新高数第二章导数与微分知识点与习题.docx
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新高数第二章导数与微分知识点与习题
高数第二章导数与微分知识点总结
第一节导数
注：
可导必连续，连续不一定可导.
1．基本概念
注:
分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求.
（2）左、右导数
'f（x0x）f（x0）f（x）f（x0）.
f（x0）limlim.x0xxx0xx0
'f（x0x）f（x0）f（x）f（x0）.
f（x0）limlim.
x0xxx0xx0
f'（x0）存在f'（x0）f'（x0）.
（3）导数的几何应用
曲线yf（x）在点（x0,f（x0））处的切线方程：
yf（x0）f'（x0）（xx0）.
法线方程：
yf（x0）f'（x0）（xx0）.
2．基本公式
1）
C'0
（2）
（xa）'
a1
ax
3）
（ax）'
axlna（特例（ex）'ex）
（4）
（logax）'
1
（a0,a1）
xlna
5）
（sinx）'
cosx
（6）
（cosx）'
sinx
7）
2
2
（tanx）'
secx
（8）
（cotx）'
cscx
9）（secx）'secxtanx
10）（cscx）'cscxcotx
11）（arcsinx）'12
1x2
12）
（arccosx）'
1
1x2
13）（arctanx）'12
1x2
14）
（arccotx）'
1
1x2
15[ln（xx2a2）]'
x2
3．函数的求导法则
1）四则运算的求导法则
设yf（x）的反函数为xg（y），两者均可导，且f'（x）0，则
4）隐函数求导
设函数yf（x）由方程F（x,y）0所确定，求y'的方法有两种：
直接求导法和公式法y'Fx'.
Fy'.
（5）对数求导法：
适用于若干因子连乘及幂指函数
4．高阶导数
二阶以上的导数为高阶导数.
常用的高阶求导公式：
1）（ax）（n）axlnna（a0）特别地，（ex）（n）ex
2）（sinkx）（n）knsin（kxn）
2
3）（coskx）（n）kncos（kxn）
2
5）（xk）（n）k（k1）（k2）（kn1）xkn
n
6）莱布尼茨公式：
（uv）（n）Cnku（nk）v（k），其中u（0）u,v（0）v
k0
第二节微分
1．定义
背景：
函数的增量
yf（xx）f（x）.
定义：
如果函数的增量
y可表示为yAxo（x），其中A是与x无关的常数，则称函数
yf（x）在点x0可微，并且称Ax为x的微分，记作dy，则dyAx.
注：
ydy,xdx
2．可导与可微的关系
元函数f（x）在点x0可微，微分为dy
Ax函数f（x）在x0可导，且Af'（x0）.
3．微分的几何意义
4．微分的计算
1）基本微分公式dyf'（x）dx.
2）微分运算法则
②四则运算法则
d（uv）dudv
duv
vduudv
uvduudv
d（）2vv
②一阶微分形式不变若u为自变量，yf（u）,dyf'（u）uf'（u）du；
若u为中间变量，yf（u），u（x），dyf'（u）'（x）dxf'（u）du.
练习题
1、求下列函数的导数。
322sinxax
（1）yx（x1）；
（2）y；（3）yesinbx；x
（4）yln（xx2a2）；（5）yarctanx1；（6）y（x）x。
x11x2、求下列隐函数的导数。
（1）ysinxcos（xy）0；
（2）已知eyxye,求y（0）。
4、求下列函数的高阶导数。
（1）yx,求y（n）；
（2）yx2sin2x,求y（50）
5、求下列函数的微分。
22
6、求双曲线x2y21，在点（2a,3b）处的切线方程与法线方程。
a2b2
答案：
222322
3x2（x21）2x3[2（x21）（x2）]
22232
3x2（x21）22x3（x21）2x
222x2（x21）（7x23）。
sinxxcosxsinx
2）解：
y（）2。
xx
3）解：
y（eaxsinbx）aeaxsinbxbeaxcosbx
eax（asinbxbcosbx）。
4）解：
y[ln（xx2a2）]
22xa
[x
a2
1122
22[122（xa）]
2222
xxa2xa
x1
5）解：
y（arctan）
x1
1
22xxa
1（x1）
1（x1）2（x1）
x1
2
（x1）2（x1）（x1）1222
2（x21）（x1）2x21
xxxlnx
6）解：
y[（）x]（e1x）
1x
ycosxsin（xy）
sinxsin（xy）
2）解：
将x0代入原方程解得y1,
原方程两边直接关于x求导得eyyyxy0，
0,
上方程两边关于x再次求导得ey（y）2eyy2yxy
将x0，y1,代入上边第一个方程得y（0）e
将x0，y1,y（0）
1
e1代入上边第二个方程得y（0）
e2
3、解：
dx
dt
dy
a（1cost）,asint；
dt
dy
dx
dydtasintdxdta（1cost）
cot2t；
4、
（1）
解：
2）
d2y
dx2
dt（
dt
dx
csc
22）a（1
1
cost）
14t
csc
2
4a
依此类推y（n）
解：
设
usin2x,v
1）x
1）
n1）x
n,（n1）。
2
x,
则u（k）
2ksin（2x
k2）（k
1,2,
50），
2x,v2,v（k）0（k
3,4,
50）,
代入萊布尼茨公式，得
y（50）（x2sin2x）（50）
250sin（2x50）
2
x2
50249sin（2x
49）2x
2
5049
2!
248sin（2x48）2
2
502
250（x2
sin2x50xcos2x
1225sin2x）。
2
5、
（1）解：
xlnxx
（e）x（ln
x1）,dyxx（ln
x1）dx.
2）解：
1x2[1
1x2arcsinx
2x2]
2
x
dy
1x2xarcsinx
3
（1x2）2
1
ydx
x2xarcsinx
3
（1x2）2
dx。
6、解：
首先把点
（2a,3b）代入方程左边得
2
x
2
a
b2
4a2
2
a
3b2
b24
1，
即点（2a,3b）是切点。
2x
对双曲线用隐函数求导得2
a2
2by2y0,
b2x
2
ay
过点（2a,3b）的切线的斜率为
y（2a,3b）
2ab2
3a2b
2b,
3a
故过点（2a,3b）的切线方程为y
3b2b（x2a）；
3a
过点（2a,3b）的法线方程为y3b
3a（x2a）。
2b
7、
解：
f（0）
lxim0x
0
同理
f（0）
0；故f（0）
0。
显然
f（x）
12xsinx
21cos
x
x
0点的连续性即可。
但已知
cos在
x
1
2x
x
lim
x0
21
xsin
x
1
2xsin
x
续。
1
limxsinx0,
cos1在x0点连续，因此只需考查x
0点不连续，由连续函数的四则运算性质知f（x）在x
f（x）在
0点不连
讨论习题：
1、设f（x）xx（x3）,求f（x）。
22232n
2、求和Snx2x3xnx。
3
3、设函数f（x）在［1,1］上有定义，且满足xf（x）x3x,1x1,
证明
f（0）存在，且
f（0）
讨论习题参考答案：
1、解：
因为f（x）
易知f（x）在开区间
对于分段点x
f（0）
lim
x0
2（x
3）,
2（3
x）,
2（x
3）,
0）
（0,3）
3，有
f（0）
1。
x
0
x
x
（
x
x
x
（3,）内都是可导的；又
3,
x3,
0.
f（0）
lim
x0
f（3）
lim
x3
f（3）
lim
x3
x
0
f（x）
f（0）
x
0
x2（x
3）0
x
3
x2（3
x）0
x
3
0，
f（x）
2
x2（3x）0
x
0，
lim
x0
lim
x3
lim
x3
2
x2（x3）0
0，即f（0）0；
x2
9，
x2）9，
即f（3）不存在；
3之外f（x）在区间（
看人生峰高处，唯有磨难多正果。
所以除x
3）
（3,）內均可导，且有
f（x）
3x26x,
0,
6x3x2,
0）（3,
x0,
（0,3）.
）,
2、
解：
因为
1x
1xn1
1x
3、
（1
Sn
x（1
n
x）
（n1）xn
n1nx
（1x）2
2x
3x2
x
22x
2x2
nx
nn1
1（n1）xnx
x）2
（1
x（xx[x（12x
1（n
x[x
x[x
22x
32x
3x3
3x2
1）xn
（1x）2
23
x
2nnx
1）
n
nx）
n1
nx）]
n1
2
nx
nx
n1n2（n1）xnx
（x1）2
x2n23[nx（x1）3
证：
由xf（x）
f（0）0。
又
f（x）
f（x）
已知
1、
（2n2
2n
n1
1）x
（n
2n
1）x
x1]
3
xx,
f（0）
0
x3
x1,可知当
x
（1x
x0时，
0f（0）0，
1,x0）；
x
lixm0x
lim
x0
3
xx
1，
由两边夹定理可得
）f）x
若f（u）在u0不可导，u
g（x）在x0可导，且u0g（x0），则
f[g（x）]在x0处（）
（1）必可导，
（2）必不可导，（3）不一定可导。
2
2、设g（x）连续，且f（x）（xa）2g（x），求f（a）
思考题参考答案：
1、
解：
正确选择是（3）
例如：
f（u）u在u0处不可导；若取ug（x）sinx在x0处可导，则f[g（x）]sinx在x0处不可导；即
（1）不正确。
又若取
444
ug（x）x4在x0处可导，则有f[g（x）]x4x4在x0处可导。
即
（2）也不正确。
2
2、解：
因为g（x）可导，所以f（x）2（xa）g（x）（xa）2g（x）
又因为g（x）不一定存在，故用定义求f（a），
0）
im
lim[2g（x）（xa）g（x）]
xa
2g（a）
第三组：
潘柏华
王涛罗宇生陈珂晔黄强
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