《微积分》各章习题及详细答案.docx
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《微积分》各章习题及详细答案
第一单元函数与极限
、填空题
1、
x
已知f（sin）
=1COSX，贝yf（cosx）=
2、
（43x）2
lim
x厂x（1—x）
3、
Xr0时，tanx-sinx是x的
阶无穷小。
1
4、
limxksin—=0成立的k为
x0
5、
limexarctanx
x..
6、
宀1,
x+b,
x=0
在X=0处连续，则b=
x_0
7、
In（3x1）
lim
x06x
设f（x）的定义域是［0,1］，贝Uf（Inx）的定义域是
9、函数y=1+|n（x+2）的反函数为。
10、设a是非零常数，则佃（乞乜厂=。
XYX—a
1
11、已知当xr0时，（1ax2）3-1与cosx-1是等价无穷小，贝U常数a-。
3x
12、函数f（x）二arcsin的定义域是。
1+x
13、lim、x2亠2—；;:
'x2—2=
n^rbc
x+2a
14、设lim（』3）x=8，则a=。
xr'x-a
15、lim（■n.n1）（.n2-•n）=。
n—
二、选择题
1、设f（x）,g（x）是［T,l］上的偶函数，h（x）是［T,l］上的奇函数，贝U中所给的
函数必为奇函数。
（A）f（x）g（x）；（E）f（x）h（x）；（C）f（x）［g（x）h（x）］；（D）f（x）g（x）h（x）。
1_x
2、Of（x）=,P（X）=1—幼X，则当XT1时有。
1+X
（A）:
•是比：
高阶的无穷小；（E）:
•是比卜低阶的无穷小;
（C）与是同阶无穷小；（D）~F:
。
3、函数
f（X）=W
x=0（x_-1）在X=0处连续，则k=
（A）
（B）2；
3
（C）1；
（D）0。
4、数列极限
limn[ln（n-1）-1nn]
n_.
（A）1;
（B）
-1；
（C）
（D）不存在但非:
:
。
」sinxx
x
0
1xcos—
X
（A）连续点；（B）
5、f（x）二
：
：
0
=0,
可去间断点;
（C）
跳跃间断点；（D）振荡间断点。
6、以下各项中f（x）和g（x）相同的是（）
（A）f（x）=lgx2,g（x）=2lgx；（B）f（x）=x,g（x）-x2；
g（x）=x^x-1；（D）f（x）=1,g（x）=sec2x-tan2x。
）
-1；（C）0；（D）不存在。
）
-1；（C）e；（D）e*。
（C）
7、
（A）
f（x^Vx4
-x
sinx
|x|
1；
（B）
龙叫（1_x）
（A）
1；
（B）
9、f（x）在X0的某一去心邻域内有界是limf（x）存在的（）
（A）充分必要条件；（B）充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不必要条件.
10、
limx（.x121-x）=（
x.
（A）1;
（B）2;
（C）2;
（D）
0。
=0,limbn
n「
且lima
n:
.
“、设{an},{bn},{Cn}均为非负数列,
=1,limcn-：
:
则必有（）
n>
（A）a.：
：
：
bn对任意n成立;
（B）
bn：
：
：
Cn对任意n成立;
（C）极限limancn不存在；
（D）
极限limbn®不存在。
n—Jpc
12、当x》1时,
e
x-1
（E）等于0;
（C）为：
：
;（D）不存在但不为：
：
。
（1）
lim2nsinn:
.
（3）
1
limx（ex-
xL:
（5）
8cos
lim
1）;
x—2cosx-1
（A）等于2;
三、计算解答
1、计算下列极限
（2）
（4）
（7）
cscx—cotxlim
x）0
lim9;
x—：
i.2x-1
2，
x尹cosxcosx—1
+xsinx—lcosxlim
x）0
xtanx
lim——
n匸1223n（n1）
（8）
lim"（1—32二x）。
tarctanx'4一x2
3、试确定a,b之值，使li4、利用极限存在准则求极限
6、设f（x）在［a,b］上连续，且a：
：
：
f（x）：
：
：
b，证明在（a,b）内至少有一点•，使f「）二o
3
第一单元函数与极限测试题详细解答
一、填空题
“2X2X2X
1、2sinx。
f（sin—）=1（1—2sin—）=2—2sin—，
222
222f（x）=2-2x.f（cosx）=2-2cosx=2sinx。
（43x）
22
2、
9x24x16nlim2lim30。
x》：
：
x（1—x2）xi-x3x
3、
高阶。
tanx-sinx
limlim
x）0xx
.tanx-sinx是x的高阶无穷小。
tanx（1—cosx）,m（1一cosx），
x）0
4、
sin-为有界函数，所以要使limxksin丄=0,TX
只要
limx^0，即k0。
x）0
5、
lime*xarctanx=0（lime
Xx:
jiji
=O,arctanx（,））。
22
6、
limf（x）=lim（xb）=b，
x―0…x0■■
1叫.f（x）=lim（ex1）=2，
f（0）=b,.b=2。
7、
ln（3x1）
仆3。
6xx6x2
9、
2a
10、e
11、a
1
由（1ax2）3-1
丄ax2与cosx_1〜_丄x2，
32
以及
根据题意要求0乞Inx乞1，所以1乞x乞e。
y=1ln（x2）,（yT）=ln（x2），x2二ey'，
12、
13、
14、
1
（1ax12）3-1lim
x0
COSX-1
12
ax2
=lim—a=1,
x）0123
x
2
可得
由反三角函数的定义域要求可得
j兰舒1
1x=0
解不等式组可得
11
—匸兰x兰2，二f（x）的定义域为—兰丄。
如一1242
lim/2-x2-2=lim（x22一x2-2）（x22」-2）
n）:
：
n）:
：
..x2+2-（x2-2）
n%Jx2+2+厶22
=0。
In2
x+2axlim（）x=lim（1
x—•-x-ax?
-
x22x2-2
x_a3ax
-^）厉越二e3a=8
x—a
3a=ln8=aJn8
3
15、
lim（n、n1）（、nWn）二lim/
（nn1）2
（.n2.n）
2（1
二、选择题
1、选（D）
令F（x）二f（x）g（x）h（x）,由f（x）,g（x）是[-1,1]上的偶函数,h（x）是[-l,l]
上的奇函数,
-F（-x）工f（-x）g（-x）h（-x）--f（x）g（x）h（x）--F（x）。
a（x）
2、选。
妁1弔=01（1x）（1，x）
1-x
=lim
x1（1x）[1_31_（1_x）]
1-x3
=1im
12
（1+X）3（1—x）2
3、
（A）
4、
1
limf（x）=lim31x一1=佃*=3
0x031x_1jo12
x
3
1limn[ln（n「1）-lnn]二lim-1n
（1）
xxj、n
x_]：
:
x]：
:
5、
f（0_）=1,f（0）=0,
f（0）=0
2
6、选（C）在（A）中；f（x）=lnx的定义域为
x=0，而g（x）=2lnx的定义域为x0，
.f（x）=g（x）故不正确
在（B）幕f（x）=x的值域为（」：
「：
），g（x）二x2的值域为x0，故错
在（C）中f（x）=1的定义域为Rg（x）
2
=secx—tanx的定义域为
{xR,x=k二石}，f（X）=g（x），
故错
7、选（D）vm背
-lim沁
x0'x
=1
lim
x—IXI
=-lim=-1xX
sinx十—亠
•lim不存在x0|x|
1
8选（D）l[m°（1_x）X
P叫[1（-x）]
9、选（C）由函数极限的局部有界性定理知，limf（x）存在，则必有x0的某一去心
邻域使f（x）有界，而f（x）在x0的某一去心邻域有界不一定有limf（x）存在，例如
^«0
11
limsin，函数T_sin1有界，但在x=0点极限不存在
x_0xx
10、选（C）
Ulimx⑴齐-x）=limx（"x2=少2+宀）=x
xFx1xxh、x2[X
2
显然不对，因为有数列极限的不等式性质只能得出数列“当的情况，不可能得出“对任意
充分大时”
（C）也明显不对，因为“无穷小•无穷大”
n成立”的性质。
是未定型，极限可能存在也可能不存在。
12、选（D）
21
X1limex—1_x-1
1
=lim（x1）ex二x_1--
2
lim—
x_1■
1x-1
^lim（x1）exJ
当x》1时函数没有极限，也不是三、计算解答
1、计算下列极限：
（1）
解:
lim2nsin刍二lim2n
n,2n»
（2）
解:
二二2x。
2“1
1cosx
cscx=cotx_limsinxsinx
_xmx
2x
1-cosx2=limlim2
x刃xsinxx刃x
（3）
解:
1
limx（ex
x匸:
1
-1）=limx1。
xr：
：
x
（4）
解:
lim（jx
x—：
2x-1
）3x=lim（1-^）3x
2x-1
Pm"1
1X-1J3
七）22]3。
x
2
（5）解:
1
」7）2]3X
2
1X弋3
二[lim1）][lim1
xj：
：
1x—i.
x
2
2
8cosx—2cosx—1（2cosx—1）（4cosx+1）
lim2lim
x才2cosxcosx-1x；（2cosx-1）（cosx1）
1
（6）解:
、；1+xsinx—寸cosxlim
x0xtanx
+xsinx—cosx
=lim
xsinx1-cosx
2x
xsinx1—cosx
=lim2lim2—
x2xx刃2x
o
3一4
-
丄4
+
1-2
xtanx（、1xsinxcosx）
111
（7）解：
lim[]
汉22汉3n（n+1）
=lim（1—）=1°
x「n1
m2^1c
ln（132-x）
arctanM—x2
1r
3、解：
；||
x2+1
lim（ax-b）=lim-
X・x理1x.
22
x1-ax-（ab）x-b
2
（1—a）x—（a+b）x+（1—b）二lim-
x_.
"卜（a+b）=丄
I2
a=1
J；
jb=-■
I2
亠亠1
n
1
11
1--
4、
（1）12—3
11
1--
2n
11111+-+-+■-+丄+―-而lim二1=1lim-一3n.
x-n1…1.11.…1
23n
n1_1
Io
（2）先证有界（数学归纳法）
n=1时，x2二a%-aa=a
设n=k时，xka,贝yxk丁r』axk•；a2=a
数列｛Xn｝有下界,
再证｛Xn｝单调减，
■Xn.1：
：
：
Xn即｛Xn｝单调减，
.limxn存在，设limxn=A,n,n：
则有A=...aA=•A=0
5、解：
先求极限得f（x）
（舍）或A=a,.limx^a
n—^c
2x
n—1
=lim矿
nt：
n1
-1x<0
而limf（x）=1limf（x）=-1f（0）=0
x0■x0-
■f（x）的连续区间为（-二,0）（0,
x=0为跳跃间断点.。
6、解：
令F（x）=f（x）-x,贝UF（x）在［a,b］上连续
而F（a）=f（a）-a0
F（b）=f（b）-b：
：
0
由零点定理，7-（a,b）使F（J=0
即f（）一=0，亦即f（）二。
第二单元导数与微分
一、填空题
1、已知f（3）=2，则limf（3_h）一f⑶=。
hT2h
2、f\0）存在，有f（0）=0,则lim丄凶=。
Tx
3、y=二xxarctan1，贝Hyx#=。
兀|
4、f（x）二阶可导，y=f（1sinx），贝Uy=；y=
x
5、曲线y=e在点处切线与连接曲线上两点（0,1）,（1,e）的弦平行。
6、
y=1n[arctan（1-x）]，则dy=
7、
•24沖dy
y=sinx，贝U=
dx
若f（t）=limt（1丄严，则f（t）=
x护x
dy=
，dP
9、
处的切线斜率为2。
10、设y二xex，则y（0）二
11、设函数y=y（x）由方程exy•cos（xy）=0确定,
dy=
dx
x=1t2则噢y=costdx
-"
二、单项选择
12
1设曲线y和y=x在它们交点处两切线的夹角为
x
-1；（B）1;
f（x）=etankx，且f（―）=e,
4
12、设J
（A）
（C）
-2;
3、函数
（A）
1；（B）-1；（C）
4、已知
f（x）为可导的偶函数，且lim
处切线的方程是
（A）
5、设
（A）
（D）3。
1
•
2；
f（1x）-f⑴二_2,贝y曲线y二f（x）在（一1,2）
（D）2。
2x
y=4x6；（B）y--4x-2；（C）y=x3；（D）y--x1。
22
f（XLx）-f（x）f（x）可导，则lim
—o
0;（B）2f（x）；（C）2f（x）；（D）2f（x）f（x）o
6、函数f（x）有任意阶导数，且f（x）=[f（x）]2，则f（n）（x）=
（A）n[f（x）]n1；（B）n!
[f（x）]n1；（C）（n1）[f（x）]n1；（D）（n1）!
[f（x）]2。
7、若f（X）d，则讥f（x0»）-讥）=（）
（1）
y=ex，求dy；
d2y
dx
（3）
xarctany二y,
（4）y=sinxcosx，求y（50）；
（A）2x0；（B）X0；（C）4x0；（D）4x。
8、设函数f（x）在点X。
处存在f_（X。
）和f（X。
），则f_（x。
）=f.（x。
）是导数f（Xo）存在的（）
（A）必要非充分条件；（B）充分非必要条件；
（C）充分必要条件；（D）既非充分又非必要条件。
9、设f（x）=x（x-1）（x-2）（x-99）则f（0）=（）
（A）99;（B）-99;（C）99!
;（D）-99。
10、若f（u）可导，且y=f（-x?
），则有dy=（）
（A）xf（_x2）dx；（b）-2xf（-x2）dx；（C）2f（-x2）dx；（D）2xf（-x2）dx。
11、设函数f（x）连续，且f'（0）・0，则存在0，使得（）
（A）f（x）在（0,、J内单调增加；（B）f（x）在（-「0）内单调减少；
（C）对任意的x（0,、）有f（x）f（0）；（D）对任意的x（-「0）有f（x）f（0）。
2.1
12、设f（x）=xsinx
iax+b
x0在x=0处可导，则
x乞0
（A）a=1,b=0；
（B）a=0,b为任意常数；
（C）a=0,b=0；
（C）a=1,b为任意常数。
三、计算解答
1、计算下列各题
.21
sin-
（5）
（6）
xxy=（），求y；
1+x
f（x）=x（x1）（x2）（x2005），求f（0）；
（7）f（x）=（x_a）「（x）,:
（x）在x=a处有连续的一阶导数，求f（a）、f（a）；
-J
（8）设f（x）在x=1处有连续的一阶导数，且「
（1）=2，求lim—f（cos..x-1）。
—1+dx
b（1+sinx）+a+2x^O
2、试确定常数a,b之值，使函数f（x）=』'处处可导。
、eax—1xc0
3、证明曲线x2「y2二a与xy=b（a,b为常数）在交点处切线相互垂直。
4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上
升到500米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。
5、若函数f（x）对任意实数x1,x2有f（x-1x2^f（x1）f（x2），且f（0）=1，证明
f（x）=f（x）。
6、求曲线y=x3•3x2-5上过点（-1,-3）处的切线方程和法线方程。
第二单元导数与微分测试题详细解答一、填空题
1、-1
mo
Hh
f（3-h）-f（3）
2h
f（3-h）—f（3）
-h
11
〈）f»
2、f（0）
lim迪
x
二lim
x_0
f（X）-f（o）
x-0
二f（0）
3、二Inx：
卜禦y-二x|n?
i：
；x"y|xj=■:
lnx二
4、f（1sinx）cosx,f（1sinx）cosx_f（1sinx）sinx
....2■
y=f（1sinx）cosx,y=f（1sinx）cosx-f（1sinx）sinx
e—1
5、（In（e-1）,e-1）弦的斜率k=X=e-1
1-0
.y=（ex）二ex=e-1=x=ln（e-1），当x=ln（e-1）时，y=e-1。
dx
6、厂
arctan（1-x）
1
Fd（1一x）
arctan（1—x）[1+（1-x）2]
dyd[arctan（1—x）]
arctan（1_x）
dx
arctan（1-x）[1（1—x）2]
7、
4x3sin2x4，2x2sin2x4
dy
dx
=2sinx4
cosx4
4x3二4x3sin2x4
冬二2x2sin2x4
dx2xdx
8、
2t2t
e2te
f（t）Pm：
t（1f）2tx=te2t
2t21
f（t）=e2te
9、
（1,2）
y'=2x，由2x0=2=x0=1,y0=121=2
2
-y=x1在点（1,2）处的切线斜率为2
10、2
xxxxx
y二exe，y二eexe
■y（0）=e°e0=2
11、
exy_ysin（xy）exy-xsin（xy）
方程两边对x求导得exy（1y'）「sin（xy）（yxy'）=0
12、
解得
sint-tcost
4t3
ex7-ysin（xy）exy-xsin（xy）
由参数式求导公式得
dy
dx
Yt'
Xt'
再对x求导，由复合函数求导法得
（yx'）t'
dxdx
Xt'
1tcost-sint
2
t2
—
2t
sint-tcost
3。
4t3
选择题
1、
选（D）
1
由」ySy=x2
=交点为
（1,1）,
k1
12
=（-）Ix^-1,k2（x2）|x厂2x
.tan:
=|tan（;2-J|=|
1k1k2^3
3、
选（c）
k
rtanxk-1
（x）二ektan
xsecx
4、
5、
选（D）lim
丄xT
6、
选（E）
f（x）={[f（x）]2}=2f（X）f（x）=2f3（x）
—1
由f（）=e得ek2=e=k=—
42
f（1*x）-■f
（1）].f（—1-x）—f（—1）
选（A）由limlim
xt2xxt2x
f（—1—x）—f（—1）1t1t
巳叫X（V（T）（-尹-2二f（-1）=4
切线方程为：
y-2=4（x，1）即y=4x，6
2.2
（XX）—f（x）f（x）=[2f3（x）f-23f2（x）f（x）=23f4（x）
设f（n）（x）二n!
fn1（x），则f
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