08版本微积分与解析几何大纲.docx
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08版本微积分与解析几何大纲
《微积分与解析几何》教学大纲
（供信息与计算科学学院本科统计专业使用）
课程编号：
021007600210077002100780
课程名称：
微积分与解析几何
课程类型：
学科基础课
总学时：
90+64+48=202讲课学时：
202实验（实践）学时：
4
学分：
5+4+3
先修课程：
初等数学
一、课程的目的与任务
《微积分与解析几何》是数学类和工科类各专业的一门重要的基础理论课，是信息与计算科学学院统计专业的主干课，该课程的开设对学生掌握深厚的数学基础是非常必要的。
通过该课程的学习，要使学生获得：
1、极限和连续
2、一元函数微积分学
3、常微分方程
4、向量代数及空间解析几何学
5、多元函数微积分学
6、无穷级数
等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后继课程的学习、为学生今后从事教育、科学研究奠定坚实的数学基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养提高学生高度概括的抽象思维能力、严谨的逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力；还要特别注意培养学生具有熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题、解决问题的能力；同时也注重各种能力有机结合。
二、课程有关说明
1.课程简介：
《微积分与解析几何》是数学类和工科类各专业的一门重要的基础理论课，该课程的开设对学生掌握深厚的数学基础是非常必要的。
2.修学该课程的先期知识和能力准备：
修此课程必须具备初等数学知识及基本的数学空间想象能力和数学推理能力。
3.主要教学方式：
讲授式教学、启发式教学、发现式教学、学导式教学、讲练式教学、总结式教学以及多种教学方式有机结合进行使用，依照学生及教材的情况适时变更教学方法和教学方式。
规定每周进行一次习题辅导课，力求做到保质保量。
每节课留1—2道思考题，把学生的学习从课堂延伸到课外。
4.考核评分方式：
采用考教分离题库抽题进行考核，阅卷小组按评分标准流水阅卷。
5.教改内容：
考虑到统计专业的性质及三学期的教学时间，在高等数学（同济六版）的基础上附加解析几何的一些详细内容，增加内容量。
微分方程部分也适当增加内容。
教材中打“
”的节本来根据此门课程的设置是针对工科和部分统计专业学生免修的部分,但是目前对于信息与计算科学学院的统计专业学生,要考虑“
”内容基本全部讲授。
本课程的名称根据需要更改为微积分与解析几何。
三、教学内容
第一章函数与极限（20学时）
第一节映射与函数
本节应掌握：
熟悉：
函数的概念、函数的性质
了解：
集合、映射、复合函数和反函数的概念，基本初等函数性质及图形
一、集合
二、映射
三、函数
第二节数列的极限
本节应掌握：
熟悉：
深刻理解数列极限
定义,并会用定义证明，掌握收敛数列的性质
一、数列极限的定义
二、收敛数列的性质
第三节函数的极限
本节应掌握：
熟悉：
深刻理解函数极限
、
定义（但对用它们证明极限不做过高要求），并区别函数极限
与数列极限
的定义，函数极限的性质
一、函数极限的定义
二、函数极限的性质
第四节无穷小和无穷大
本节应掌握：
熟悉：
理解无穷小与无穷大的定义，掌握极限和无穷小的关系，无穷小和无穷大的关系
一、无穷小
二、无穷大
第五节极限运算法则
本节应掌握：
熟练掌握极限运算法则
第六节极限存在准则两个重要极限
本节应掌握：
熟悉：
两个极限存在准则，熟练掌握两个重要极限并会灵活运用
第七节无穷小的比较
本节应掌握：
熟悉：
无穷小的比较，熟练掌握利用等价无穷小求极限
第八节函数的连续性和间断点
本节应掌握：
熟悉：
深刻理解函数连续的概念，理解间断点的概念，掌握间断点的类型的判别
一、函数的连续性
二、函数的间断点
第九节连续函数的运算与初等函数的连续性
本节应掌握：
熟悉：
理解连续函数的和、差、积、商的连续性，反函数与复合函数的连续性，重点是初等函数连续性
一、连续函数的和、差、积、商的连续性
二、反函数与复合函数的连续性
三、初等函数的连续性
第十节闭区间上连续函数的性质
本节应掌握：
熟悉：
闭区间上连续函数的性质，
了解：
一致连续性的概念，区别一致连续与连续的关系
一、有界性与最大值与最小值定理
二、零点定理与介值定理
三、一致连续性
第二章导数与微分（10学时）
第一节导数概念
本节应掌握：
了解：
导数的来源
熟悉：
导数的定义，掌握导数的几何意义及函数可导与连续的关系
一、引例
二、导数的定义
三、导数的几何意义
四、函数可导性与连续性的关系
第二节函数的求导法则
本节应掌握：
熟悉：
求导法则，难点是反函数的求导法则与复合函数的求导法则，熟记求导基本公式
一、函数的和、差、积、商的求导法则
二、反函数的求导法则
三、复合函数的求导法则
四、基本求导法则与导数公式
第三节 高阶导数
本节应掌握：
熟悉：
高阶导数的求法
第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
相关变化率
本节应掌握：
熟悉：
隐函数及参数方程所表示的函数的求导（一阶及高阶求导）
了解：
相关变化率
一、隐函数的导数
二、由参数方程所确定的函数的导数
三、相关变化率
第五节 函数的微分
本节应掌握：
熟悉：
理解函数微分的概念，微分的几何意义，微分公式和微分法则
了解：
微分在近似计算中的应用
一、微分的定义
二、微分的几何意义
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
四、微分在近似计算中的应用
第三章 微分中值定理与导数的应用（18学时）
第一节 微分中值定理
本节应掌握：
熟悉：
罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理并会用它们证明相关类型的题目
一、微分的定义
二、微分的几何意义
三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则
四、微分在近似计算中的应用
第二节 洛必达法则
本节应掌握：
熟练掌握利用洛必达法则求未定式的极限
第三节 泰勒公式
本节应掌握：
熟悉：
掌握泰勒中值定理，会求函数的泰勒展式、麦克劳林展式，利用函数的麦克劳林展式求极限
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
本节应掌握：
熟悉：
函数极值概念、凹凸弧概念，掌握用导数判别函数单调性、曲线的凹凸性，掌握拐点的求法
一、函数单调性的判定法
二、曲线的凸凹性与拐点
第五节 函数的极值与最大值最小值
本节应掌握：
熟悉：
函数极值点的判别方法和极值的求法，函数最大值、最小值的求法，函数最大值、最小值应用，解决一些实际问题
一、函数的极值及其求法
二、最大值最小值问题
第六节 函数图形的描绘
本节应掌握：
了解：
描绘函数的图形
第七节 曲率
本节应掌握：
熟悉：
弧微分、曲率、曲率半径概念及计算公式
了解：
曲率中心的计算公式，渐屈线与渐伸线
一、弧微分
二、曲率及其计算公式
三、曲率圆与曲率半径
四、曲率中心的计算公式渐屈线与渐伸线
第八节 方程的近似解
本节应掌握：
了解：
方程近似解的二分法，切线法
一、二分法
二、切线法
第四章 不定积分（8学时）
第一节 不定积分的概念和性质
本节应掌握：
熟悉：
不定积分的概念，不定积分性质，熟练掌握不定积分表
一、原函数与不定积分的概念
二、基本积分表
三、不定积分的性质
第二节 换元积分法
本节应掌握：
熟悉：
不定积分的换元积分法
一、第一类换元法
二、第二类换元法
第三节 分部积分法
本节应掌握：
熟悉：
不定积分的分部积分法
第四节 有理函数的积分
本节应掌握：
熟悉：
简单有理函数、无理函数、三角有理函数的积分方法，并掌握哪些函数可化为有理函数
一、有理函数的积分
二、可化为有理函数的积分举例
第五节 积分表的使用
本节应掌握：
了解：
积分表的使用
第五章 定积分（12学时）
第一节 定积分的概念与性质
本节应掌握：
了解：
有关定积分的例子
熟悉：
理解定积分的定义，掌握定积分的近似计算，掌握不定积分的性质
一、定积分问题举例
二、定积分定义
三、定积分的近似计算
四、定积分的性质
第二节 微积分基本公式
本节应掌握：
熟悉：
积分上限的函数的概念，掌握积分上限函数的求导定理及公式，熟练掌握微积分基本公式
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
二、积分上限的函数及其导数
三、牛顿-莱布尼茨公式
第三节定积分的换元法和分部积分法
本节应掌握：
熟悉：
定积分的换元法和分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
第四节 反常积分
本节应掌握：
熟悉：
两种反常积分概念
一、无穷限的反常积分
二、无界函数的反常积分
第五节 反常积分的审敛法
本节应掌握：
熟悉：
无穷限反常积分与无界函数的反常积分的审敛法
了解：
函数
一、无穷限的反常积分的审敛法
二、无界函数的反常积分的审敛法
三、
函数
第六章 定积分的应用（8学时）
第一节 定积分的元素法
本节应掌握：
了解：
定积分的元素法
第二节 定积分在几何学上的应用
本节应掌握：
熟悉：
用定积分的元素法求平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长
一、平面图形的面积
二、体积
三、平面曲线的弧长
第三节 定积分在物理学上的应用
本节应掌握：
熟悉：
用定积分的元素法求变力沿直线所作的功、水压力、引力、转动惯量（附加的内容）
一、变力沿直线所做的功
二、水压力
三、引力
第七章 微分方程（30学时）
第一节 微分方程的基本概念
本节应掌握：
熟悉：
微分方程的基本概念，掌握微分方程的解、通解（通积分）、初始条件、初值问题、定解条件的概念
第二节可分离变量的微分方程
本节应掌握：
熟悉：
可分离变量的微分方程的求解
第三节齐次方程
本节应掌握：
熟悉：
掌握齐次方程和可化为齐次的方程的求解
一、齐次方程
二、可化为齐次的方程
第四节 一阶线性微分方程
本节应掌握：
熟悉：
熟练掌握一阶线性微分方程的求解，掌握伯努利方程的求解
第五节 可降阶的高阶微分方程
本节应掌握：
熟悉：
掌握可降阶的高阶微分方程的求解（
型，
型，
型）的微分方程
一、
型的微分方程
二、
型的微分方程
三、
型的微分方程
第六节 高阶线性微分方程
本节应掌握：
熟悉：
理解高阶线性微分方程概念，掌握高阶线性微分方程解的结构
了解：
常数变易法
一、二阶线性微分方程的举例
二、线性微分方程的解的结构
三、常数变易法
第七节 常系数齐次线性微分方程
本节应掌握：
熟悉：
常系数齐次线性微分方程的求解
第八节 常系数非齐次线性微分方程
本节应掌握：
熟悉：
常系数非齐次线性微分方程各型的解法
一、
型
二、
型
第九节 欧拉方程
本节应掌握：
了解：
欧拉方程的概念
第十节 常系数线性微分方程组解法举例
本节应掌握：
了解：
常系数线性微分方程组的例子的解法
第八章 空间解析几何与向量代数（16学时）
第一节 向量及其线性运算
本节应掌握：
了解：
向量概念、两向量夹角、单位向量、零向量、向量的相等；
熟悉：
向量的线性运算、会利用坐标作向量的线性运算、向量的模、方向角、投影
一、向量概念
二、向量的线性运算
三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算
五、向量的模、方向角、投影
第二节 数量积、向量积和混合积
本节应掌握：
熟悉：
向量的数量积、向量积、混合积和一些向量关系的充要条件，如共线、共面等
一、两向量的数量积
二、两向量的向量积
三、向量的混合积
第三节 曲面及其方程
本节应掌握：
熟悉：
曲面方程的概念；掌握旋转曲面、柱面及一些二次曲面方程的建立方法
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面
三、柱面
四、二次曲面
第四节 空间曲线及其方程
本节应掌握：
熟悉：
空间曲线的一般方程、参数方程及在坐标面上的投影
一、空间曲线的一般方程
二、空间曲线的参数方程
三、空间曲线在坐标面上的投影
第五节 平面及其方程
本节应掌握：
熟悉：
几种常用的平面的方程，会熟练地求出平面的方程和两平面的夹角
一、平面的点法式方程
二、平面的一般方程
三、两平面的夹角
第六节 空间直线及其方程
本节应掌握：
熟悉：
空间直线的几种方程，熟练掌握直线的方程求法及线线、线面夹角
一、空间直线的一般方程
二、空间直线的对称式方程与参数方程
三、两直线的夹角
四、直线与平面的夹角
五、杂例
第九章 多元函数微分法及其应用（24学时）
第一节 多元函数的基本概念
本节应掌握：
熟悉：
多元函数的基本概念，多元函数的极限及其求法，多元函数的连续性
了解：
维空间
一、平面点集
维空间
二、多元函数概念
三、多元函数的极限
四、多元函数的连续性
第二节 偏导数
本节应掌握：
熟悉：
偏导数的定义，熟练掌握偏导数和高阶偏导数的求法
一、偏导数的定义及其计算法
二、高阶偏导数
第三节 全微分
本节应掌握：
熟悉：
全微分的定义，熟练掌握全微分的求法，掌握全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
二、全微分在近似计算中的应用
第四节 多元复合函数的求导法则
本节应掌握：
熟练掌握多元复合函数的求导
第五节 隐函数的求导公式
本节应掌握：
熟悉：
隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
二、方程组的情形
第六节多元函数微分学的几何应用
本节应掌握：
了解：
多元函数微分学的几何应用：
熟悉：
会求空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线
一、一元向量值函数及其导数
二、空间曲线的切线与法平面
三、曲面的切平面与法线
第七节 方向导数与梯度
本节应掌握：
了解：
方向导数和梯度的概念
熟悉：
方向导数和梯度的求法
一、方向导数
二、梯度
第八节 多元函数的极值及其求法
本节应掌握：
熟悉：
多元函数的极值及其求法，条件极值
一、多元函数的极值及最大值、最小值
二、条件极值拉格朗日乘数法
第十章 重积分（18学时）
第一节 二重积分的概念和性质
本节应掌握：
熟悉：
二重积分的概念，二重积分性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
第二节 二重积分的计算法
本节应掌握：
熟悉：
二重积分的三种计算法：
利用直角坐标计算二重积，利用极坐标计算二重积分利用换元法计算二重积分
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、二重积分的换元法
第三节 三重积分
本节应掌握：
熟悉：
三重积分的概念，掌握三重积分的计算（投影法与截面法）
一、三重积分的概念
二、三重积分的计算
第四节 重积分的应用
本节应掌握：
熟悉：
三重积分的应用（求曲面的面积、质心、转动惯量、引力）
一、曲面的面积
二、质心
三、转动惯量
四、引力
第五节 含参变量的积分
本节应掌握：
熟悉：
含参变量的积分的求导公式
第十一章 曲线积分与曲面积分（20学时）
第一节 对弧长的曲线积分
本节应掌握：
熟悉：
对弧长的曲线积分的概念和性质及计算方法
一、对弧长的曲线积分的概念和性质
二、对弧长的曲线积分的计算法
第二节 对坐标的曲线积分
本节应掌握：
熟悉：
对坐标的曲线积分的概念、性质及计算方法，两类曲线积分的联系
一、对坐标的曲线积分的概念与性质
二、对坐标的曲线积分的计算法
三、两类曲线积分之间的联系
第三节 格林公式及其应用
本节应掌握：
熟悉：
熟练掌握格林公式，并能灵活运用，掌握平面上曲线积分与路径无关的条件，熟练掌握二元函数的全微分求积及全微分方程
了解：
曲线积分的基本定理
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
三、二元函数的全微分求积
四、曲线积分的基本定理
第四节 对面积的曲面积分
本节应掌握：
熟悉：
对面积的曲面积分的概念与性质及计算方法
一、对面积的曲面积分的概念与性质
二、对面积的曲面积分的计算法
第五节对坐标的曲面积分
本节应掌握：
熟悉：
对坐标的曲面积分的概念、性质及计算方法，两类曲面积分的联系
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
二、对坐标的曲面积分的计算法
三、两类曲面积分之间的联系
第六节 高斯公式 通量与散度
本节应掌握：
熟悉：
高斯公式，掌握沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
了解：
通量与散度
一、高斯公式
二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
三、通量与散度
第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度
本节应掌握：
熟悉：
斯托克斯公式及其用法
了解：
环流量与旋度
第十二章 无穷级数（18学时）
第一节 常数项级数的概念和性质
本节应掌握：
熟悉：
常项级数的概念与性质及柯西审敛原理
一、常项级数的概念
二、收敛级数的基本性质
三、柯西审敛原理
第二节 常数项级数的审敛法
本节应掌握：
熟悉：
常数项级数的审敛法并会用其判断级数的收敛性
了解：
绝对收敛与条件收敛的概念及绝对收敛级数的性质
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
三、绝对收敛与条件收敛
四、绝对收敛级数的性质
第三节幂级数
本节应掌握：
熟悉：
函数项级数的概念，幂级数及其收敛性
了解：
幂级数的运算
第四节函数展开成幂级数
本节应掌握：
熟练掌握泰勒级数公式，函数展开成幂级数的方法
第五节函数的幂级数展开式的应用
本节应掌握：
熟悉：
利用函数的幂级数展开式进行近似计算
了解：
微分方程的幂级数解法，欧拉公式
一、近似计算
二、微分方程的幂级数解法
三、欧拉公式
第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质
本节应掌握：
熟悉：
函数项级数的一致收敛性概念，掌握一致收敛级数的基本性质
一、函数项级数的一致收敛性
二、一致收敛级数的基本性质
第七节 傅里叶级数
本节应掌握：
熟悉：
傅里叶级数的表达形式，熟练掌握将函数展开成傅里叶级数、正弦级数、余弦级数的方法
一、三角级数三角函数系的正交性
二、函数展开成傅里叶级数
三、正弦级数与余弦级数
第八节一般周期函数的傅里叶级数
本节应掌握：
了解：
一般周期函数的傅立叶级数
一、周期为
的周期函数的傅立叶级数
二、傅立叶级数的复数形式
四、实践教学要求
实验项目的设置及学时分配
实验（上机）学时
4
应开实验项目数
2
序号
实验项目名称
实验要求
学时分配
实验类型
备注
1
方程的近似解的求法
选做
2
验证性
2
最小二乘法
选做
2
验证性
五、建议使用教材及参考书目
教材：
《高等数学》（第六版），同济大学数学系主编，高等教育出版社，2007年。
参考书：
1、《数学分析》，华东师范大学数学系主编，高等教育出版社。
2、《数学分析简明教程》，邓东皋，尹小玲著，高等教育出版社，1999年。
3、《高等数学典型题解法.技巧.注释》，龚冬宝、武忠祥、毛怀遂编，西安交通大学出版社，1996年。
4、《新编高等数学学习辅导》，王金金、李广民、于力编，西安电子科技大学出版社，2000年。
5、《高等数学》（思想方法与解题研究），郭晓时等编，天津大学出版社，2006年。
六、其他说明
1.教学中要注重基本概念的讲授，通过学习要让学生掌握较深的理论知识，具备较强的逻辑推理能力和运算技能。
2.重视习题课的教学，精讲多练，保证每周至少上一次习题课、一次答疑课，加强课外辅导。
3.对于学生能力的培养主要有课内与课外教学活动：
课内教学活动中能力培养的要求：
培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力空间想象能力和教学数学运算的能力；
课外教学活动中能力培养的要求：
培养学生在科技活动和社会实践教学活动中应用数学知识解决问题的综合应用能力。
制定人：
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