南充高中自主招生考试题及答案word版.docx
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南充高中自主招生考试题及答案word版
南充高中2011年面向省内外自主招生考试
数学试卷（顺庆校区）
（考试时间：
120分钟试卷总分：
150分）
第I卷（选择■填空题）
、选择题（每小题5分，共计20分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）
1
1、已知sini・cos，且45°：
：
：
「：
：
：
90°，则cos，-sin〉的值为
8
3
C.—
4
6、已知OO的直径AB=20，弦CD交AB于G,AG>BG,CD=16,AE丄CD于E,BF丄CD于F，贝UAE-BF为
9、设正△ABC的边长为2,M是AB中点，P是BC边上任意一点，FA+PM的最大值和最小值分别s为和t，则S2-t2二
abc
10、在厶ABC中，AC=2011,BC=2010,AB二20102011则sinA・COSC=
11、已知abc为实数且更亠旦亠实」，则
3b+c4a+c5ab+bc+ca
12、已知Rt^ABC的三个顶点A、B、C均在抛物线y=x2上，且斜边AB平行于x轴，设斜边上的高为h，则h的取值为
13、方程2X-X2=2的正根个数为
X
22
14、已知,ab=4n2,ab=1,若19a149ab-19b的值为2011，则n=
15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2的幕的概率为
16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票•所谓勾股图
是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理•在右图的勾股图中，已知/ACB=90,
（第16题）
三、解答题：
（本大题共6个小题,共70分，解答应写出必要的说明，证明过程和推演步骤）
17.
（本小题10分）能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外
两个圆圈中所填数的平方和？
如果能填，请填出一个例
18.（本小题12分）如图是一个长为400米的环形跑道，其中A,B为跑道对称轴上的两点，且A,B之间有一条50
米的直线通道•甲乙两人同时从A点出发，甲按逆时针方向以速度v1沿跑道跑步，当跑到B时继续沿跑道前进，乙按
顺时针方向以速度V2沿跑道跑步，当跑到B时沿直线通道跑回A点处，假设两人跑步的时间足够长•求：
（1）如果V1:
V2=3：
2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇；
（2）如果V1:
V2=5:
6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇.
21.（本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4,-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B,C两
点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0,3）。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴丨与OC有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间，问：
当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？
并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积.
22.（本小题12分）如图1在平面直角坐标系xOy中，以y轴正半轴上一点A（0,m）（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为60°的射线I，在I上取点B,使AB=4k（k为正整数），并在I下方作/ABC=120°,BC=2OA，线段AB,OC的中点分别为D,E.
（1）当m=4,k=1时，直接写出B,C两点的坐标；
（2）若抛物线y1x2-3（2k_12xm的顶点恰好为D点，且DE=27,求抛物线的解析式及此时cos/ODE
k+23（k+2）
的值；
（3）当k=1时，记线段AB,OC的中点分别为D1,E仁当k=3时，记线段AB,OC的中点分别为D3,E3,求直线E1E3
的解析式及四边形D1D3E3E1的面积（用含m的代数式表示）
南充高中2011年面向省内外自主招生考试答案
、选择题：
（每小题5分，共计20分）
题号
1
2
3
4
答案
B
D
B
A
、填空题：
（每小题5分，共计60分）
5.
17
6.
12
7.
k一k2
8.
±1
9.
4贞
10.
20102
（）2
2011
11.
1
12.
1
13.
0
6
14.
2或—3
15.
1
16.
27+13后
300
解答题：
（本大题共
6个小题,共70分，解答应写出必要的说明
，证明过程和推演步骤）
17.（本小题10分）能否在图中的四个圆圈内填入4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外
两个圆圈中所填数的平方和？
如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由。
解：
不能填。
理由如下：
设所填的互不相同的
石新=i2+rf:
＜护卅=严十护
①一②得
4个数为a,b,c,d
①
；则有
因为：
c
同理可得
c2
c2
_d2=d2-c2
，只能是c=-d
二b2因为c
比较④，⑤得
即c2=d2
半b,只能c=-b⑤
b=d,与已知bzd矛盾，所以题设要求的填数法不存在。
10分
18.（本小题12分）如图是一个长为400米的环形跑道，其中A,B为跑道对称轴上的两点，且A,B之间有一条50
米的直线通道•甲乙两人同时从A点出发，甲按逆时针方向以速度v1沿跑道跑步，当跑到B时继续沿跑道前进，乙按
顺时针方向以速度V2沿跑道跑步，当跑到B时沿直线通道跑回A点处，假设两人跑步的时间足够长•求：
（1）如果V1:
V2=3:
2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A点处相遇;
（2）如果V1:
V2=5:
6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B点处相遇.解：
（1）设甲跑了n圈后，两人首次在A点处相遇，再设甲、乙
两人的速度分别为V|=3m,v2=2m
由题意可得在A处相遇时，乙跑步的路程是电型・2m二800n
3m3
因乙跑回到A点处，所以800n应是250的整数倍，从而知n的最小值是
3
15，此时，甲跑过的路程为400X15=6000
（米）
故甲跑了6000米后，两人首次在A点处相遇.6
（2）设乙跑了250p+200米，甲跑了400q+200米时，两人首次在
分
B处相遇，设甲、乙两人的速度分别为
「c丄幷亠「仆400q+200250p+200“8q+45p+4
W=5m,V2=6m，由题意可得，即
--56
5m
6m
所以48q・24=25p20，即48q•4=25p（p,q均为正整数），.p,q
的最小值为4与2
此时，乙跑过的路程为250X4+200=1200米
故乙跑了1200米后，两人首次在B点处相遇
19.（本小题12分）已知：
如图，BD为OO的直径，点A是劣弧BC的中点,
2
（1）求证：
AB=AEAD；
（2）过点D作OO的切线，与BC的延长线交于点F,
..12分
AD交BC于点E,连结AB.
若AE=2,ED=4,求EF的长.
（1）证明：
如图
4.
•••点A是劣弧BC的中点,
•/ABC=ZADB
又•••/BAD=ZEAB,
•△ABEADB
4分
•ABAD
"AB.
2
•AB二AEAD
（2）解：
TAE=2,ED=4,
•AB2=AEAD二AEAEED=26=12.
•••AB=23（舍负）.
•/BD为OO的直径,
•/A=90.
又•••DF是OO的切线，
•DF丄BD.
•/BDF=90.
AB在Rt△ABD中，tan._ADB=-
AD
•/ADB=30.
•/ABC=ZADB=30.
•/DEF=/AEB=60,
.EDF二.BDF「/ADB=90-30=60.
•/F=180/DEFZEDF=60.
•△DEF是等边三角形.
•EF=DE=4.12分
20.（本小题12分）2011年3月11日13时46分日本发生了9.0级大地震，伴随着就是海啸。
山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）。
已知山坡的坡角
/AEF=23°,量得树干的倾斜角为/BAC=38°,大树被折断部分和坡面所成的角ZADC=60%D=4m。
（1）求/DAC的度数；
（2）求这棵大树折点C到坡面AE的距离？
（结果精确到个位，参考数据：
.2=1.4,.6=2.4）.
解：
（1）延长BA交EF于点G.
在RtAAGE中，E=23°
•GAE=67°
又•••BAC=38°,
•CAE=180°°67°°38°75°.
（2）过点A作AH丄CD于点H,AM丄AE［于点M•
在厶ADH中，NADC=60°AD=4,
DH=2•
AD
AHl
sin.ADC,•••AH=2_3•8分
AD
在RtAACH中，ZC=180°—75°60°45°“•…9分
•AC=2.6,CH=AH=2、、3•10分
•CD=DH+CH=232，在Rt△CDM中，/CDM=60?
sin/CDM=C^,•CM=3+3=5（米）
CD
即这棵大树折点C到坡面AE的距离为5米.12分
21.（本小题12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4,-1）的抛物线交y轴于A点，交X轴于B,C两
点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0,3）。
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称
轴I与OC有怎样的位置关系，并给出证明；
（3）
.PAC的面积
已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间，问：
当点P运动到什么位置时,
最大？
并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积
解：
（1）设抛物线为y二a（x-4）2-1.
•••抛物线经过点A（0,3）,
21
•3=a（0—4）-1•a=丄
4
1212
•••抛物线为y（x-4）2-1x-2x3.
44
⑵答：
I与OC相交
12
证明：
当一（X-4）T=0时，为=2,X2=6.
4
•B为（2,0）,C为（6,0）.•AB=府+22=713.5分
设OC与BD相切于点E,连接CE,则•BEC=90’=/AOB.
•••ABD=90,•CBE=90-ABO.
又BAO=9O°—^ABO,•NBAO=^CBE.•AAOBs也BEC.……6分
•••抛物线的对称轴I为X=4,•C点到I的距离为2.
•抛物线的对称轴I与OC相交.
（3）解：
如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q。
1
可求出AC的解析式为yx3.
2
2442
二PQm3-（—m-2m3）mm.
27
11233
SPAC=SPAQS.PCQ=2（_4m2m）6二-^（m-3）
12分
3
此时，P点的坐标为（3,）
4
22.（本小题12分）如图1,在平面直角坐标系xOy中，以y轴正半轴上一点A（0,m）（m为非零常数）为端点，作与y轴正方向夹角为60°的射线I，在I上取点B，使AB=4k（k为正整数），并在I下方作/ABC=120°,BC=2OA，线段AB,OC的中点分别为D，E.
（1）当m=4，k=1时，直接写出B，C两点的坐标；
（2）若抛物线ylx223（2k1）xm的顶点恰好为D点，且DE=27，求抛物线的解析式及此时cos/ODE
k+23（k+2）
的值；
（3）当k=1时，记线段AB，OC的中点分别为D1,E1；当k=3时，记线段AB，OC的中点分别为D3,E3,求直线E1E3
（4）
的解析式及四边形D1D3E3E1的面积（用含m的代数式表示）.
（2）当AB=4k,A（0,m）时，OA=m,与
（1）同理可得B点的坐标为B（2,3k,2km）,C点的坐标为C（2.3^.3m,2k）.
如图8,过点B作y轴的垂线，垂足为F，过点C作x轴的垂线，垂足为G,
两条垂线的交点为H，作DM丄FH于点M,EN丄OG于点N.
由三角形中位线的性质可得点D的坐标为DC，3k,km）,
由勾股定理得
60°,
D恰为抛物线y1x2-3（2k1）xm的顶点,
k+23（k+2）
它的顶点横坐标为3（2k1,
3
3（2-123k•解得k=i.
3
此时抛物线的解析式^-1x2^53x47分
此时D,E两点的坐标分别为D（3,5）,E（33,1）.
OD=2,7，OE=2.7.
•••OD=OE=DE.
•此时△ODE为等边三角形，cos/ODE=cos60°=1
2
（3）E1,E3点的坐标分别为Et（3m：
?
3,1）,E3
2
（于3）ab=1,〔字33）ab=3.
a二
解得
•直线证的解析式为"于2
可得直线E1E3与y轴正方向的夹角为60°.
•••直线D1D3,E1E3与y轴正方向的夹角都等于
D1D3〃E1E3.
•••D1,D3两点的坐标分别为D1^3,m1）,Da（33,m3）,
设直线E1E3与y轴的交点为P,作AQ丄E1E3于Q.（如图9）
可得点P的坐标为P0,-詈，AP今m.
•••AQ=APsin.OPQ=APsin60‘
12分
4
S四边形d.DoEoE.=DiD3AQ=43.3m-
13314
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