概率论模拟题3.docx
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概率论模拟题3
上海金融学院
_概率论与数理统计（理工）模拟题六
课程代码：
13330075_考试形式：
闭卷时间:
120分钟考试时只能使用简单计算器（无存储功能）
试题纸
一、单项选择题（共5题，每题2分，共计10分）
1．对于任意两个事件A和B，则P（AB）。
A．P（A）P（AB）B．P（A）P（B）P（AB）
C.P（A）P（B）D.P（A）P（B）P（AB）
2.设事件A{甲种产品畅销,乙种产品滞销},则A的对立事件为。
A．甲种产品滞销,乙种产品畅销；B．甲种产品滞销或者乙种产品畅销；
C.甲种产品滞销；D.甲、乙两种产品均畅销。
3.
设事件A,B
相互独立，则
。
A．P（AB）
1B．P（AB）=0C．P（AB）P（A）P（B）
D．P（AB）0
4.
设X1,X2,
Xn（n1）是来自总体X（,
2）的一个样本，
未知，则下面的式子
不是统计量的是
。
1
A.
n1
n
n
1
n
（XiX）2
B.
X1C.
Xi2
D.
Xik
i1
i1
n
1i1
5.设总体X的k
阶矩k
E（Xk）已知，又设X1,X2,
Xn（n1）是来自总体X的一
个样本，期望值
已知，则下列估计量中，唯有
是k的无偏估计。
1
n
1
n
A.
Xik
B.
1i
（Xi
）2
n
1i1
n
1
C.1
n
Xik
D.
1
n
（Xi
）2
ni
1
n1i1
二、填空题（共10个空，每空2分，共计20分）
1.随机变量X的分布律为PXk2c,（k2,4），则c。
k1
2.若XN（0,1）,（x），（x）分别表示它的概率密度函数、分布函数，则
（0）=
；（0）
；P{X
0}
。
3.若随机变量X的分布律为P{X
k}
3ke3
k0,1,2,
则
k!
E（X）
;
D（X）
。
4.若X
N（1,12）,YN（
2,22）且X，Y相互独立，Z
XY，则
E（Z）
；D（Z）
。
5.设X1,X2,,Xn（n1）是来自正态总体N（0,1）的一个样本，X为样本均值，则
E（nX）；D（nX）。
三、解答题（共9题，第1，2，6，8题各5分，其余每题10分，共计70分）
1.（5
分）
观察某地区未来
5
天的天气情况,
记Ai为事件:
“有i天不下雨”,
已知（
）
（
A0
）,
i1,2,3,4,5.
求下列各事件的概率
:
PAi
iP
（1）5天均下雨;
（2）
至少一天不下雨
2.（5分）某工厂一个班共有男工7人、女工4人，现要选出3个代表，问选的3个代表中至少有1个女工的概率是多少？
3.（10分）一道单项选择题，列有4个答案，学生A知道正确答案的概率为p，
而乱猜的概率为1p。
设他乱猜而答对的概率为
1，求
4
（1）学生A答对的概率；
（2）如果他答对了，而他确实知道正确答案的概率。
4.（10分）已知随机变量X的概率密度为f（x）ae|x|，0，x。
求系数a和分布函数F（x）。
5.（10分）随机变量X的概率密度函数为
2xe
x,x
0,
，
fX（x）
x
（0）
0,
0
而随机变量Y在（0,X）内服从均匀分布。
求：
（1）X,Y的联合概率密度函数
f（x,y）；
（2）关于Y的边缘概率密度函数fY（y）。
6.（5分）设（X,Y）具有概率密度
12xy,0yx2,0x1,
f（x,y）
0,其它，
求Cov（X,Y）。
7.（10分）将n只球（1n号）随机地放进n个盒子（1n号）中去，一个盒子装一只球。
若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对。
记X为总的配对数，求E（X）。
8.（5分）某市保险公司开办“重大人参意外伤害”（以下简称“大伤”）保险业务。
被保险人每年向保险公司交保险金120元。
若被保险人在一年内发生了（一次或多次）“大伤”，本人或其家属可从保险公司获得一次（仅一次）3万元的赔偿金。
该市历年发生“大伤”的概率为0.0003，且该市现有9万人参加此项保险。
求保险公
司在一年内，从此项业务中至少获得954万元收益的概率。
（（2.90）0.9981）。
2xe
x,x
0,
，
9.（10分）设总体X的概率密度函数为f（x;）
x
0
0,
0,
X1,X2,
Xn是来自X的一个样本，x1,x2,
xn是样本X1,X2,
Xn的一样本值。
求：
参数
的矩估计量及最大似然估计量。
上海金融学院
_概率论与数理统计（理工）模拟题六
课程代码：
13330075_考试形式：
闭卷时间:
120分钟考试时只能使用简单计算器（无存储功能）
__________专业_________班姓名__________学号_______座位号
题次
应得分
实得分
阅卷教
师签名
答题纸
一二三四五六七八九十总分
102070100
得分
一、选择题（共5题，每题2分，共计10分）
1．；2．；3．；4．；5．。
得
分
二、填空题（共10个空，每空2分，共计20分）
1．；2.
，
，
；
3.，；4.，；5.，。
得分
三、解答题（共9题，第1，2，6，8题各5分，其余每题10分，共计70分）
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
上海金融学院
_概率论与数理统计（理工）模拟题六
课程代码：
13330075_考试形式：
闭卷时间:
120
分钟
注：
本课程所用教材，教材名：
_概率论与数理统计
主编：
_盛骤，谢式千，潘承毅__出版社：
高等教育出版社
__
版次：
第四版____
答案及评分标准
一、选择题（共5题，每题2分，共计10分）
1．A；2．B；3．C；4．C；5．C
二、填空题（共10个空，每空2分，共计20分）
1．3；
2.
（0）
1
（0）
1,P{X
0}
1；
8
2
2
2
3.3,3
；4.
2,
2
2
；5.0
，n。
1
1
2
三、解答题（共9题，第1，2，6，8题各5分，其余每题10分，共计70分）
1.（5
分）解：
显然
A0,A1,L
A5是两两不相容事件且A0A1L
A5S,
故
5
5
1P（S）P（A0
A1
L
A5）
P（Ai）P（A0）P（Ai）
i0
i1
5
1,P（Ai）
i
P（A0）
iP（A0）
16P（A0）,
于是P（A0）
i1
16
16
,,,,
（1
分）
记上面的三个事件分别为
A,B,
则
P（A）
P（A0）
1
,,,,,,,,,,,,,
（2
分）
5
16
15
,,,,,,,,
（2
分）
P（B）P（
A）1
P（A）
i
0
16
i
1
2.（5分）解：
设事件A={3个代表中至少有一个女工}，则A={3个代表全为男
工}。
（1
分）
因为P（A）
C73
7，
,,,,,,,,,,,,,,,,,
（2分）
C113
33
所以P（A）1P（A）1726。
,,,,,,,,,,,（2分）
3333
3.（10分）解：
记A={学生A知道正确答案}，则A={学生A不知道正确答案}={乱猜答案}，又记B={学生A答对}，
则
P（B|
A）
1,
P
（B
|A1）。
,,,,
（2
分）
4
（1）根据全概率公式得
P（B）
PA（P）B（A|
P）
AP（B）A（|
）
p1
（1p
1
3p
1
,,,,
（4
分）
）
4
4
（2）根据贝叶斯公式
P（A|B）
P（A）P（B|A）
p1
4p
（4分）
P（B）
3p
1
3p
1
4
4.（10分）解：
由1
f（x）dx
ae
|x|dx
2
aexdx
2a可得a
。
0
2
（3分）
故f（x）
e|x|，
0，
x
。
2
由于F（x）
x
,,,,,,
（2
分）
f（x）dx，
当x
0时，F（x）
x
x
etdt
1ex；
,,,
（2
分）
f（t）dt
2
2
当x
0时，F（x）
x
0
etdt
x
etdt1
1e
x。
,
（2分）
f（t）dt
2
0
2
2
所以，
1ex,
x
0,
F（x）
2
,,,,,
（1
分）
1e
1
x,
x
0.
2
5.（10分）解：
（1）因为在Xx（x0）的条件下，Y在（0,x）内服从均匀分布，所以，
1
fY|X（y|Xx）x,
0yx,,,,,,,（
1分）
0,
其他.
因此，可用公式
当x0或
当x0且
fX（x）fY|X（y|x）f（x,y）求f（x,y）。
,（1分）
y
0
时，显然f（x,y）
0；,,,,（
1分）,（1分）
y
0
时，
f（x,y）fX（x）fY|X（y|x）
2
xe
x
1,0yx,
2ex,0yx,,（2分）
x
0,
其他.
0,
其他.
因此，X,Y的联合概率密度为
f（x,y）
2e
x,
0
y
x,,,,,,,,,
（
1分）
0,
其他.
（2）fY（y）f（x,y）dx
2e
xdx,
y
0,e
y,y
0,
y
（4分）
0,
y
0
0,
y
0
6.（5分）解：
E（X）
1
x2
1
6
xf（x,y）dxdy
dx12x2ydy
6x6dx
0
0
0
7
（1分）
E（Y）
1
x2
1
,,,,
（
1分）
dx
12xy2dy
0
0
2
E（XY）
xyf（x,y）dxdy
1
x2
4
,,,,
1分）
dx
12x2y2dy
（
0
0
9
4
6
1
1
（
2分）
Cov（X,Y）E（XY）E（X）E（Y）
7
2
,,,,
9
63
7.（10分）解：
引入随机变量
X
1,
若第i号球装入第i号盒子中，
1,2,
n.,,（
2分）
，若第
号球未装入第
i
i
i
i
号盒子中，
0
则总的配对数X可表示成
X
X1
X2
Xn。
,,,,,
（
1分）
显然，P{Xi1}
1，P{Xi
0}
n1，i1,2,
n。
,（
2分）
n
n
因此，E{Xi}
1，i
1,2,
n，
,,,,,,
（
2分）
n
于是
E（X）E（X1
X2
Xn）
,,,,
（
3分）
E（X1）E（X2）
E（Xn）1
8.（5分）解：
设9
万名被保险人在一年内获得赔偿金的人数为
X，则
X~b（90000,
0.0003）
,,,,,
（1分）
保险公司一年内从此项业务得到的收益为
0.012
90000
3X
1080
3X（万元）
依题意，应求概率为
P{10803X954}PX42,,,,,,
（1分）
由棣莫弗-拉普拉斯定理得
PX42P
X900000.0003
4290000
0.0003
0.0003
0.9997
90000
0.0003
0.9997
90000
42
27
）（2.90）0.9981
（
26.9919
,,,,,
（2分）
即保险公司一年内从此项业务中至少获得收益954万元的概率达到0.9981.
,,,,,
（1分）
9.（10分）解：
（1）由于
E（X）
2x2exdx
x2exd（x）
0
0
x2de
x
0
,,,
（3分）
x2ex|0
[
0
2xdx]
2
2xe
xdx
2
0
即E（X）
2。
由此得
2
。
于是有据估计法得
E（X）
2
,,,,,,（2分）
X
（2）似然函数为
n
2xiexi
L（）
L（x1,x2,
xn;）
i1
（3分）
n
n
xi
2n（
xi）ei1
xi0,i1,2,,n
i1
n
n
lnL（）
2nL（
）
lnxi
xi.
i1
i
1
dlnL（
）
2n
n
xi.
i1
令2n
n
xi
0
，得到
的最大似然估计量为
i
1
2
,,,,,,
（2分）
X
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