概率论与数理统计习题册.docx

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概率论与数理统计习题册

第六章样本及抽样分布

'、选择题

1.设X,,X2^,Xn是来自总体X的简单随机样本,则X,,X2^,Xn必然满足（）

A.独立但分布不同；B.分布相同但不相互独立；C独立同分布；D.不能确定

2•下列关于“统计量”的描述中，不正确的是（）.

A•统计量为随机变量B.统计量是样本的函数

C.统计量表达式中不含有参数D•估计量是统计量

3下列关于统计学“四大分布”的判断中，错误的是（）

1

A.若F~F（口，压）,则—~F（n2,nJ

B•若T~t（n）,贝UT2~F（1,n）

C.若X~N（0,1）,则X2~X2

（1）

D•在正态总体下

n

、（Xi」）2

V2~x2（n_1）

cr

4.设Xi,S2表示来自总体N（7,「2

）的容量为ni的样本均值和样本方差（i=1,2），且

两总体相互独立，则下列不正确的是（

寻S2

A.4|2~F（n1-1小2-1）

-1S2

B（X1—壬）-（岂-鳥）

~N（0,1）

C.X1二~t（nJ

S[/••：

n〔

D.

（n-1）S^~x2（n^1）

5.设X1,X2/,Xn是来自总体的样本

，则」

n

（Xj-x）2是（

n-1

）.

A.样本矩

B.二阶原点矩

C.二阶中心矩

D.统计量

6X1,X2/,Xn是来自正态总体N（0,1）的样本,X,S2分别为样本均值与样本方差,则

（）.

A.X~N（0,1）B.nX~N（0,1）C.Xj2~x2（n）D.—~t（n-1）

□S

2

7.给定一组样本观测值

X1,X2，…，X9且得vXi=45}Xi-285,则样本方差

S2

A.7.5

8设X服从t（n）分布,

2065

C.D.

32

P{|X|■}=a，则P{X：

：

：

-}为（）.

B.60

1

A.a

2

B.2a

1

C.a

2

1

D.1a

2

2

9设X1,X2，…,xn是来自正态总体N（0,2）的简单随机样本，若

Y=a（X12X2）2b（X3X4X5）2c（X6X7X8X9）2服从x2分布，

a,b,c的值分别为（

111

A—

■JJ

81216

111

B.,,

201216

111

D.--,-

234

10设随机变量X和Y相互独立，且都服从正态分布

N（0,32），设X1,X2,,X9和

9、Xi丫1,丫2,…，丫9分别是来自两总体的简单随机样本，则统计量U二号服从分布是（

）.

A.t（9）

B.t（8）

C.N（0,81）

D.N（0,9）

】、填空题

1.在数理统计中,

称为样本.

2.我们通常所说的样本称为简单随机样本，它具有的两个特

占

八、、

4.

设随机变量X1,X2，…，Xn相互独立且服从相同的分布，EX」，DXY2,

n_

Xi,则EX=nv

;DX=

（X1,X2，…，X10）是来自总体X~N（0,0.32）的

个样本，

的观测值为（）.

「10

p］瓦Xi2>1.44

5.已知样本Xi，X2,…，乂佗取自正态分布总体N（2,1）,X为样本均值，已知P{X_，}=：

0.5,则•-.

10.6设总体X~N（7；「2）,X是样本均值，Sn是样本方差，n为样本容量，则常用的随

2

机变量（n乎服从分布.

CF

第七章参数估计

'、选择题

1.设总体X~NOV-2），Xi,,Xn为抽取样本，则

1

—V（Xj-X）2是（ni4

（A）J的无偏估计（B）；「2的无偏估计（C）」的矩估计（D）二2的矩估计

2设X在［0，a］上服从均匀分布，a0是未知参数，对于容量为n的样本X-…,Xn，a

的最大似然估计为（）

（A）max{X1,X2,,Xn}

（B）

Xi

（C）max{X1,X2,,Xn}-min{X1,X2,,Xn}

1n

（D）1—vXinim

3设总体分布为N（」，；「2），

J^2为未知参数，则二2的最大似然估计量为（

（A）U（Xj_X）2ni仝

（B）二（Xi-X）2n「1i吕

」）2

4设总体分布为

N（」,；「2）,」已知，则二2的最大似然估计量为（

（A）S2

1n2

（C）—（Xj」）2ni$

n—1^2

（B）Sn

1n

（D）丄^区」）2n-1id

5X1,X2,X3设为来自总体X的样本，下列关于E（X）的无偏估计中，最有效的为（）

（A）

（C）

1/、

（X1X2）

2

1

（X1X2X3）

4

1

（B）（X1X2X3）

3

221

（D）X1X2X3）

333

Xi,X2,,Xn（n_2）是正态

分布N（»；「2）的一个样本，若统计量

nA

22

（Xi1-Xi）为二的无偏估计，则

i4

K的值应该为（

（A）丄（B）—

2n2n—1

1

2n-2

1

（D）-

n—1

7.设二为总体X的未知参数，哥门2是统计量,

宀门2为二的置信度为1-a（0：

：

：

a：

：

：

1）的

置信区间，则下式中不能恒成的是（

A.P{片：

：

v:

:

v2}=1-a

B.

P{v.-2}PQ：

：

刊}=a

C.Pp十2}_1-a

D.

Pp切Pp:

:

:

6}二空

2

8设X~N（」，；「2）且二2未知，若样本容量为

n,且分位数均指定为“上侧分位数”时,

则）的95%的置信区间为（

—C7

A.（XU0.025）

Jn

B.（X_St°.05（n-1））

■vn

S

C.（X二10.025（n））

勺n

S

D.（X二一t°.025（n-1））

Vn

9设X~N（=；「2）,2均未知，当样本容量为n时，匚2的95%的置信区间为（

2

2）

X0.025（n-1）

A（⑴-1）'（n-1）S

X0.975（n—1）

B（（n-1）S2,（n-1）S2）

X0.025（n-1）‘X0.975

C.（4^

t°.025（n-1）

（n-1）S2）

t0.975（n-1）

D.（X±孕怙025（n—1））

Un

】、填空题

1•点估计常用的两种方法是:

2.若X是离散型随机变量，分布律是P{X=x}=P（x；r），（二是待估计参数），则似然函

数是

，X是连续型随机变量，概率密度是f（X；“，则似然函数是

3.设总体X的概率分布列为：

X0

22

Pp2p（1-p）p1-2p

其中p（0：

：

：

p：

：

：

1/2）是未知参数.利用总体X的如下样本值：

1,3,0,2,3,3,1,3

则p的矩估计值为__，极大似然估计值为.

4.设总体X的一个样本如下：

1.70，1.75，1.70，1.65，1.75

则该样本的数学期望E（X）和方差D（X）的矩估计值分别.

5.设总体X的密度函数为:

0■:

x:

:

1

其他

设X1,…,Xn是X的样本,

则•的矩估计量为，最大似然估计量为

2—1

6•假设总体X~N（j；「2），且XXi，X「X2,…，Xn为总体X的一个样本,

ni二

则X是的无偏估计.

2

7设总体X~NC1,；），X「X2,…,Xn为总体X的一个样本，贝帰数k=,使

nk送Xj-X为cr的无偏估计量.

i1

8从一大批电子管中随机抽取100只，抽取的电子管的平均寿命为1000小时，样本均方差为

S=40.设电子管寿命分布未知，以置信度为0.95，则整批电子管平均寿命J的置信区间

为（给定Z°.05=1.645,Z°.025=1.96）.

9设总体X~N（"，二2）,"，二2为未知参数，则’的置信度为1—〉的置信区间为

10某车间生产滚珠，从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布，且直径的方差为

2

:

二=0.04,从某天生产的产品中随机抽取9个，测得直径平均值为15毫米，给定〉=0.05

则滚珠的平均直径的区间估计为.（Z0.05=1.645,Z0.025=1.96）

11.某车间生产滚珠，从某天生产的产品中抽取6个，测得直径为：

14.615.114.914.815.215.1

已知原来直径服从N（J0.06），则该天生产的滚珠直径的置信区间为,

（a=0.05,Z°.05二1*645,Z0.025=1.96）.

12.某矿地矿石含少量元素服从正态分布，现在抽样进行调查，共抽取12个子样算得

S=0.2，则匚的置信区间为（:

.=0.1,2（11）=19.68,2.（11）=4.57）

_1

~2~2

第八章假设检验

一、选择题

1.关于检验的拒绝域W,置信水平：

•，及所谓的“小概率事件”，下列叙述错误的是（）.

A.:

的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述

B•事件｛（X1,X2，…，Xn），W|Ho为真｝即为一个小概率事件

C.设W是样本空间的某个子集，指的是事件｛（X1,X2，…，Xn）|H0为真｝

D.确定恰当的W是任何检验的本质问题

2.设总体X~N（»；「2）f2未知，通过样本X1,X2^,Xn检验假设H。

：

」要采用检验估计量（）.

X-J0X-J0X_」X-1

A.:

~B.:

~C.:

-D.

~/.nS/.nS/n；「/.n

3.样本X1,X2/,Xn来自总体N（~122）,检验H。

：

•乜100,采用统计量（）.

A.

X-100

12/.n

C.

X-100

S/、n-1

D.

22

4设总体X~NC'S）,；「未知，通过样本X1,X2，…,Xn检验假设H。

：

」一‘0,此问题

拒绝域形式为

A.{

X二100

S/.10

C}

B.{X-100:

C}

s/如

X-100

C.{——

S/J10

C}

D.{XC}

5•设X1,X2/,Xn为来自总体N（=32）的样本，对于H。

：

丄=100检验的拒绝域可以形

如（）

A.{X—卩>C}

—X-100—

B.{X—100AC}C.{——>C}D.{X—100VC}

S/Vn

6、

样本来自正态总体

N（',；「2）,」未知要检验H°:

；「2=100,则采用统计量为（

）.

A.

（n-1）S2

B.

（n-1）S2

C.

100

100

D.

nS2

100

7、设总体分布为N（7匚2）,若」已知，则要检验H0:

匚2_100，应采用统计量（）.

X-4

AS/、n

、填空题

B.

（n-1）S2

2

CT

'（Xi1）

C.i4

100

D.

2

-X）

100

1.为了校正试用的普通天平行称量，得如下结果：

把在该天平上称量为

100克的10个试样在计量标准天平上进

99.3,98.7,100.5,

101,2,

98.3

99.799.5102.1

100.5,

99.2

假设在天平上称量的结果服从正态分布

为检验普通天平与标准天平有无显著差异

H0

2.设样本X1,X2，…,X25来自总体

N（」,9）,」未知.对于检验H。

」=讥，

H1

取拒绝域形如X—卩0Xk，若取a=0.05，贝uk值为

第六章样本及抽样分布答案

一、选择题

1.（C）

2.（C）注：

统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数

3.（D）

X—卩2

对于答案D,由于」~N（0,1）,i=1,2，…，n，且相互独立，根据2分布的定义有

n

、（Xi」）2

空2~X2（n）

CT

4.（C）注:

X1芒7（ni—1）才是正确的

5.（D）

6C）注:

—1X

X~N（0,—），——l~t（n-1）才是正确的nSJn

HX-12兰1}=2P{X—12兰1}—1

=2P〈X—12.；2,52“5［；—1=2：

」（T）—1

7.（A）

S2

9-2

迟（Xi—X）

二

一9—1

9_

vX2-9X2

i

i咼

9—1

285-925“「

=7.5

8

8.（A）

9.（B）

由题意可知

X1+2X2〜N（0,20），X3+X4+X5〜N（0,12），

X7X8X9~N（0,16），且相互独立，因此

222

（X1+2X2）+（X3+X4+X5）+（X6+X7+X8+X9）2012

111

即a,b,c=

201216

解:

X6

16

10（A）

999

解：

'Xi~N（0,92）=xXi9~N0,1Y2

i=1i=1i=1

ZXi9

由t分布的定义有身〜t9

J81

二、填空题

1.与总体同分布，且相互独立的一组随机变量

2.代表性和独立性

CT2

3』，——

n

4.0.1

5.2

6.2（n-1）

第七章参数估计

一、选择题

1.答案：

D.

1n

［解］因为二2二E（x2）—e2（x），E?

（X2）=A2Xi2，

n7

n_

所以，；?

2二E?

（x2）_E?

2（x）二丄、（Xi_x）2.

ny

2.答案：

A.

L（a）最大,

11、，［解］因为似然函数L（a）「-，当a=maxXi时,

a（maxXi）i

i

所以，a的最大似然估计为maxVX^X?

…，Xn}.

3答案A.

2n1"121

［解］似然函数L（丄，二）exp2区-丄），

二.

由rlnL"

y斗2兀▽］2^」

—yinL=0，得二2二A2.P22

4.答案C.

［解］在上面第5题中用「取代X即可.

5答案B.

6•答案

C.

7答案

D.

8•答案

D.

9•答案

B.

二、填空题:

1.矩估计和最大似然估计;

2•丨【p（x「），丨If（X；R；

ii

1

3,0.2828;

4

8

[解]

（1）p的矩估计值X=Xi=16/8=2，令E（X）=3-4p=X,

id：

得p的矩估计为0=（3-X）/4=1/4.

（2）似然函数为

8

24

L（p）=一「P（X二xj二P（X=0）[P（X=1）]P（X=2）[P（X=3）]

\=1

=4p（1-p）2（1-2p）4

InL（p）=1n46lnp2ln（1-p）4ln（1—2p）

628

令[InL（p）]0，二12p2-14p3=0

p1-p1-2p

二p=（7一.13）/12.由0：

p：

：

1/2，故p=（7.13）/12舍去

所以p的极大似然估计值为0=（7-13）/12二0.2828.

4、1.71，0.00138；

_送X\2

[解]由矩估计有：

E?

（x）二x,E?

（x2）=\，又因为D（X）二E（X2）-[E（X）]2，

n

所以^（X^X=171-751-71-65175=1.71

5

:

n

且3（x）二

=0.00138

5（Xi-x）2ni$

5、？

=2X1

1-X

n'InXi

i-4

n；

'二InXi

i=1

［解］

（1）■的矩估计为:

■>'2

1

E（X）

=x（，-「1）xdx=

o

样本的一阶原点矩为:

所以有:

？

=2X1

21-X

（2）■的最大似然估计为:

nn

L（X1，…，Xn；'W.I「T）X「乂1）n（i【Xi）

7id：

n

InL=nln（…1）rIn|］Xi

n

…二InXi=0

i=1

n

得：

？

=

n-二InXi

iT

n

'InXi

i=1

6、

1nn」

［解］E（X）E（Xi）.

nimn

7、

；71

2n（n-1）

［解］注意到X1,X2,…，Xn的相互独立性,

1

Xi-XX1-X2（n-1）Xi--Xn

n

E（Xi-X）=0,D（Xi-X）二

n-1

n

所以，Xi-X~N（0,

n-1

E（|Xi-X|）=」z|

z2

25

ndz

因为：

E

k、|Xi-X|

.i1

n-1

Q

n

2

Fj~2

cy

ndz

Z'

2

2

一2■:

厂n

kLE|Xi

2

-X|=kn

n-1

<7

n

所以，k二

”2n（n_1）

8、.［992.16，1007.84］；

［解］这是分布未知，样本容量较大，均值的区间估计，所以有:

X=1000,S=40,a=0.05，Z0.025=1.96

亠的95%的置信区间是:

[X-SZ0.025,XSZ0.025]=[992.16,1007.84].

*nIn

9、

（X—n—1）,X+~Sntg（n—1））；

■n2n2

［解］这是匚2为未知的情形，所以X「"~t（n-1）.

S/7n

10、

[14.869,15.131];

由题意得：

—2

x=15-=0.04:

=0.05n=9，代入计算可得:

［解］这是方差已知均值的区间估计，所以区间为:

0202

1.96,151.96]，

9.9

化间得：

[14.869,15.131].

［X-；Z：

2,X乙」

11、［14.754，15.146］；

［解］这是方差已知，均值的区间估计，所以有:

置信区间为：

[X-「严乙2]

1

由题得：

X二丄（14.615.114.914.815.215.1）=14.95

6

a=0.05Zo.025=1.96n=6

代入即得：

[14.95-0.061.96,14.95-0.061.96]

6、6

所以为：

[14.754,15.146]

12、.[0.15,0.31];

[解]由2一一

1a

2

（n-1）S2

2

a

2CF

2

（n-1）S-720

2

2

_2...（n-1）S

2一

72

匸

2

所以二的置信区间为:

（n-1）S2

2（11）

2

2

2]，

1二（11）

2

（n-1）S

将n=12,

S=0.2代入得

[0.15,0.31].

第八章假设检验

一、选择题

1.C、2.B、3.B、4.C、5.B、6.B、7.C、8.B

二、填空题

=1002.1.176