,xn为取自总体x~n（?
?
2）的一个样本，对于给定的显著性水平?
，已知关于?
2检验的拒绝域为?
2≤?
12?
?
（n?
1），则相应的备择假设h1为________；
?
2已知，5、设总体x~n（?
?
2），在显著性水平0.05下，检验假设h0:
?
?
?
0,h1:
?
?
?
0，
拒绝域是________。
1、n（0）；2、0.01；3、t?
（n?
1）
2
1
2
sn
2
；4、?
2?
?
0；5、z?
?
z0.05。
二、选择题（本题15分，每题3分）
1、设x1,x2,x3是取自总体x的一个样本，?
是未知参数，以下函数是统计量的为（
）。
13
（a）?
（x1?
x2?
x3）（b）x1?
x2?
x3（c）x1x2x3（d）?
（xi?
?
）2
3i?
1?
2、设x1,x2,.,
2?
xn为取自总体x~n（?
?
）的样本，x为样本均值，sn
1
2
1n
（xi?
）2，?
ni?
1
则服从自由度为n?
1的t分布的统计量为（）。
（a）
n?
1（x?
?
）n（x?
?
）n（x?
?
）n?
1（x?
?
）
（b）（c）（d）
?
?
snsn
2
2
1n
（xi?
x）2,3、设x1,x2,?
xn是来自总体的样本，d（x）?
?
存在，s?
?
n?
1i?
1
则（）。
（a）s2是?
2的矩估计
（b）s2是?
2的极大似然估计
（c）s2是?
2的无偏估计和相合估计（d）s2作为?
2的估计其优良性与分布有关
22
4、设总体x~n（?
1,?
1）,y~n（?
2,?
2）相互独立，样本容量分别为n1,n2，样本方差分别2222为s12,s2，在显著性水平?
下，检验h0:
?
1的拒绝域为（）。
?
?
2,h1:
?
12?
?
2
（a）
2
s2
s12
2s2
?
f?
（n2?
1,n1?
1）（b）
2s2
s12
2s2
?
f
1?
?
2
（n2?
1,n1?
1）
（c）
s12
?
f?
（n1?
1,n2?
1）（d）
s12
?
f
1?
?
2
（n1?
1,n2?
1）
5、设总体x~n（?
?
2），?
2已知，?
未知，x1,x2,?
xn是来自总体的样本观察值，已知?
的置信水平为0.95的置信区间为（4.71，5.69），则取显著性水平?
?
0.05时，检验假设h0:
?
?
5.0,h1:
?
?
5.0的结果是（）。
（a）不能确定（b）接受h0（c）拒绝h0（d）条件不足无法检验1、b；2、d；3、c；4、a；5、b.
?
2x0?
x?
?
?
三、（本题14分）设随机变量x的概率密度为：
f（x）?
?
?
2，其中未知
其他?
?
0,
参数?
?
0，x1,?
xn是来自x的样本，求
（1）?
的矩估计；
（2）?
的极大似然估计。
解：
（1）e（x）?
?
?
?
xf（x）dx?
?
0
?
?
?
2x
2
x?
?
，
3?
2
2
?
?
?
）?
?
?
，得?
令e（x
（2）似然函数为：
l（xi,?
）?
?
i?
1n
2
33
为参数?
的矩估计量。
2?
2n
2xi
?
2?
2n
0?
xi?
?
（i?
1,2,?
n），?
xi，
i?
1
n
?
?
max{x,x,?
x}。
而l（?
）是?
的单调减少函数，所以?
的极大似然估计量为?
12n
四、（本题14分）设总体x~n（0,?
2），且x1,x2?
x10是样本观察值，样本方差s2?
2，
（1）求?
的置信水平为0.95的置信区间；
（2）已知y?
2
x2
?
2
?
x2?
?
~?
（1），求d?
?
?
3?
的置信?
?
2
22
水平为0.95的置信区间；（?
0。
.975（9）?
2.70，?
0.025（9）?
19.023）
解：
?
1818?
?
，即为（0.9462，6.6667）
（1）?
2的置信水平为0.95的置信区间为?
2；,2?
?
?
（9）?
（9）0.975?
0.025?
?
x2?
1?
x2?
122
?
=?
?
?
（2）d?
；dd[?
（1）]?
2?
?
3?
?
2?
?
2?
?
2
?
?
?
?
?
?
22?
?
x2?
22?
?
，?
?
由于d?
是的单调减少函数，置信区间为?
?
?
3?
?
2?
22?
?
?
?
?
即为（0.3000，2.1137）。
五、（本题10分）设总体x服从参数为?
的指数分布，其中?
?
0未知，x1,?
xn为取自总体x的样本，若已知u?
xi~?
2（2n），求：
?
?
i?
1
2
n
（1）?
的置信水平为1?
?
的单侧置信下限；
（2）某种元件的寿命（单位：
h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16的样本，测得样本均值为5010（h），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90的单侧置信下限。
22（?
0）?
44.985,?
0.05（31.10（32）?
42.585）。
?
?
2n?
2n?
?
?
2解：
（1）?
p?
?
?
?
（2n）?
?
1?
?
?
p?
?
?
2?
?
1?
?
?
?
?
（2n）?
?
?
?
?
?
即?
的单侧置信下限为?
?
2?
16?
50102n；
（2）?
?
3764.706。
2
42.585?
?
（2n）
六、（本题14分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油的浓度x~n（10,1），今阶段性抽取10个水样，测得平均浓度为10.8（mg/l），标准差为1.2（mg/l），问该工厂生产是
22否正常？
（?
?
0.05,t0.025（9）?
2.2622,?
0.025（9）?
19.023,?
0.975（9）?
2.700）
解：
（1）检验假设h0：
?
=1，h1：
?
≠1；取统计量：
?
?
2
2
2
（n?
1）s2
?
2
；
拒绝域为：
?
2≤?
21?
?
2
2222
（n?
1）?
?
0.975（9）=2.70或?
≥?
?
（n?
1）?
?
0.025=19.023，
2
经计算：
?
?
2
（n?
1）s2
2
?
0
9?
1.22?
?
12.96，由于?
2?
12.96?
（2.700,19.023）2，
1
故接受h0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为?
2=1。
?
：
?
?
10，h1?
：
?
?
10；取统计量：
t?
（2）检验假设h0
x?
10s/~t?
（9）；
2
拒绝域为t?
t0.025（9）?
2.2622；?
t?
10.8?
101.2/?
，?
2.10282.2622，所以接受h0
即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（mg/l）。
综上，认为工厂生产正常。
七、（本题10分）设x1,x2,x3,x4为取自总体x~n（?
42）的样本，对假设检验问题
（1）在显著性水平0.05下求拒绝域；
（2）若?
=6，求上述检验所犯h0:
?
?
5,h1:
?
?
5，的第二类错误的概率?
。
解：
（1）拒绝域为z?
?
54/4
?
?
5
?
z0.025?
1.96;2
（2）由
（1）解得接受域为（1.08，8.92），当?
=6时，接受h0的概率为
?
?
p{1.08?
?
8.92}?
?
?
?
8.92?
6?
?
1.08?
6?
?
?
?
?
?
?
0.921。
2?
2?
?
?
八、（本题8分）设随机变量x服从自由度为（m,n）的f分布，
（1）证明：
随机变量自由度为（n,m）的f分布；
（2）若m?
n，且p{x?
?
}?
0.05，求p{x?
证明：
因为x~f（m,n）,由f分布的定义可令x?
与v相互独立，所以
1
服从x
1
?
的值。
u/m
，其中u~?
2（m）,v~?
2（n），uv/n
1v/n?
~f（n,m）。
xu/m11
当m?
n时，x与服从自由度为（n,n）的f分布，故有p{x?
?
}?
p{x?
，
x?
111
从而p{x?
?
p{?
?
}?
1?
p?
?
}?
1?
p{x?
?
}?
1?
0.05?
0.95。
?
xx
数理统计试卷参考答案
一、填空题（本题15分，每题3分）1、n（0）；2、0.01；3、t?
（n?
1）
2
12
sn
2
；4、?
2?
?
0；5、z?
?
z0.05。
二、选择题（本题15分，每题3分）1、b；2、d；3、c；4、a；5、b.
三、（本题14分）解：
（1）e（x）?
?
?
?
xf（x）dx?
?
0
?
?
?
2x
2
x?
?
，
3?
2
2
?
?
?
）?
?
?
，得?
令e（x
（2）似然函数为：
l（xi,?
）?
?
i?
1n
2
33
为参数?
的矩估计量。
2?
2n
2xi
?
2?
2n
0?
xi?
?
（i?
1,2,?
n），?
xi，
i?
1
n
?
?
max{x,x,?
x}。
而l（?
）是?
的单调减少函数，所以?
的极大似然估计量为?
12n
【篇三：
数理统计部分经典习题答案】
class=txt>p33思考练习
1题
（1）p（a）=c1095
c28
5?
c95c10?
0.584
（2）p（b）?
10
?
0.070100c100
3题
（1）5题设a-甲反应罐需要照顾b-乙反应罐需要照顾a,b两个事件相互独立
?
6题
（1）p（ab）?
p（b）?
p（b）?
0.09
（2）p（ba）?
p（ab）
p（a）
?
0.45（3）p（）?
p（b）?
p（b）?
0.3*0.7?
0.21（4）p（?
b）?
p（）?
p（b）?
p（）?
0.89
7题（贝叶斯公式）设ai?
飞机由i个人射中（i=1,2,3）b-飞机被击落ci-第i个射击手射中飞机i=1,2,3（c1,c2,c3相互独立）a1?
c123?
1c23?
12c3a2?
1c2c3?
c12c3?
c1c23a3?
c1c2c3
p（a1）?
p（c123?
1c23?
12c3）
?
p（c123）?
p（1c23）?
p（12c3）（不相容事件加法）=p（c1）p
（2）p（3）?
p
（1）p（c2）p（3）?
p
（1）p
（2）p（c3（独立））?
0.4*0.4*0.3?
0.6*0.6*0.3?
0.6*0.4*0.7?
0.324p（a2）?
p（1c2c3?
c12c3?
c1c23）?
0.436p（a3）?
p（c1c2c3）?
p（c1）p（c2）p（c3）?
0.168a1,a2,a3组成互斥完备群，由题意得p（ba1）?
0.2p（ba2）?
0.6，p（ba3）?
1.0p（ap（a3b）p（a3）?
p（ba3）3b）?
p（b）?
p（a?
0.168
?
0.333i）?
p（bai）0.0648?
0.2616?
0.168
13题
（1）?
+?
11
-?
f（x）=1?
?
+1
-1
f（x）=1?
c?
arcsinx?
1
?
1?
c?
?
（2）p（?
0.5?
x?
0.5）?
?
+0.5
f（x）=
1-0.5
?
（?
3
）?
1/31
（1）p（ab）=p（a）*p（b）=0.1*0.2=0.02
p59?
?
思考练习
一选择1~5dＢＤcc6~10debbe二简答（略）三计算
2题933名正常人转氨酶的频数分布显示呈偏态分布
（1）偏态分布平均数选择中位数转氨酶人数累计频数累计频率
0~76760.081（首次超过5%）20~1982740.294（首次超过25%）40~2415150.552（首次超过50%）60~1666810.730
80~1448250.884（首次超过75%）100~628870.951（首次超过95%）120~349210.987140~160129331.000px?
l?
i?
（n?
x%?
fl）
fx
中位数p（933?
50%?
274）
50?
40?
20?
241?
56.0
x
（2）下四分位数p（933?
25%?
76）
25?
20?
20?
198
?
35.9
上四分位数p75?
80?
20?
（933?
75%?
681）
144
?
82.6
四分位数间距?
p75?
p25?
46.7
（3）偏态分布的90%参考值范围：
（p5，p95）p（933?
5%?
0）
5?
0?
20?
76
?
12.3
p?
（933?
95%?
825）
95?
100?
2062
?
119.8
90%参考值范围:
（12.3,119.8）p62题5统计图：
直条图
2
p79~80
一，选择1~5cebcb二，略三，计算题
总体均数1-?
的可信区间（x?
t?
（n?
x?
t?
（n?
2
2
本题：
x?
4.5,s?
0.61，n=100,?
=0.05，（4.38,4.62）（mol/l）总体方差1-?
的可信区间（（n?
1）s2（n?
1）s2
?
2（n?
1）,?
2）
?
1?
?
（n?
1）
2
2
?
2（99）?
129.56，
?
21?
1）?
74.22，（0.28，0.50）（mol/l）20.052
?
?
（n2
p100~101
一．选择题1~5caＣeＥ三计算题
1.属单样本t检验（提供了一组高原地区居民样本）1）h:
?
?
155,h:
?
?
155,?
01
?
0.05
2）计算t?
?
4.8,?
?
143
3）查表t0.05（143）?
z0.05?
1.64,p?
0.05,拒绝h0,可以认为高原地区居民血红蛋白高于一般人2.属配对两样本t检验（同一组患者术前术后自身配对）1）h0:
?
d?
0,h1:
?
d?
0,?
?
0.05
2）计算t?
?
?
1.33,?
?
n?
1?
11
3）查表t0.025（11）?
2.201,p?
0.05,接受h0,可以认为胃溃疡患者手术
前后体重没有发生变化.
3
3.属两独立样本t检验
方差齐性检验h2220:
?
1?
?
2,h1:
?
1?
?
22,?
?
0.10
s2计算f?
1s2?
2.10?
3,可以认为两总体方差相等,2作方差齐性条件下两独立样本t检验
1）h0:
?
1?
?
2,h1:
?
1?
?
2,?
?
0.052）计算t?
1?
2
?
6.68,?
?
n1?
sn2?
2?
22
1?
23）查表t0.025（22）?
2.074p?
0.05,拒绝h0,可以认为患者与健康人血清转铁
蛋白含量有差异.p118~119思考练习
一.最佳选择题1~7bccddaa
计算题1
完全随机设计方差分析首先,方差齐性验证
h20:
?
1?
?
22?
?
23,h1:
?
21,?
222?
3不全相等
?
?
0.10
计算?
2?
2.067,?
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