房价问题数学建模.docx
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房价问题数学建模
1、问题重述
房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。
我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。
请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。
这里主要讨论分析了以下四个问题：
问题一：
通过对北京、重庆的一些影响房价的因素数据收集、处理、总结、分析来讨论近几年来其房价的合理性。
问题二：
通过对北京、重庆近些年来房价合理性的分析结果进而对未来三年这些地区的房价趋势进行比较合理的预估。
问题三：
根据以上分析结果进一步讨论使房价合理的具体措施以及对经济发展的影响。
2、符号说明
I：
固定资产投资（亿元）；
INC：
重庆市人均可支配收入（元）；
JQC：
国家房地产景气指数；
R：
利率（%）；
RRE：
理想房价（元/平方米）；
RE:
实际房价（元/平方米）；
LOG：
对以上符号取对数；
C：
函数中的常量；
N:
年限；
K1，K2,K3，K4：
关系函数常量；
A：
建筑材料成本；
B：
土地成本；
C：
利率；
GDP：
人均收入；
L：
利润；
T：
投机商投机所得；
K4、K5、K6、K7：
关系函数。
3、基本假设
问题一假设：
假设1、房价的理想价格只固定资产投资（I），重庆市人均可支配收入（INC），国家房地产景气指数（JQC），利率（R）等四个因素有关；
假设2、在一段时间内国家房地产景气指数（JQC），利率（R）保持不变；
假设3、各地的房价不受政府等外界环境和人员的干扰；
假设4、各个数据在一段时间内的波动在一定范围内是合理的。
问题二假设：
假设1：
选取的数据是北京市、重庆市2000-2010年平均房价；
假设2：
所取数据不考虑政策等各种人为因素的干扰；
假设3：
数据的波动属于合理的范围内；
假设4：
只讨论与之相关的主要因素，其他次要因素暂不分析。
问题三假设：
假设1：
房地商利润所得恒定；
假设2：
投机商投机所得也恒定；
假设3：
居民对房价有一定的容忍度，设为容差；
假设4：
供求平衡；
假设5：
忽略其他微小因素影响。
4、问题分析
一个国家各个地市房价的形成和变化过程，是有许多因素决定的，影响房价的主要因素很多，诸如建筑成本、供求比例、经济发展、居民收入变动情况、居民的居住水平和居住结构情况等等，而在分析研究我国国情的前提下，建筑成本，居民收入等与房价密切相关的因素尤其对房价是否合理和房价的未来趋势等老百姓关注的相关问题起着极为重要的作用。
综合考虑以上相关因素，这成为构建我国房价为题模型的关键。
问题一分析：
本问使要求我们通过分析相关数据，总结出大致影响房价的几个主要因素，然后根据这些因素建立一个城市房价的数学模型。
进而通过对数据、图形的细致而具体的分析房价的合理性。
针对这个问题，我们利用一些图书资料和网上的相关资源，查找个主要因素之间的影响变化关系，确定变量，从而建立模型求解。
我们可以确定房地产业迅速发展的关键是社会经济的各项指标综合决定的，而社会经济发展的一些指标一直推动房地产发展。
因此，我们分析的相关的一些数据是那些对房地产业有较大影响的经济指标。
对于该问题，通过查阅相关资料并根据已有的数据，确定重庆市房地产价格合理性主要因素为：
经济形势（由固定资产投资I表示），人民生活水平（由重庆市人均可支配收入INC表示），消费者对房地产价格的预期（由国家房地产景气指数JQC表示），实际利率（由R表示），共四个可量化的因素影响。
通过这四个因素，我们通过建立相应模型——经济学中合理价格的模型，最终求的重庆市房地产合理价格（RRE）。
通过对比分析重庆实际房价与理想房价，进而可以得出重庆市近几年房价的合理性。
对于北京近几年房价的合理性可以用同样的模型分析出来的公式数据计算得出。
问题二分析：
本问是对房价的走势进行估计和预测。
房地产价格的高低涉及社会生活中多
方面的经济利益,也是百姓生活中关注比较多､比较重要的问题之一｡较为准确地
预测未来房地产的销售价格,对社会经济发展和人民生活极其重要,可以为经济
决策提供参考,故其研究意义相当重大｡首先，我们根据题目提示，我们需要确定
的是具体研究中国不同座城市的房价情况。
然后再继续考虑接下来的数据挖掘等步骤。
针对本问，我们一定要具备的资料就是该城市的历年房价的真实数据，从而才能真正意义上的通过建立模型、求解，拟算出下一阶段该城市的房价走势。
经分析可以知道，本问与上一个的问题模型的具体分析，据大量学者的经验表明，该回归分析模型可以提高预测精度。
回归分析模型：
在实际问题中，自变量的个数有好几个，随机变量y随多个变量而改变。
在讨论房价问题中，房价受好几个变量影响，所以可以先分别讨论各个因素与房价的关系式，然后综合各个变量与房价的关系，可以推出关系式
LOGRRE=47.64+10.99K1*N+1.76K2*N+1.88K3*N-1.34K4*N
问题三分析：
本问是针对前两问的数据图像具体分析研究从而对比较合理的房价做出相应具体的措施。
由于影响房价的因素有许多种，而我们讨论的是关键因素，即建筑成本，土地价格等与房地产本身有关的因素以及人们生活水平即收入状况，人均JDP的变化来综合考虑如何使房价合理，根据这几个变量，结合上面的回归分析模型来调节具体系数且将搜集到的数据与时间建立一个坐标关系，便可以很直观的从波动上看出房价的变化，来分析对比从而得到较为合理的方案使问题解决。
5、模型建立及求解
问题一模型的建立与求解
由于经济增长形势越好，房地产价格上涨的可能性就越大；人均可支配收入的增加代表了人民生活水平的提高，可支配收入的增加将使得居民用来购房的资金有所增加，同时也使有了改善居住水平的愿望，这样就刺激了对房地产的需求，从而在一定程度上推动了房地产价格的上涨；因此房地产价格水平与固定资产投资以及人均可支配收入均成正比。
房地产行业的景气程度也会影响消费者的预期，在房地产行业景气时期，消费者会预期房价会进一步上涨，为了不愿在将来支付更多的货币来购买同样的商品房，那样会有更多的消费者掀起购买，这样对房地产的需求也会进一步提高，而在房地产行业不景气时，消费者则会产生相反的预期，这样会使得对房地产的需求减少。
因此用国家房地产行业景气指数能一定程度的反映房地产价格的走势。
另一方面，利率的高低决定了房地产商的融资成本，贷款利率降低，开发商就能以较低的成本获得资本，因此利率与房地产价格成负相关关系。
这里的利率是实际利率，即名义利率（长期商业贷款利率）-通货膨胀率。
因此可以推导出如下结论：
其中，等式上方的正负号是解释变量一阶偏导的符号，表示固定资产投资（I），重庆市人均可支配收入（INC），国家房地产景气指数（JQC）升高时，房地产价格会上升，而利率（R）的增高将会使房地产价格下降。
根据计量经济学的原理，通过研究房地产价格的对数时序，固定投资资产的对数时序，人均可支配收入的对数时序，国家房地产景气指数的对数时序，实际利率的对数时序的协整关系分析，可以得出理想房地产价格的计算公式。
对变量数据取对数后虽然和原数据不同，但并不改变原数据的本质特征，可以方便平稳性检验。
研究步骤是进行先单位根检验（即平整性检验），然后进行协整关系检验（一阶整形序列才能进行协整关系检验）。
（一）平稳性检验
采取ADF（AugmentedDickey-Fuller）检验。
检验主要采用计量经济学软件EViews5.0进行检验。
检验的结果如下：
各变量的ADF检验结果
变量
ADF检验量
10%临界值
稳定性分析
LOGI
1.51
-2.74
不稳定
d（LOGI）
-2.92
-2.77
稳定
LOGINC
0.5
-2.74
不稳定
d（LOGINC）
-3.82
-2.8
稳定
LOGJQC
-2.12
-2.74
不稳定
d（LOGJQC）
-3.13
-2.77
稳定
R
-0.93
-2.74
不稳定
d（R）
-3.77
-2.77
稳定
注：
当ADF检验量大于10%临界值时，时间序列不稳定，当ADF检验量小于10%值时，时间序列稳定
上述ADF检验结果可以看出，LOGRRE,LOGINC,LOGI,LOGJQC,R都是一阶整形序列，即原序列不平稳，一阶后的序列是平稳的。
另外，需要进行协整检验。
（二）协整检验
在重庆房地产合理价格的实证测算中，由于所研究的是多变量的协整关系，样本数据为1998年到2008年的年度数据，因此可以Johansen极大似然估计法来进行协整同样采用Eviews软件，检验的结果如下：
Johansen极大似然估计结果
特征值
似然比
5%的临界值
1%的临界值
协整方程个数假定
0.403533
72.35757
68.52
76.07
None*
0.398254
47.55443
47.21
54.46
Atmost1*
0.228834
23.17426
29.68
65.65
Atmost2
0.139586
10.70140
15.41
20.04
Atmost3
0.070031
3.484984
3.76
6.65
Atmost4
未标准化的协整系数
LOGRRE
LOGI
LOGINC
LOGJQC
R
-1.864662
-20.50533
-3.287043
-3.500262
2.506646
19.72653
6.946780
0.947725
3.891773
-41.10147
33.81152
-3.070157
-3.008774
-2.330088
1.772224
3.688203
2.428771
2.636872
12.68990
-2.654376
-2.952050
-3.983180
-0.905584
-6.251163
0.026569
标准化的协整系数：
一个协整方程
LOGRRE
LOGI
LOGINC
LOPGJQC
R
C
1.000000
10.99681
（41.3914）
1.762809
（6.38268）
1.877156
（7.52247）
-1.344290
（7.77405）
47.64048
Loglikelihood
817.9977
Johansen极大似然估计的检验结果表明：
LOGRRE与LOGINC,LOGI,LOGJQC以及R之间存在着协整关系，协整方程为：
LOGRRE=47.64+10.99LOGI+1.76LOGINC+1.88LOGJQC-1.34R.
通过这个协整方程就可以得到理想合理价格与各经济要素的定量关系。
将理想合理价格与实际房地产价格对比：
年份
实际房价
实际房价（LOGRE）
理想房价（LOGRRE）
1998
1806
3.2567177646
3.28E+00
1999
1997
3.300378065
3.32E+00
2000
2063
3.314499228
3.33E+00
2001
2291
3.360025089
3.36E+00
2002
2449
3.388988785
3.37E+00
2003
2652
3.42357352
3.41E+00
2004
2759
3.4407517
3.45E+00
2005
3005.7
3.477945631
3.46E+00
2006
3383
3.529301998
3.49E+00
2007
3791.7
3.578833969
3.58E+00
2008
3882.4
3.589100278
3.60E+00
注：
实际房价LOGRE是指对实际房价取10为底的对数
表.实际房价（LOGRE）与理想房价（LOGRRE）
通过实际房价与理想房价的对比，可以看得出重庆的实际房价与理想房价非常接近，因此重庆的房价基本合理。
模型的分析
合理价格的理想模型是首先通过筛选，选出影响合理价格的关键因素：
固定资产投资I，重庆市人均可支配收入INC,国家房地产景气指数JQC，实际利率R共四个可量化的因素影响。
通过平整性分析以及协整分析得到协整方程：
LOGRRE=47.64+10.99LOGI+1.76LOGINC+1.88LOGJQC-1.34R
最后，我们通过作图得出了重庆市房价基本合理的结论。
下面使用同样的模型方法对北京市房价的合理性做出的图表分析：
年份
实际房价
实际房价（LOGRE）
理想房价（LOGRRE）
2000
4455
3.648847708
3.63E+00
2001
5966
3.775689249
3.75E+00
2002
7510
3.875639937
3.88E+00
2003
9070
3.957607287
3.94E+00
2004
9931
3.996992982
4.00E+00
2005
10748
4.031327658
4.01E+00
2006
12480
4.096214585
4.04E+00
2007
13460
4.12904506
4.06E+00
2008
13860
4.14176323
4.09E+00
2009
16658
4.270865089
4.14E+00
2010
20480
4.370698093
3.60E+00
通过实际房价与理想房价的对比，可以看得出北京在2000到2008年实际房价和理想房价较为接近，此段时间内北京地区的房价基本合理，但是从2008年后尤其是2009年，北京房价受国内及国外一些因素的影响实际房价和理想房价差别较大，实际房价远高于理想房价，故此这段时期内其房价不合理。
模型的优缺点及推广
针对重庆房地产行业现状，参照了经济学中合理价格的模型并成功进行了运用，同时，EViews统计软件的使用也大大通提高了统计效率，最终得到的协整方程对合理价格进行了定量描述，并且由此证明重庆房地产价格基本合理。
运用同样的模型原理描述北京房价的状况表明其房价不太合理。
但本模型也存在一些缺点，在进行平稳性分析时，显著性水平仅仅是10%，因此很有可能仅仅在2000年到2010年之间合理价格的理想模型成立，在以后的年代中有可能与实际不太吻合。
这需要我们在将来进一步改进模型，提高模型的显著性水平。
问题二的模型建立与求解：
根据问题一中各变量的ADF检验结果：
变量
ADF检验量
10%临界值
稳定性分析
LOGI
1.51
-2.74
不稳定
d（LOGI）
-2.92
-2.77
稳定
LOGINC
0.5
-2.74
不稳定
d（LOGINC）
-3.82
-2.8
稳定
LOGJQC
-2.12
-2.74
不稳定
d（LOGJQC）
-3.13
-2.77
稳定
R
-0.93
-2.74
不稳定
d（R）
-3.77
-2.77
稳定
由上表可以看出：
LOGI=K1*N;
LOGINC=K2*N;
LOGJQC=K3*N;
R=K4*N;
即数据的一阶导数稳定，成线性关系，所以的词表达式。
有表格可推知K1,K2,K3,K4。
而前面推知：
LOGRRE=47.64+10.99LOGI+1.76LOGINC+1.88LOGJQC-1.34R
将上述数据公式带入可得到预测房价公式：
LOGRRE=47.64+10.99K1*N+1.76K2*N+1.88K3*N-1.34K4*N
重庆市RRE、I、INC、JQC、R数据列表
年份
实际房价
固定资产投资（I）/亿元
人均可支配收入（INC）/元
国家房地产景气指数（JQC）
年利率（R）
2000
2063
178
7450
103.4
5.85
2001
2291
237
9503
105.9
5.42
2002
2449
314
10339
104.2
5.31
2003
2652
479
11316
106.2
5.47
2004
2759
622
12831
105.16
5.58
2005
3005
881
14373
100.8
5.81
2006
3383
998
16805
103.4
6.12
2007
3792
1554
21336
102.1
7.02
2008
4130
2003
25156
96.6
6.08
2009
4350
2486
28653
103.1
6.32
2010
5052
2930
32514
105.4
6.01
北京市RRE、I、INC、JQC、R数据列表
年份
实际房价
固定资产投资（I）/亿元
人均可支配收入（INC）/元
国家房地产景气指数（JQC）
年利率（R）
2000
4455
1250
10349.7
103.4
5.85
2001
5966
1530
11577.8
105.9
5.42
2002
7510
1854
12463.9
104.2
5.31
2003
9070
2000
13882.6
106.2
5.47
2004
9931
2873
15637.8
105.16
5.58
2005
10748
3371
17653.0
100.8
5.81
2006
12480
2800
19978.0
103.4
6.12
2007
13460
3800
21989.0
102.1
7.02
2008
13860
3500
23140.0
96.6
6.08
2009
16658
4200
26380.0
103.1
6.32
2010
20480
4600
32514.0
105.4
6.01
由以上数据，可以计算出关系函数K1，K2，K3，K4。
代入关系式
（1）求出2011、2012、2013年的房价：
北京
年份（年）
楼房均价（元）
2011
21036
2012
23206
2013
26504
重庆
年份
（年）
楼房均价（元）
2011
6020
2012
7130
2013
8300
所以，我们可以预测出北京、重庆在2011、2012、2013年房价还是会稳步增加。
但二线三线等城市增幅较大城市快,而大城市的增长幅度小。
模型的分析与改进
此类模型是承接经济学的合理价格模型来推算出未来房价的趋势，进而使用回归分析模型综合考虑各个关键因素解决一些具体的数据问题，得出线性关系方程从而合理的预测将来的房价，最后得出北京、重庆未来三年房价稳步增长的趋势，而一线、二线、三线城市的增长速度不一。
由于这个问题是从前一问的基础上改进分析得出，所以如果上个方程有误差，那么这个公式的误差相对而言就会大一些，数据的准确性就会降低，但整体上影响不大，如果多考虑几个因素，加入一些自变量会更加精确。
问题三的模型建立与求解：
可以根据近几年土地价格，GDP，建筑材料成本等走势图（如下图）
由以上可以做出大胆假设：
房价与土地成本，建筑原材料价格呈正比，由此可以算出公式如下：
P=K4*A+K5*B+K6/C+Ｒ＋Ｔ
再假设居民人均收入对房价有一个容忍度，设为容差（K6），则可以推出居民心中的理想房价，由此推出理想房价：
Ｌ＝K7*GDP
在理想房价的一定范围内房价是理想的，设这范围内的函数为X，则
X=P-L
即
X=K4*A+K5*B+K6/C+R+T-P-L
所以由上面式子，我们得到以下结论，并提出合理性措施：
居民收入增加是房价上涨的首要原因。
改革开放以来，我国居民收入大幅度增加，恩格尔系数明显下降，消费结构不断升级，投资能力越来越强。
在住房制度改革的推动下，住房的有效需求得以释放，家庭结构的变化和城镇化的推进又扩大了住房需求。
这是房价保持上涨态势最显而易见的原因。
同时，在缺乏“储蓄—投资”转化渠道的情况下，购置房产是较富裕居民的理性选择，住房投资需求逐渐启动，房价被进一步拉高。
当房价超出与居住需求相符的水平时，投机就会出现，进而导致空置率偏高、租售比倒挂、房价收入比超过国际警戒线等现象。
这样，房价就在消费需求、投资需求、投机需求的共同推动下不断攀升，早买房、买大房的住房消费行为成为居民应对房价快速上涨的选择。
宽松的信贷政策是房价上涨的重要支撑。
我国房地产开发企业自有资本比例低，对银行信贷高度依赖；而银行体系也很看重房地产开发贷款对调整资产结构的作用，并因手持土地抵押物而对房地产开发给予高杠杆支持。
同时，我国住房消费信贷政策非常宽松，银行大都按照央行规定的最大贷款比例和远低于其他类型贷款的利率水平发放个人住房抵押贷款。
可以说，宽松的住房开发贷款和住房消费贷款是促成住房市场产销两旺、房价节节攀升的重要推手。
而且，房价不倒、地价不垮的预期使手持抵押物的银行不仅没有动力落实央行的调控政策，而且会采取各种对策来消化“不利”的调控政策。
“土地财政”是房价上涨的重要原因。
在很多城市，土地出让金是地方财政的重要来源。
在土地财政的激励下，地方政府积极在城市开展“三旧”改造，并最大限度地挖掘农村土地资源。
如果说早期阶段是房价拉高地价，那么，现阶段已是地价推高房价了。
原材料与劳动力成本的增长。
包括土地、钢材、设备、新材料和劳动力成本的增长等都有价格的推动作用。
如果经济增长让收入与价格普遍上涨，同比计算时是否也应考虑这类因素呢?
如人均收入与银行的利率会考虑消费者物价指数的增长率、投资增长中应扣除消费者物价指数的增长部分，那么房价是否也应给以必要的物价调整呢?
房地产投机行为。
可以看出可支配收入对房地产价格没有显著影响，这些城市房地产价格的上升，主要是由投机来推动的，而且整体投机度很高。
通过加入时间变量，房地产投机度变得更高，说明消费者基本上是以外推预期判断价格走
势，即价格预期的形成不仅与过去价格有关，而且受过去价格变动趋势的影响很大。
这是一种非理性预期，它极大地助长了消费者的投机行为，是导致住宅
价格上升的一个不可忽视的因素。
在加入城市级虚拟变量后，房地产投机度显著增加，说明大城市间房地产价格的相互攀比，助长了市场投机行为。
在加24人时间虚拟变量后，我们得出今年房地产投机度大大高于往年，显示出当前房地产价格极大的偏离了市场基础价格。
房地产作为具有多重属性的资产，既是人们安居的必需品，又是各产业发展必须的生产要素。
因此，中国社会经济的发展和繁荣，需要一个健康的房
地产市
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