冀教版七年级下册因式分解整章总结训练不含答案.docx
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冀教版七年级下册因式分解整章总结训练不含答案
冀教版七年级下册因式分解整章总结训练
知识点1：
因式分解定义
1、把一个式化为几个整式的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是运算.
考点1：
因式分解定义
1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a（x﹣y）=ax﹣ayB．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．（x+1）2=x2+2x+1D．x2﹣x=x（x﹣1）
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．8a2b=2a•4abB．﹣ab3﹣2ab2﹣ab=﹣ab（b2+2b）
C．4x2+8x﹣4=4x（x+2﹣
）D．4my﹣2=2（2my﹣1）
考点2：
待定系数法
1.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x+1）（x﹣2），则a+b的值为 ．
2.已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（ ）
A．b=3，c=﹣1B．b=﹣6，c=2C．b=﹣6，c=﹣4D．b=﹣4，c=﹣6
知识点2：
提公因式法
1.确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：
①定系数，即确定各项系数的最大公约数；
②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；
③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．
2.提公因式的根据市乘法分配律的逆用
考点1：
找公因式
1.多项式15m3n2+5m2n﹣20m2n3的公因式是（ ）
A．5mnB．5m2n2C．5m2nD．5mn2
2.把多项式﹣8a2b3c+16a2b2c2﹣24a3bc3分解因式，应提的公因式是（ ）
A．﹣8a2bcB．2a2b2c3C．﹣4abcD．24a3b3c3
考点2：
提取公因式
1.下列多项式中能用提公因式法分解的是（ ）
A．x2+y2B．x2﹣y2C．x2+2x+1D．x2+2x
2.若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
3.把8m2n﹣2mn分解因式（ ）
A．2mn（4m+1）B．2m（4m﹣1）C．mn（8m﹣2）D．2mn（4m﹣1）
4.将﹣
a2b﹣ab2提公因式后，另一个因式是（ ）
A．a+2bB．﹣a+2bC．﹣a﹣bD．a﹣2b
5.多项式x2y（a﹣b）﹣xy（b﹣a）+y（a﹣b）提公因式后，另一个因式为（ ）
A．x2﹣x+1B．x2+x+1C．x2﹣x﹣1D．x2+x﹣1
6.多项式mx+n可分解为m（x﹣y），则n表示的整式为（ ）
A．mB．myC．﹣yD．﹣my
7.下列各式，不可能是14x3﹣4x2﹣10x因式的是（ ）
A．xB．2（x﹣1）C．7x+5D．x+1
8.把xn+3+xn+1分解因式得（ ）
A．xn+1（x2+1）B．xn（x3+x）C．x（xn+2+xn）D．xn+1（x2+x）
9.下列哪项式x4+x3+x2的因式分解的结果（ ）
A．x（x3+x2+x）B．x2（x2+x）C．x2（x2+x+1）D．x3（x+1）+x2
10.下列运算中，因式分解正确的是（ ）
A．﹣m2+mn﹣m=﹣m（m+n﹣1）B．9abc﹣6a2b2=3bc（3﹣2ab）
C．3a2x﹣6bx+3x=3x（a2﹣2b）D．
ab2+
a2b=
ab（a+b）
11.把（x﹣a）3﹣（a﹣x）2分解因式的结果为（ ）
A．（x﹣a）2（x﹣a+1）B．（x﹣a）2（x﹣a﹣1）C．（x﹣a）2（x+a）D．（a﹣x）2（x﹣a﹣1）
12.多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（ ）
A．2B．﹣2C．4D．﹣4
13.已知（10x-31）（13x-17）-（13x-17）（3x-23）可因式分解成（ax+b）（7x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值
14.若m﹣n=﹣2，mn=1，则m3n+mn3=（ ）
A．6B．5C．4D．3
15.当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（ ）
A．4B．0C．﹣3D．﹣4
16.计算：
（﹣2）101+（﹣2）100的结果是（ ）
A．﹣2B．﹣2100C．2D．2100
17.分解因式
（1）3a2y﹣3ay+6y；
（2）﹣2x2+18x2y﹣4xy2
（3）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）
（4）2（a﹣3）2﹣a+3．
（5）1.992+19.9×0.001．
（6）20192+2019﹣20192．
知识点3：
公式法
平方差公式
考点1：
识别公式
1.下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+y2B．﹣x2﹣y2C．﹣x2+y2D．x2﹣y3
2.在x2－y2，－x2＋y2，（－x）2＋（－y）2，x4－y2中能用平方差公式因式分解的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．a2+（﹣b）2B．5m2﹣20mnC．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9
4.小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了二项式x2﹣口y2（“口”表示漏抄的部分）中y2前的式子，若该二项式能因式分解，则“□”不可能是（ ）
A．xB．4C．﹣4D．9
5.对于任意自然数n，（n＋7）2－（n－5）2是否能被24整除？
考点2：
利用公式分解因式
1.下列因式分解正确的是（ ）
A．a2﹣b2=（a﹣b）2B．x2+4y2=（x+2y）2
C．2﹣8a2=2（1+2a）（1﹣2a）D．x2﹣4y2=（x+4y）（x﹣4y）
2.分解因式（2x+3）2﹣x2的结果是（ ）
A．3（x2+4x+3）B．3（x2+2x+3）C．（3x+3）（x+3）D．3（x+1）（x+3）
3.分解因式x4﹣1的结果是（ ）
A．（x+1）（x﹣1）B．（x2+1）（x2﹣1）C．（x2+1）（x+1）（x﹣1）D．（x+1）2（x﹣1）2
4.下列多项式中，与﹣x﹣y相乘的结果是x2﹣y2的多项式是（ ）
A．y﹣xB．x﹣yC．x+yD．﹣x﹣y
5.（2x+a）（2x﹣a）是多项式________分解因式的结果．
6.若a+b=3，a﹣b=7，则b2﹣a2的值为（ ）
A．﹣21B．21C．﹣10D．10
7.若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，则a2﹣b2的值是（ ）
A．﹣1B．1C．6D．﹣6
8.分解因式：
9x2﹣（x+2y）2=
完全平方公式
考点1：
识别公式
1.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2B．x2+1C．x2﹣4x+4D．x2+4x+1
2.下列多项式在有理数范围内，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．m2﹣2m﹣1B．m2﹣2m+1C．m2+n2D．m2﹣mn+n2
考点2：
利用公式分解因式
1.分解因式：
x2﹣x+1= =
2.将多项式（x2﹣1）2+6（1﹣x2）+9因式分解，正确的是（ ）
A．（x﹣2）4B．（x2﹣2）2C．（x2﹣4）2D．（x+2）2（x﹣2）2
3.计算：
1252﹣50×125+252=（ ）
A．100B．150C．10000D．22500
4.已知9x2﹣mxy+16y2能运用完全平方公式分解因式，则m的值为（ ）
A.12B.±12C.24D.±24
5.若4x2+kx+25=（2x+a）2，则k+a的值可以是（ ）
A．﹣25B．﹣15C．15D．20
7.已知m=2n+1，则m2﹣4mn+4n2﹣5的值为 ．
8.已知a与b互为相反数，则代数式a2+2ab+b2﹣2019的值为 ．
9.两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9），另一位同学因看错了常数项而分解成2（x﹣2）（x﹣4），请将原多项式分解因式．
综合
1.下列各式中不能用公式法分解因式的是（ ）
A．x2﹣6x+9B．﹣x2+y2C．x2+2x+4D．﹣x2+2xy﹣y2
2.下面因式分解错误的是（ ）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2﹣8x+16=（x﹣4）2
C．2x2﹣2xy=2x（x﹣y）D．x2+y2=（x+y）2
3.一次课堂练习,王莉同学做了如下4道分解因式题,你认为王莉做得不够完整的一题是（ ）
A.x3-x=x（x2-1）B.x2-2xy+y2=（x-y）2C.x2y-xy2=xy（x-y）D.x2-y2=（x-y）（x+y）
4.将下列多项式分解因式，结果中不含因式x+1的是（ ）
A．x2﹣1B．x2﹣2x+1C．x（x﹣2）+（x﹣2）D．x2+2x+1
5.多项式ax2-4a与多项式x2-4x+4的公因式是（ ）
A.x-2B.x+2C.aD.（x-2）（x+2）
6.（2x）n﹣81分解因式后得（4x2+9）（2x+3）（2x﹣3），则n等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
7.多项式a2﹣9bn（其中n是小于10的自然数）可以分解因式，则n能取的值共有 种．
8.若多项式2x2﹣5x+m有一个因式为（x﹣1），那么m= ．
9.若（2a+3b）2=（2a-3b）2+（ ）成立,则括号内的式子是（ ）
A.6abB.24abC.12abD.18ab
10.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），再沿虚线剪开（如图①），然后拼成一个梯形（如图②），根据这两个图形的面积关系下列式子成立的是（ ）
A．a2－b2＝（a＋b）（a－b）B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．（a－b）2＝a2－2ab＋b2D．a2－b2＝（a－b）2
11．设n为整数，则代数式（2n＋1）2－25一定能被下列数整除的是（ ）
A．4B．5C．n＋2D．12
12.已知代数式﹣a2+2a﹣1，无论a取任何值，它的值一定是（ ）
A．正数B．非正数C．负数D．非负数
13.已知x2+y2﹣2x﹣6y=﹣10，那么x2019y2的值为（ ）
A．
B．9C．1D．2
14.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a＋1的是（ ）
A．a2－1B．a2＋aC．（a－1）2－a＋1D．（a＋2）2－2（a＋2）＋1
16.若a,b,c为一个三角形的三条边,则代数式（a-c）2-b2的值（ ）
A.一定为正数B.一定为负数C.可能为正数,也可能为负数D.可能为零
17.△ABC的三边长分别为a,b,c,且a+2ab=c+2bc,则△ABC是（ ）
A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形
18.已知P=
m-1,Q=m2-
m（m为任意实数）,则P,Q的大小关系为（ ）
A.P>QB.P=QC.P19.把下列各式因式分解：
（1）4a2﹣16；
（2）2a2﹣4a+2．
（3）
x2+2xy2+2y4；
（4）6xy2﹣9x2y﹣y3
（5）4b2c2﹣（b2+c2）2；
（6）（a2+1）2﹣4a2．
（7）a（a2﹣1）﹣a2+1；
（8）（a+1）（a﹣1）﹣8．
（9）（x2﹣6）2﹣6（x2﹣6）+9
（10）﹣x3+2x2y﹣xy2
（11）x2（x﹣2）+4（2﹣x）
（1）﹣x3+2x2y﹣xy2
（2）x2（x﹣2）+4（2﹣x）
（3）81a4﹣b4．
（4）a4﹣（2a﹣1）2．
（5）xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2
（6）（a2+b2）2﹣4a2b2．
（7）a4﹣16a2；
（8）（m2+m）2﹣（m+1）2．
（9）4（a＋2b）2－（2a－b）2；
（10）（m2＋4m）2＋8（m2＋4m）＋16；
应用因式分解计算
计算：
（1）2.1×31.4＋62×3.14＋0.17×314；
（2）－101×190＋1012＋952.
（3）
×
×
×…×
；
待定系数法
1.若
，则
．
2.若
则a=,b=.
3.若代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，那么m的值是（ ）
A．4B．8C．±4D．16
4.已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=____.
5.仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：
设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
解得：
n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：
仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．
求代数式的值
1.已知a+b=4，a－b=3，则a2－b2=。
2.已知x2—2x—3=0，则2x2—4x的值为（）
A、—6B、6C、—2或6，D、—2或30
3.若
，则
的值是________.
4．①若x+y=7，求
+xy的值．
5.已知
，求代数式
的值.
6.若a﹣b=1，则代数式a2﹣b2﹣2b的值为 ．
7.已知
，
，则
的值为（）
A．900B．－900C．8000D．－8000
“数形结合型”
1如图，有三种卡片，其中边长为a的正方形卡片
张，边长分别为a,b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张．用这16张卡片拼成一个正方形，则这个正方形的边长为__________．
2乘法公式的探究及应用：
（1）如图1所示，可以求出阴影部分的面积是_______（写成两数平方差的形式）．
（2）若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2的矩形，此矩形的面积是
__________（写成多项式乘法的形式）．
（3）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________.
（4）应用所得的公式计算：
（1-
）（1-
）（1-
）…（1-
）（1-
）．
3.（2019春•新华区期末）问题解决：
边长为a的两个正方形（阴影部分）如图1所示摆放，则构成的大正方形面积可以表示为（a+a）2或4a2；边长为a，b的两个正方形（阴影部分）如图2所示摆放，大正方形面积可以表示为 或 ；将边长为a、b的两个正方形如图所示叠放在一起，借助图3中的图形面积试写出（a﹣b）2，a2，b2，ab这四个代数式之间的等量关系：
；
探究应用：
（1）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图4，它表示了2m2+3mn+n2=（2m+n）（2m﹣n），请在下面左边的方框中画出一个几何图形，使它的面积是a2+4ab+3b2，并利用这个图形将a2+4ab+3b2进行因式分解．
提升应用：
（2）阅读上面右边方框中的材料，根据你的观察，探究下面的问题：
1a2+b2﹣4a+4=0，则a= ，b= ；
②已知三角形ABC的三边长a，b，c都是整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求三角形ABC的周长．
配方法：
1.已知
，求
的值．
3．当a，b分别为_______时，多项式
有最小值，这个最小值为______．
4．若一个三角形的边长分别是
、
、
，且满足
，则该三角形的形状为________．
5.阅读材料：
若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：
∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣4a+4=0，则a= ．b= ．
（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9=0，求xy的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长．
找规律：
1．请先观察下列算式，再填空：
，
．
①
8×；
②
－（）
＝8×4；
③（）
－9
＝8×5；
④
－（）
＝8×；
………
⑴通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？
请把你的猜想写出来.
⑵你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？
2．现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经紧密相连，密不可分．而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：
将一个多项式分解因式，如多项式：
x3+2x2﹣x﹣2因式分解的结果为（x﹣1）（x+1）（x+2），当x=18时，x﹣1=17，x+1=19，x+2=20，此时可以得到数字密码171920．
（1）根据上述方法，当x=21，y=7时，对于多项式x3﹣xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？
（写出三个）
（2）若一个直角三角形的周长是24，斜边长为10，其中两条直角边分别为x、y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）；
（3）若多项式x3+（m﹣3n）x2﹣nx﹣21因式分解后，利用本题的方法，当x=27时可以得到其中一个密码为242834，求m、n的值．
知识点5：
能力提高
2.下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：
设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号）．
A．提取公因式B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？
．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
3.分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为：
x2﹣4y2﹣2x+4y=（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）=（x﹣2y）（x+2y﹣2）这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式：
a2﹣4a﹣b2+4；
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc=0，判断△ABC的形状．
4.已知A=2a﹣7，B=a2﹣4a+3，C=a2+6a﹣28，其中a＞2．
（1）求证：
B﹣A＞0，并指出A与B的大小关系；
（2）阅读对B因式分解的方法：
解：
B=a2﹣4a+3=a2﹣4a+4﹣1=（a﹣2）2﹣1=（a﹣2+1）（a﹣2﹣1）=（a﹣1）（a﹣3）．
请完成下面的两个问题：
①仿照上述方法分解因式：
x2﹣4x﹣96；
②指出A与C哪个大？
并说明你的理由．
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