版浙江数学知识清单与冲A训练21 二元一次不等.docx
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版浙江数学知识清单与冲A训练21二元一次不等
知识点一 二元一次不等式表示的平面区域
1．一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域________边界，把边界画成________．
2．由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标（x，y）代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，因此只需在此直线的同一侧取一个特殊点（x0，y0）作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________就可以断定Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．
知识点二 线性规划相关概念
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的一次不等式
线性约束条件
由x，y的________不等式组成的不等式组
目标函数
欲求________或________的函数
线性目标函数
关于x，y的________解析式
可行解
满足________________的解（x，y）
可行域
所有________组成的集合
最优解
使目标函数取得________或________的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的________或________问题
知识点三 线性规划的应用
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是
（1）在平面直角坐标系内作出可行域．
（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
（3）确定最优解：
在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．
（4）求最值：
将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
例1 下图中阴影部分表示的区域的二元一次不等式组为（ ）
A.
B.
C.
D.
例2 （2016年10月学考）不等式组
表示的平面区域（阴影部分）是（ ）
例3 （2016年4月学考）在平面直角坐标系xOy中，设a∈R，若不等式组
所表示平面区域的边界为三角形，则a的取值范围是（ ）
A．（1，＋∞）B．（0,1）
C．（－∞，0）D．（－∞，1）∪（1，＋∞）
例4 （2015年10月学考）若实数x，y满足
则y的最大值为（ ）
A.
B．1C.
D.
例5 不等式组
表示的平面区域的面积是________．
例6 若变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝2x＋3y的最小值是________．
例7 已知变量x，y满足约束条件
则
的取值范围是________．
例8 某加工厂的甲车间用某原料加工出A产品，乙车间用同一原料加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元；乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为甲车间加工原料________箱，乙车间加工原料________箱．
一、选择题
1．已知点（－3，－1）和点（4，－6）在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为（ ）
A．（－24,7）B．（－7,24）
C．（－∞，－7）∪（24，＋∞）D．（－∞，－24）∪（7，＋∞）
2．在直角坐标系中，不等式y2－x2≤0表示的平面区域是（ ）
3．若不等式组
表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是（ ）
A．a<5B．a≥7
C．5≤a<7D．a<5或a≥7
4．设实数x，y满足不等式组
且x，y为整数，则3x＋4y的最小值是（ ）
A．14B．16C．17D．19
5．已知变量x，y满足约束条件
则目标函数z＝2x＋3y的取值范围为（ ）
A．7,23]B．8,23]
C．7,8]D．7,25]
6．已知x、y满足约束条件
则（x＋3）2＋y2的最小值为（ ）
A.
B．2
C．8D．10
7．实数x，y满足
（a<1），且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.如图所示，目标函数z＝ax－y的可行域为四边形OACB（含边界），若C（
，
）是该目标函数z＝ax－y的唯一的最优解，则a的取值范围是（ ）
A．（－
，－
）B．（－
，－
）
C．（
，
）D．（－
，
）
二、填空题
9．若原点O（0,0）和点P（1,1）在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值范围是________．
10．已知实数x，y满足
且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是________．
11．设实数x，y满足
则
的最大值为______________．
三、解答题
12．某高中准备租用甲、乙两种型号的客车安排900名学生去冰雪大世界游玩．甲、乙两种车辆的载客量分别为36人/辆和60人/辆，租金分别为400元/辆和600元/辆，学校要求租车总数不超过21辆，且乙型车不多于甲型车7辆，则学校如何租车才能使所花租金最少，最少为多少元？
答案精析
知识条目排查
知识点一
1．平面区域 不包括 包括 实线
2．相同 符号
知识点二
一次 最大值 最小值 一次 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值
题型分类示例
例1 A 取原点O（0,0）检验满足x＋y－1≤0，
而阴影部分表示的区域不包含原点，排除B、D，
点O（0,0）满足x－2y＋2≥0.排除C，故选A.]
例2 B
例3 A 如图所示，可知a>1.
]
例4 B 在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图（阴影部分）所示，由题意易得点A（
，
），B（
，
），所以y的最大值为1，故选B.]
例5 6
解析 如图，不等式组所表示的区域为△ABC（包括边界），
其中A（1,2），B（－1,0），C（1，－4），|AC|＝2－（－4）＝6，|BD|＝2，
∴S△ABC＝
×6×2＝6.
例6 2
解析
作出不等式组
所表示的可行域，如图中的△ABM及其内部，
且△ABM的三个顶点的坐标分别为A（2,3），B（0,1），M（1,0）．
平行移动直线2x＋3y＝0，易知当直线经过点M（1,0）时，
目标函数z＝2x＋3y有最小值2.
例7
，6]
解析
作出可行域如图中阴影部分所示（包括边界），设P（x，y）是可行域内任意一点，由
得A（
，
），
由
得B（1,6），则kOA＝
，kOB＝6，
的几何意义为原点O与点P连线的斜率，显然kOA≤kOP≤kOB.故
的取值范围为
，6]．
例8 15 55
解析 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，
则
目标函数z＝280x＋200y，
结合图象可知，
当x＝15，y＝55时z最大．
考点专项训练
1．B 根据题意知（－9＋2－a）·（12＋12－a）<0.
即（a＋7）（a－24）<0，解得－72．C
3．C
不等式表示的平面区域如图所示．
当y＝a过A（0,5）时，表示的平面区域为△ABC.
当5综上，当5≤a<7时表示三角形．]
4．B
作出可行域，如图中阴影部分所示，点A（3,1）不在可行域内，利用网格易得点（4,1）符合条件，故3x＋4y的最小值是3×4＋4×1＝16.]
5．A 画出不等式组
表示的平面区域如图中阴影部分所示（包括边界），
由目标函数z＝2x＋3y得y＝－
x＋
，
平移直线y＝－
x知在点B处目标函数取到最小值，
解方程组
得
所以B（2,1），zmin＝2×2＋3×1＝7，
在点A处目标函数取到最大值，
解方程组
得
所以A（4,5），zmax＝2×4＋3×5＝23，故选A.]
6．D
画出可行域（如图所示）．
（x＋3）2＋y2即点A（－3，0）与可行域上点P（x，y）间距离的平方．
又∵C（0,1），显然|AC|长度最小，
∴|AC|2＝（0＋3）2＋（1－0）2＝10.]
7．C
作出不等式组对应的平面区域如图．
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
平移直线y＝－2x＋z，
由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，由
解得
即A（1,1），
此时z＝2×1＋1＝3，
当直线y＝－2x＋z经过点B时，直线的截距最小，
此时z最小，由
解得
即B（a，a），此时z＝2×a＋a＝3a，
∵目标函数z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，
∴3＝4×3a，即a＝
.]
8．B 若C点是目标函数z＝ax－y的唯一最优解，
则一定是z的最小值点，
∴－
.]
9．（0,2）
解析 因为原点O和点P在直线x＋y－a＝0的两侧，所以（－a）·（1＋1－a）<0，解得010．3
解析 画出满足条件
的平面区域，如图所示．
由
解得A（1,1），
∵数列4x，z,2y为等差数列，
∴z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，
显然直线过A（1,1）时，z最大，z的最大值是3.
11.
解析
表示点（x，y）与原点（0,0）连线的斜率，在点（1，
）处取到最大值．
12．解 由题意，设租用甲型车x辆，乙型车y辆，
学校所花租金为z元，
则可得不等式组
目标函数z＝400x＋600y，
作平面区域如下．
z＝400x＋600y可化为y＝－
x＋
，
平移直线y＝－
x，易知当直线经过点A时，z有最小值．
由
解得x＝5，y＝12，
即当甲型车5辆，乙型车12辆时，总费用最少，
最少费用为z＝400×5＋12×600＝9200（元）．
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