概率论与数理统计习题册.docx
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概率论与数理统计习题册
第六章样本及抽样分布
'、选择题
1.设X,,X2^,Xn是来自总体X的简单随机样本,则X,,X2^,Xn必然满足()
A.独立但分布不同;B.分布相同但不相互独立;C独立同分布;D.不能确定
2•下列关于“统计量”的描述中,不正确的是().
A•统计量为随机变量B.统计量是样本的函数
C.统计量表达式中不含有参数D•估计量是统计量
3下列关于统计学“四大分布”的判断中,错误的是()
1
A.若F~F(口,压),则—~F(n2,nJ
B•若T~t(n),贝UT2~F(1,n)
C.若X~N(0,1),则X2~X2
(1)
D•在正态总体下
n
、(Xi」)2
V2~x2(n_1)
cr
4.设Xi,S2表示来自总体N(7,「2
)的容量为ni的样本均值和样本方差(i=1,2),且
两总体相互独立,则下列不正确的是(
寻S2
A.4|2~F(n1-1小2-1)
-1S2
B(X1—壬)-(岂-鳥)
~N(0,1)
C.X1二~t(nJ
S[/••:
n〔
D.
(n-1)S^~x2(n^1)
5.设X1,X2/,Xn是来自总体的样本
,则」
n
(Xj-x)2是(
n-1
).
A.样本矩
B.二阶原点矩
C.二阶中心矩
D.统计量
6X1,X2/,Xn是来自正态总体N(0,1)的样本,X,S2分别为样本均值与样本方差,则
().
A.X~N(0,1)B.nX~N(0,1)C.Xj2~x2(n)D.—~t(n-1)
□S
2
7.给定一组样本观测值
X1,X2,…,X9且得vXi=45}Xi-285,则样本方差
S2
A.7.5
8设X服从t(n)分布,
2065
C.D.
32
P{|X|■}=a,则P{X:
:
:
-}为().
B.60
1
A.a
2
B.2a
1
C.a
2
1
D.1a
2
2
9设X1,X2,…,xn是来自正态总体N(0,2)的简单随机样本,若
Y=a(X12X2)2b(X3X4X5)2c(X6X7X8X9)2服从x2分布,
a,b,c的值分别为(
111
A—
■JJ
81216
111
B.,,
201216
111
D.--,-
234
10设随机变量X和Y相互独立,且都服从正态分布
N(0,32),设X1,X2,,X9和
9、Xi丫1,丫2,…,丫9分别是来自两总体的简单随机样本,则统计量U二号服从分布是(
).
A.t(9)
B.t(8)
C.N(0,81)
D.N(0,9)
】、填空题
1.在数理统计中,
称为样本.
2.我们通常所说的样本称为简单随机样本,它具有的两个特
占
八、、
4.
设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立且服从相同的分布,EX」,DXY2,
n_
Xi,则EX=nv
;DX=
(X1,X2,…,X10)是来自总体X~N(0,0.32)的
个样本,
的观测值为().
「10
p]瓦Xi2>1.44
5.已知样本Xi,X2,…,乂佗取自正态分布总体N(2,1),X为样本均值,已知P{X_,}=:
0.5,则•-.
10.6设总体X~N(7;「2),X是样本均值,Sn是样本方差,n为样本容量,则常用的随
2
机变量(n乎服从分布.
CF
第七章参数估计
'、选择题
1.设总体X~NOV-2),Xi,,Xn为抽取样本,则
1
—V(Xj-X)2是(ni4
(A)J的无偏估计(B);「2的无偏估计(C)」的矩估计(D)二2的矩估计
2设X在[0,a]上服从均匀分布,a0是未知参数,对于容量为n的样本X-…,Xn,a
的最大似然估计为()
(A)max{X1,X2,,Xn}
(B)
Xi
(C)max{X1,X2,,Xn}-min{X1,X2,,Xn}
1n
(D)1—vXinim
3设总体分布为N(」,;「2),
J^2为未知参数,则二2的最大似然估计量为(
(A)U(Xj_X)2ni仝
(B)二(Xi-X)2n「1i吕
」)2
4设总体分布为
N(」,;「2),」已知,则二2的最大似然估计量为(
(A)S2
1n2
(C)—(Xj」)2ni$
n—1^2
(B)Sn
1n
(D)丄^区」)2n-1id
5X1,X2,X3设为来自总体X的样本,下列关于E(X)的无偏估计中,最有效的为()
(A)
(C)
1/、
(X1X2)
2
1
(X1X2X3)
4
1
(B)(X1X2X3)
3
221
(D)X1X2X3)
333
Xi,X2,,Xn(n_2)是正态
分布N(»;「2)的一个样本,若统计量
nA
22
(Xi1-Xi)为二的无偏估计,则
i4
K的值应该为(
(A)丄(B)—
2n2n—1
1
2n-2
1
(D)-
n—1
7.设二为总体X的未知参数,哥门2是统计量,
宀门2为二的置信度为1-a(0:
:
:
a:
:
:
1)的
置信区间,则下式中不能恒成的是(
A.P{片:
:
v:
:
v2}=1-a
B.
P{v.-2}PQ:
:
刊}=a
C.Pp十2}_1-a
D.
Pp切Pp:
:
:
6}二空
2
8设X~N(」,;「2)且二2未知,若样本容量为
n,且分位数均指定为“上侧分位数”时,
则)的95%的置信区间为(
—C7
A.(XU0.025)
Jn
B.(X_St°.05(n-1))
■vn
S
C.(X二10.025(n))
勺n
S
D.(X二一t°.025(n-1))
Vn
9设X~N(=;「2),2均未知,当样本容量为n时,匚2的95%的置信区间为(
2
2)
X0.025(n-1)
A(⑴-1)'(n-1)S
X0.975(n—1)
B((n-1)S2,(n-1)S2)
X0.025(n-1)‘X0.975
C.(4^
t°.025(n-1)
(n-1)S2)
t0.975(n-1)
D.(X±孕怙025(n—1))
Un
】、填空题
1•点估计常用的两种方法是:
2.若X是离散型随机变量,分布律是P{X=x}=P(x;r),(二是待估计参数),则似然函
数是
,X是连续型随机变量,概率密度是f(X;“,则似然函数是
3.设总体X的概率分布列为:
X0
22
Pp2p(1-p)p1-2p
其中p(0:
:
:
p:
:
:
1/2)是未知参数.利用总体X的如下样本值:
1,3,0,2,3,3,1,3
则p的矩估计值为__,极大似然估计值为.
4.设总体X的一个样本如下:
1.70,1.75,1.70,1.65,1.75
则该样本的数学期望E(X)和方差D(X)的矩估计值分别.
5.设总体X的密度函数为:
0■:
x:
:
1
其他
设X1,…,Xn是X的样本,
则•的矩估计量为,最大似然估计量为
2—1
6•假设总体X~N(j;「2),且XXi,X「X2,…,Xn为总体X的一个样本,
ni二
则X是的无偏估计.
2
7设总体X~NC1,;),X「X2,…,Xn为总体X的一个样本,贝帰数k=,使
nk送Xj-X为cr的无偏估计量.
i1
8从一大批电子管中随机抽取100只,抽取的电子管的平均寿命为1000小时,样本均方差为
S=40.设电子管寿命分布未知,以置信度为0.95,则整批电子管平均寿命J的置信区间
为(给定Z°.05=1.645,Z°.025=1.96).
9设总体X~N(",二2),",二2为未知参数,则’的置信度为1—〉的置信区间为
10某车间生产滚珠,从长期实践可以认为滚珠的直径服从正态分布,且直径的方差为
2
:
二=0.04,从某天生产的产品中随机抽取9个,测得直径平均值为15毫米,给定〉=0.05
则滚珠的平均直径的区间估计为.(Z0.05=1.645,Z0.025=1.96)
11.某车间生产滚珠,从某天生产的产品中抽取6个,测得直径为:
14.615.114.914.815.215.1
已知原来直径服从N(J0.06),则该天生产的滚珠直径的置信区间为,
(a=0.05,Z°.05二1*645,Z0.025=1.96).
12.某矿地矿石含少量元素服从正态分布,现在抽样进行调查,共抽取12个子样算得
S=0.2,则匚的置信区间为(:
.=0.1,2(11)=19.68,2.(11)=4.57)
_1
~2~2
第八章假设检验
一、选择题
1.关于检验的拒绝域W,置信水平:
•,及所谓的“小概率事件”,下列叙述错误的是().
A.:
的值即是对究竟多大概率才算“小”概率的量化描述
B•事件{(X1,X2,…,Xn),W|Ho为真}即为一个小概率事件
C.设W是样本空间的某个子集,指的是事件{(X1,X2,…,Xn)|H0为真}
D.确定恰当的W是任何检验的本质问题
2.设总体X~N(»;「2)f2未知,通过样本X1,X2^,Xn检验假设H。
:
」要采用检验估计量().
X-J0X-J0X_」X-1
A.:
~B.:
~C.:
-D.
~/.nS/.nS/n;「/.n
3.样本X1,X2/,Xn来自总体N(~122),检验H。
:
•乜100,采用统计量().
A.
X-100
12/.n
C.
X-100
S/、n-1
D.
22
4设总体X~NC'S),;「未知,通过样本X1,X2,…,Xn检验假设H。
:
」一‘0,此问题
拒绝域形式为
A.{
X二100
S/.10
C}
B.{X-100:
C}
s/如
X-100
C.{——
S/J10
C}
D.{XC}
5•设X1,X2/,Xn为来自总体N(=32)的样本,对于H。
:
丄=100检验的拒绝域可以形
如()
A.{X—卩>C}
—X-100—
B.{X—100AC}C.{——>C}D.{X—100VC}
S/Vn
6、
样本来自正态总体
N(',;「2),」未知要检验H°:
;「2=100,则采用统计量为(
).
A.
(n-1)S2
B.
(n-1)S2
C.
100
100
D.
nS2
100
7、设总体分布为N(7匚2),若」已知,则要检验H0:
匚2_100,应采用统计量().
X-4
AS/、n
、填空题
B.
(n-1)S2
2
CT
'(Xi1)
C.i4
100
D.
2
-X)
100
1.为了校正试用的普通天平行称量,得如下结果:
把在该天平上称量为
100克的10个试样在计量标准天平上进
99.3,98.7,100.5,
101,2,
98.3
99.799.5102.1
100.5,
99.2
假设在天平上称量的结果服从正态分布
为检验普通天平与标准天平有无显著差异
H0
2.设样本X1,X2,…,X25来自总体
N(」,9),」未知.对于检验H。
」=讥,
H1
取拒绝域形如X—卩0Xk,若取a=0.05,贝uk值为
第六章样本及抽样分布答案
一、选择题
1.(C)
2.(C)注:
统计量是指不含有任何未知参数的样本的函数
3.(D)
X—卩2
对于答案D,由于」~N(0,1),i=1,2,…,n,且相互独立,根据2分布的定义有
n
、(Xi」)2
空2~X2(n)
CT
4.(C)注:
X1芒7(ni—1)才是正确的
5.(D)
6C)注:
—1X
X~N(0,—),——l~t(n-1)才是正确的nSJn
HX-12兰1}=2P{X—12兰1}—1
=2P〈X—12.;2,52“5[;—1=2:
」(T)—1
7.(A)
S2
9-2
迟(Xi—X)
二
一9—1
9_
vX2-9X2
i
i咼
9—1
285-925“「
=7.5
8
8.(A)
9.(B)
由题意可知
X1+2X2〜N(0,20),X3+X4+X5〜N(0,12),
X7X8X9~N(0,16),且相互独立,因此
222
(X1+2X2)+(X3+X4+X5)+(X6+X7+X8+X9)2012
111
即a,b,c=
201216
解:
X6
16
10(A)
999
解:
'Xi~N(0,92)=xXi9~N0,1Y2
i=1i=1i=1
ZXi9
由t分布的定义有身〜t9
J81
二、填空题
1.与总体同分布,且相互独立的一组随机变量
2.代表性和独立性
CT2
3』,——
n
4.0.1
5.2
6.2(n-1)
第七章参数估计
一、选择题
1.答案:
D.
1n
[解]因为二2二E(x2)—e2(x),E?
(X2)=A2Xi2,
n7
n_
所以,;?
2二E?
(x2)_E?
2(x)二丄、(Xi_x)2.
ny
2.答案:
A.
L(a)最大,
11、,[解]因为似然函数L(a)「-,当a=maxXi时,
a(maxXi)i
i
所以,a的最大似然估计为maxVX^X?
…,Xn}.
3答案A.
2n1"121
[解]似然函数L(丄,二)exp2区-丄),
二.
由rlnL"
y斗2兀▽]2^」
—yinL=0,得二2二A2.P22
4.答案C.
[解]在上面第5题中用「取代X即可.
5答案B.
6•答案
C.
7答案
D.
8•答案
D.
9•答案
B.
二、填空题:
1.矩估计和最大似然估计;
2•丨【p(x「),丨If(X;R;
ii
1
3,0.2828;
4
8
[解]
(1)p的矩估计值X=Xi=16/8=2,令E(X)=3-4p=X,
id:
得p的矩估计为0=(3-X)/4=1/4.
(2)似然函数为
8
24
L(p)=一「P(X二xj二P(X=0)[P(X=1)]P(X=2)[P(X=3)]
\=1
=4p(1-p)2(1-2p)4
InL(p)=1n46lnp2ln(1-p)4ln(1—2p)
628
令[InL(p)]0,二12p2-14p3=0
p1-p1-2p
二p=(7一.13)/12.由0:
p:
:
1/2,故p=(7.13)/12舍去
所以p的极大似然估计值为0=(7-13)/12二0.2828.
4、1.71,0.00138;
_送X\2
[解]由矩估计有:
E?
(x)二x,E?
(x2)=\,又因为D(X)二E(X2)-[E(X)]2,
n
所以^(X^X=171-751-71-65175=1.71
5
:
n
且3(x)二
=0.00138
5(Xi-x)2ni$
5、?
=2X1
1-X
n'InXi
i-4
n;
'二InXi
i=1
[解]
(1)■的矩估计为:
■>'2
1
E(X)
=x(,-「1)xdx=
o
样本的一阶原点矩为:
所以有:
?
=2X1
21-X
(2)■的最大似然估计为:
nn
L(X1,…,Xn;'W.I「T)X「乂1)n(i【Xi)
7id:
n
InL=nln(…1)rIn|]Xi
n
…二InXi=0
i=1
n
得:
?
=
n-二InXi
iT
n
'InXi
i=1
6、
1nn」
[解]E(X)E(Xi).
nimn
7、
;71
2n(n-1)
[解]注意到X1,X2,…,Xn的相互独立性,
1
Xi-XX1-X2(n-1)Xi--Xn
n
E(Xi-X)=0,D(Xi-X)二
n-1
n
所以,Xi-X~N(0,
n-1
E(|Xi-X|)=」z|
z2
25
ndz
因为:
E
k、|Xi-X|
.i1
n-1
Q
n
2
Fj~2
cy
ndz
Z'
2
2
一2■:
厂n
kLE|Xi
2
-X|=kn
n-1
<7
n
所以,k二
”2n(n_1)
8、.[992.16,1007.84];
[解]这是分布未知,样本容量较大,均值的区间估计,所以有:
X=1000,S=40,a=0.05,Z0.025=1.96
亠的95%的置信区间是:
[X-SZ0.025,XSZ0.025]=[992.16,1007.84].
*nIn
9、
(X—n—1),X+~Sntg(n—1));
■n2n2
[解]这是匚2为未知的情形,所以X「"~t(n-1).
S/7n
10、
[14.869,15.131];
由题意得:
—2
x=15-=0.04:
=0.05n=9,代入计算可得:
[解]这是方差已知均值的区间估计,所以区间为:
0202
1.96,151.96],
9.9
化间得:
[14.869,15.131].
[X-;Z:
2,X乙」
11、[14.754,15.146];
[解]这是方差已知,均值的区间估计,所以有:
置信区间为:
[X-「严乙2]
1
由题得:
X二丄(14.615.114.914.815.215.1)=14.95
6
a=0.05Zo.025=1.96n=6
代入即得:
[14.95-0.061.96,14.95-0.061.96]
6、6
所以为:
[14.754,15.146]
12、.[0.15,0.31];
[解]由2一一
1a
2
(n-1)S2
2
a
2CF
2
(n-1)S-720
2
2
_2...(n-1)S
2一
72
匸
2
所以二的置信区间为:
(n-1)S2
2(11)
2
2
2],
1二(11)
2
(n-1)S
将n=12,
S=0.2代入得
[0.15,0.31].
第八章假设检验
一、选择题
1.C、2.B、3.B、4.C、5.B、6.B、7.C、8.B
二、填空题
=1002.1.176