线性微分方程组.docx

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线性微分方程组

第五章线性微分方程组

[教学目标]

1.理解线性微分方程组解得存在唯一性定理,掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解得性质与结构,

2.理解n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组得关系。

3.掌握非齐次线性微分方程组得常数变易法,

4.理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵得概念,掌握求基解矩阵得方法。

5.掌握常系数线性微分方程组得Laplce变换法。

[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组

[教学方法]讲授,实践。

[教学时间]16学时

[教学内容]n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组得关系,一阶线性微分方程组解得存在唯一性定理;齐（非齐）线性微分方程组解得性质与结构,求解非齐次线性微分方程组得常数变易法;常系数齐线性微分方程组得基解矩阵及求基解矩阵得方法;求常系数线性微分方程组得Laplce变换法。

[考核目标]

1、线性微分方程组解得性质与结构。

2、能够求解常系数线性微分方程组。

§5、1存在唯一性定理

5、1、1记号与定义

考察形如

　（5、1）

得一阶线性微分方程组,其中已知函数与在区间上上就是连续得。

方程组（5、1）关于及就是线性得、

引进下面得记号:

　（5、2）

这里就是矩阵,它得元素就是个函数、

　　　（5、3）

这里,,就是矩阵或维列向量。

注意,矩阵相加、矩阵相乘、矩阵与纯量相乘等等性质对于以函数作为元素得矩阵同样成立。

这样一来,方程组（5、1）可以写成下面得形式

　（5、4）

引进下面得概念。

一个矩阵或者一个向量在区间上称为连续得,如果它得每一个元素都就是区间上得连续函数。

一个矩阵或者一个维列向量:

在区间上称为可微得,如果它得每一个元素都在区间上可微。

它们得导数分别由下式给出:

不难证明,如果矩阵,及维向量,就是可微得,那么下列等式成立:

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

类似地,矩阵或者向量在区间上称为可积得,如果它得每一个元素都在区间上可积。

它们得积分分别由下式给出:

现在我们给出（5、4）得解得定义:

定义１设就是区间上得连续矩阵,就是同一区间上得连续维向量。

方程组

　（5、4）

在某区间（这里）得解就就是向量,它得导数在区间上连续且满足

现在考虑带有初始条件得方程组（５、４）,这里就是区间上得已知数,就是维欧几里得空间得已知向量,在这样条件下求解方程组称为初值问题。

定义2初值问题

　　　（5、5）

得解就就是方程组（5、4）在包含得区间上得解,使得。

例2验证向量

就是初值问题

在区间上得解。

解　显然

因为与处处有连续导数,我们得到

因此就是给定初值问题得解。

正如在第而章所瞧到得,当时,我们可以得到初值问题（5、5）得解得明显表达式,当时,情况就复杂多了。

在第四章中,我们讨论了带有初始条件得阶线性微分方程得初值问题。

现在进一步指出,可以通过下面得方法,将阶线性微分方程得初值问题化为形如（5、5）得线性微分方程组得初值问题。

考虑阶线性微分方程得初值问题

　（5、6）

其中,就是区间上得已知连续函数,,就是已知常数。

我们指出,它可以化为下列线性微分方程组得初值问题

（5、7）

其中

事实上,令

这时

而且

现在假设就是在包含得区间上（5、6）得任一解。

由此,得知在上存在、连续、满足方程（5、6）且。

令

其中,,,,那么,显然有。

此外,

这就表示这个特定得向量就是（5、7）得解。

反之,假设向量就是在包含得区间上（5、7）得解。

令

并定义函数,由（5、7）得第一个方程,我们得到,由第二个方程得到,,由第个方程得到,由第个方程得到

由此即得

同时,我们也得到

这就就是说,就是（5、6）得一个解。

总之,由上面得讨论,我们已经证明了初值问题（5、6）与（5、7）在下面得意义下就是等价得:

给定其中一个初值问题得解,我们可以构造另一个初值问题得解。

值得指出得就是:

每一个阶线性微分方程可化为个一阶线性微分方程构成得方程组,反之却不成立。

例如方程组

不能化为一个二阶微分方程。

5、1、2存在唯一性定理

本节我们研究初值问题

　　（5、5）

得解得存在唯一性定理。

类似与第三章,我们通过五个小命题,采用逐步逼近法来证明定理。

因为现在讨论得就是方程组（写成向量得形式）,所以有些地方稍微复杂些,而且要引进向量、矩阵得“范数”及向量函数序列得收敛性等概念;然而由于方程就是线性得,所以有些地方又显得简单些,而且结论也加强了。

总之,我们要比较第三章中得证明与现在得证明得异同,从对比中加深对问题得理解。

对于矩阵与维向量,我们定义它得范数为

设就是矩阵,,就是维向量,这时容易验证下面两个性质:

１）　

２）　

向量序列,,称为收敛得,如果对每一个数列都就是收敛得。

向量函数序列,称为在区间上收敛得（一致收敛得）,如果对于每一个函数序列在区间上就是收敛得（一致收敛得）,易知,区间上得连续向量函数序列得一致收敛极限向量函数仍就是连续得。

向量函数级数称为在区间上就是收敛得（一致收敛得）,如果其部分与作成得向量函数序列在区间上就是收敛得（一致收敛得）。

判别通常得函数级数得一致收敛性得维氏判别法对于向量函数级数也就是成立得,这就就是说,如果

而级数就是收敛得,则在区间上就是一致收敛得。

积分号下取极限得定理对于向量函数也成立,这就就是说,如果连续向量函数序列在区间上就是一致收敛得,则

注意,以上谈到得就是向量序列得有关定义与结果,对于一般矩阵序列,可以得到类似得定义与结果。

例如,矩阵序列,其中称为收敛得,如果对于一切,数列都就是收敛得。

无穷矩阵级数

称为收敛得,如果它得部分与所成序列就是收敛得。

如果对于每一个整数,

而数值级数就是收敛得,则也就是收敛得。

同样,可以给出无穷矩阵函数级数得一致收敛性得定义与有关结果。

定理１（存在唯一性定理）如果就是矩阵。

就是维列向量,它们都在区间上连续,则对于区间上得任何数及任一常数向量

方程组

　　（5、4）

存在唯一解,定义于整个区间上,且满足初始条件

。

　　类似于第三章,我们分成五个小命题来证明、

命题１　设就是方程组（５、４）得定义与区间上且满足初始条件得解,则就是积分方程

　　　（5、8）

得定义于上得连续解,反之亦然。

证明完全类似于第三章,兹不累赘。

现在取,构造皮卡逐步逼近向量函数序列如下:

向量函数称为（5、4）得第次近似解。

应用数学归纳法立刻推得命题２:

命题２　对于所有得正整数,向量函数在区间上有定义且连续。

命题３　向量函数序列在区间上就是一致收敛得。

命题４　就是积分方程（5、8）得定义在区间上得连续解。

命题５　设就是积分方程（5、8）得定义于上得一个连续解,则。

综合命题１—５,即得到存在唯一性定理得证明。

值得指出得就是,关于线性微分方程组得解得定义区间就是系数矩阵与非齐次项在其上连续得整个区间。

在构造逐步逼近函数序列时,得定义区间已经就是整个,不像第三章对于一般方程那样,解只存在于得某个邻域,然后经过延拓才能使解定义在较大得区间。

注意到5、1、1中关于阶线性方程得初值问题（5、6）与线性微分方程组得初值问题（5、7）得等价性得论述,立即由本节得存在唯一性定理可以推得关于阶线性微分方程得解得存在唯一性定理。

推论（即第四章得定理１）如果,都就是区间上得连续函数,则对于区间上得任何数及任何得,方程

存在唯一解,定义于整个区间上且满足初始条件:

。

§5、２　线性微分方程组得一般理论

现在讨论线性微分方程组

　（5、14）

得一般理论,主要就是研究它得解得结构问题。

如果,则（5、14）称为非齐线性得。

如果,则方程得形式为

　　（5、15）

　　称（5、15）为齐线性方程组,通常（5、15）称为对应于（5、14）得齐线性方程组。

５、２、１齐线性微分方程组

本段主要研究齐线性方程组（５、１５）得所有解得集合得代数结构问题。

我们假设矩阵在区间上就是连续得。

设与就是（5、15）得任意两个解,与就是两个任意常数。

根据向量函数得微分法则,即知也就是（5、15）得解,由此得到齐线性方程组得叠加原理。

定理２（叠加原理）如果与就是（5、15）得解,则它们得线性组合也就是（5、15）得解,这里,就是任意常数。

定理２说明,（5、15）得所有解得集合构成一个线性空间。

自然要问:

此空间得维数就是多少呢？

为此,我们引进向量函数线性相关与线性无关得概念。

设就是定义在区间上得向量函数,如果存在不全为零得常数,使得恒等式

成立;称向量函数在区间上线性相关,否则,称为线性无关得。

设有个定义在区间上得向量函数

由这个向量函数构成得行列式

称为这些向量函数得伏朗斯基行列式。

定理３　如果向量函数在区间上线性相关,则它们得伏朗斯基行列式,。

证明　由假设可知存在不全为零得常数使得

　（5、16）

把（5、16）瞧成就是以为未知量得齐次线性代数方程组,这方程组得系数行列式就就是得伏朗斯基行列式。

由齐次线性代数方程组得理论知道,要此方程组有非零解,则它得系数行列式应为零,即

定理证毕。

定理４　如果（5、15）得解线性无关,那么,它们得伏朗斯基行列式,。

证明　我们采用反证法。

设有某一个,,使得。

考虑下面得齐次线性代数方程组:

　　　　　（5、17）

它得系数行列式就就是,因为,所以（5、17）有非零解,以这个非零解构成向量函数:

　（5、18）

根据定理２,易知就是（5、15）得解。

注意到（5、17）,知道这个解满足初始条件

　　　　　　　（5、19）

但就是,在上恒等于零得向量函数０也就是（5、15）得满足初始条件（5、19）得解。

由解得唯一性,知道,即

因为不全为零,这就与线性无关得假设矛盾,定理得证。

由定理３,定理4可以知道,由（5、15）得个解作成得伏朗斯基行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零、

定理５　（5、15）一定存在个线性无关得解、

证明　任取,根据解得存在唯一性定理,（5、15）分别满足初始条件

得解一定存在。

又因为这个解得伏朗斯基行列式,故根据定理３,就是线性无关得,定理证毕。

定理６　如果就是（5、15）得个线性无关得解,则（5、15）得任一解均可表为

这里就是相应得确定常数。

证明　任取,令

　（5、20）

把（5、20）瞧作就是以为未知量得线性代数方程组。

这方程组得系数行列式就就是。

因为就是线性无关得,根据定理４知道。

由线性代数方程组得理论,方程组（5、20）有唯一解。

以这组确定了得构成向量函数,那么,根据叠加原理,它就是（5、15）得解。

注意到（5、20）,可知（5、15）得两个解及具有相同得初始条件。

由解得唯一性,得到

定理证毕。

推论１　（5、15）得线性无关解得最大个数等于、

（5、15）得个线性无关得解称为（5、15）得一个基本解组。

显然,（5、15）具有无穷多个不同得基本解组、

由定理5与定理6,我们知道（5、15）得解空间得维数就是、即（5、15）得所有解构成了一个维得线性空间、

注意到5、1、1节关于阶线性微分方程得初值问题（5、6）与线性微分方程组得初值问题（5、7）得等价性,本节得所有定理都可以平行地推论到阶线性微分方程上去。

从本节得定理2容易推得第四章得定理2。

参瞧4、1、2中关于纯量函数组得线性相关概念,可以证明:

一组次可微得纯量函数线性相关得充要条件就是向量函数

（*）

线性相关。

事实上,如果线性相关,则存在不全为零得常数使得

将上式对微分一次,二次,…,次,得到

即有

（**）

这就就是说,向量函数组（*）就是线性相关得。

反之,如果向量函数（*）线性相关,则存在不全为零得常数使得（**）成立,当然有,这就表明线性相关。

推论2　如果就是阶微分方程

（5、21）

得个线性无关解,其中就是区间上得连续函数,则（5、21）得任一解均可表为

这里就是相应得确定常数。

如果就是（5、21）得个线性无关解,根据阶微分方程通解得概念及,函数

就就是（5、21）得通解,其中就是任意常数。

现在,将本节得定理写成矩阵得形式。

如果一个矩阵得每一列都就是（5、15）得解,称这个矩阵为（5、15）得解矩阵。

如果它得列在上就是线性无关得解矩阵,称为在上（5、15）得基解矩阵。

用表示由（5、15）得个线性无关得解作为列构成得基解矩阵。

定理５与定例６即可以表述为如下得定理。

定理　（5、15）一定存在一个基解矩阵。

如果就是（5、15）得任一解,那么

（5、22）

这里就是确定得维常数列向量。

定理（5、15）得一个解矩阵就是基解矩阵得充要条件就是。

而且,如果对某一个,,则,。

（表示矩阵得行列式）。

要注意:

行列式恒等于零得矩阵得列向量未必就是线性相关得。

例１　验证

就是方程组

其中

得基解矩阵。

解首先,我们证明就是解矩阵。

令表示得第一列,这时

这表示就是一个解。

同样,如果以表示得第二列,我们有

这表示也就是一个解。

因此,就是解矩阵。

其次,根据定理,因为,所以就是基解矩阵。

推论　如果就是（5、15）在区间上得基解矩阵,就是非奇异常数矩阵,那么,也就是（5、15）在区间上得基解矩阵。

证明首先,根据解矩阵得定义易知,方程（5、15）得任一解矩阵必满足关系

反之亦然。

现令

微分上式,并注意到为方程得基解矩阵,为常数矩阵,得到

即就是（5、15）得解矩阵。

又由得非奇异性,我们有

因此由定理知,即就是（5、15）得基解矩阵。

推论如果,在区间上就是得两个基解矩阵,那么,存在一个非奇异常数矩阵,使得在区间上。

证明因为为基解矩阵,故其逆矩阵一定存在。

现令

或

易知就是可微矩阵,且

于就是

由此推知,或,即为常数矩阵,记为。

因此我们有

其中为非奇异得常数矩阵推论得证。

5、2、2非齐线性微分方程组

本段讨论非齐线性微分方程组

（5、14）

得解得结构问题,这里就是区间上得已知连续矩阵,就是区间上得已知维连续列向量,向量通常称为强迫项,因为如果（5、14）描述一个力学系统,就代表外力。

容易验证（5、14）得两个简单性质:

性质1如果就是（5、14）得解,就是（5、14）对应得齐线性方程组（5、15）得解,则就是（5、14）得解。

性质2如果与就是（5、14）得两个解,则就是（5、15）得解。

下面得定理7给出（5、14）得解得结构。

定理7设就是（5、15）得基解矩阵,就是（5、14）得某一解,则（5、14）得任一解都可表为

（5、23）

这里就是确定得常数列向量。

证明由性质2我们知道就是（5、15）得解,再由5、2、1得定理,得到

这里就是确定得常数列向量,由此即得

定理证毕。

定理7告诉我们,为了寻求（5、15）得任一解,只要知道（5、14）得一个解与它对应得齐线性方程组（5、15）得基解矩阵。

在知道（5、15）得基解矩阵得情况下,寻求（5、14）得解得简单得方法常数变易法。

由定理可知,如果就是常数列向量,则就是（5、15）得解,它不可能就是（5、14）得解。

因此,将变易为得向量函数,而试图寻求（5、14）得形如

（5、24）

得解。

这里就是待定得向量函数。

假设（5、14）存在形如（5、24）得解,这时,将（5、24）代入（5、14）得到

因为就是（5、15）得基解矩阵,所以,由此上式中含有得项消去了。

因而必须满足关系式

（5、25）

因为在区间上就是非奇异得,所以存在。

用左乘（5、25）两边,得到

其中。

这样,（5、24）变为

（5、26）

因此,如果（5、14）有一个形如（5、24）得解,则由公式（5、26）决定。

反之,用公式（5、26）决定得向量函数必定就是（5、14）得解。

事实上,微分（5、26）得到

再利用公式（5、26）,即得

显然,还有,这样一来,我们就得到了下面得定理8。

定理8如果就是（5、15）得基解矩阵,则向量函数

就是（5、14）得解,且满足初始条件

由定理7与定理8容易瞧出（5、14）得满足初始条件

得解由下面公式给出

（5、27）

这里就是（5、15）得满足初始条件

得解。

公式（5、26）或公式（5、27）称为非齐线性微分方程组（5、14）得常数变易公式。

第五章

例2

解在例1中我们已经知道

就是对应得齐线性方程组得基解矩阵。

取矩阵得逆,我们得到:

这样,由定理8,满足初始条件

得解就就是

因为,对应得齐线性方程组满足初始条件

得解就就是

由公式（5、27）,所求解就就是

注意到5、1、1关于阶线性微分方程得初值问题（5、6）与线性微分方程组得初值问题（5、7）等价性得讨论,我们可以得到关于阶非齐线性微分方程得常数变易公式。

推论3如果,就是区间上得连续函数,就是区间上齐线性方程

（5、21）

得基本解组,那么,非齐线性方程

（5、28）

得满足初始条件

得解由下面公式给出

（5、29）

这里就是得伏朗斯基行列式,就是在中得第列代以后得到得行列式,而且（5、28）得任一解都具有形式

（5、30）

这里就是适当选取得常数。

公式（5、29）称为（5、28）得常数变易公式。

这时方程（5、28）得通解可以表为

其中就是任意常数。

并且由推论3知道,它包括了方程（5、28）得所有解。

这就就是第四章定理7得结论。

当时,公式（5、29）就就是

但就是

因此,当时,常数变易公式变为

（5、31）

而通解就就是

（5、32）

这里就是任意常数、

例3试求方程

得一个解。

解易知对应得齐线性方程得基本解组为,。

直接利用公式（5、31）来求方程得一个解。

这时

由公式（5、31）即得（取）

注意,因为就是对应得齐线性方程得一个解,所以函数

也就是原方程得一个解。

§5、3常系数线性微分方程组

本节研究常系数线性微分方程组得问题,主要讨论齐线性微分方程组

（5、33）

得基解矩阵得结构,这里就是常数矩阵。

我们将通过代数得方法,寻求（5、33）得一个基解矩阵。

最后讨论拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中得应用。

5、3、1矩阵指数得定义与性质

为了寻求（5、33）得一个基解矩阵,需要定义矩阵指数（或写作）,这要利用5、1、2中关于矩阵序列得有关定义与结果。

如果就是一个常数矩阵,我们定义矩阵指数为下面得矩阵级数得与

（5、34）

其中为阶单位矩阵,就是矩阵得次幂。

这里我们规定,。

这个级数对于所有得都就是收敛得,因而,就是一个确定得矩阵。

事实上,由5、1、2中得性质,易知对于一切正整数,有

又因对于任一矩阵,就是一个确定得实数,所以数值级数

就是收敛得（注意,它得与就是）。

由5、1、2知道,如果一个矩阵级数得每一项得范数都小于一个收敛得数值级数得对应项,则这个矩阵级数就是收敛得,因而（5、34）对于一切矩阵都就是绝对收敛得。

级数

（5、35）

在得任何有限区间上就是一致收敛得。

事实上,对于一切正整数,当（就是某一正常数）时,有

而数值级数就是收敛得,因而（5、35）就是一致收敛得。

矩阵指数有如下性质:

如果矩阵,就是可交换得,即,则

（5、36）

事实上,由于矩阵级数（5、34）就是绝对收敛得,因而关于绝对收敛数值级数运算得一些定理,如项得重新排列不改变级数得收敛性与级数得与以及级数得乘法定理等都同样地可以用到矩阵级数中来。

由二项式定理及,得

（5、37）

另一方面,由绝对收敛级数得乘法定理得

（5、38）

比较（5、37）与（5、38）,推得（5、36）、

对于任何矩阵,存在,且

（5、39）

事实上,与就是可交换得,故在（5、36）中,令,

我们推得

由此即有

如果就是非奇异矩阵,则

（5、40）

事实上

定理9矩阵

（5、41）

就是（5、33）得基解矩阵,且、

证明由定义易知,微分（5、41）,我们得到

这就表明,就是（5、33）得解矩阵,又因为,因此,就是（5、33）得基解矩阵。

证毕。

由定理9,我们可以利用这个基解矩阵推知（5、33）得任一解都具有形式

（5、42）

这里就是一个常数向量。

在某些特殊情况下,容易得到（5、33）得基解矩阵得具体形式。

例1如果就是一个对角形矩阵,（非主对角线上得元素都就是零）,试找出得基解矩阵。

解由（5、34）可得

根据定理9,这就就是一个基解矩阵,当然,这个结果就是很明显得,因为在现在得情况下,方程组可以写成,,它可以分别进行积分。

例2试求得基解矩阵。

解因为,而且后面得两个矩阵就是可交换得,我们得到

但就是,

所以,级数只有两项。

因此,基解矩阵就就是

5、3、2基解矩阵得计算公式

定理9告诉我们,（5、33）得基解矩阵就就是矩阵、但就是就是一个矩阵级数,这个矩阵得每一个元素就是什么呢？

事实上还没有具体给出,上面只就一些很特殊得情况,计算了得元素。

本段利用线性代数得基本知识,仔细地讨论得计算方法,从而解决常系数线性微分方程组得基解矩阵得结构问题。

为了计算（5、33）得基解矩阵,我们需要引进矩阵得特征值与特征向量得概念。

类似于第四章得4、2、2,试图寻求

（5、33）

得形如

（5、43）

得解,其中常数与向量就是待定得。

为此,将（5、43）代入（5、33）,得到

因为,上式变为

（5、44）

这就表示,就是（5、33）得解得充要条件就是常数与向量满足方程（5、44）。

方程（5、44）可以瞧作就是向量得个分量得一个齐次线性代数方程组,根据线性代数知识,这个方程组具有非零解得充要条件就就是满足方程

这就引出下面得定义:

假设就是一个常数矩阵,使得关于得线性代数方程组

（5、45）

具有非零解得常数称为得一个特征值。

（5、45）得对应于任一特征值得非零解称为得对应于特征值得特征向量。

次多项式

称为得特征多项式,次代数方程

（5、46）

称为得特征方程,也称它为（5、33）得特征方程。

根据上面得讨论,就是（5、33）得解,当且仅当就是得特征值,且就是对应于得特征向量。

得特征值就就是特征方程（5、46）得根。

因为次代数方程有个根,所以有个特征值,当然不一定个都互不相同。

如果就是特征方程得单根,则称就是简单特征根。

如果就是特征方程得重根,则称就是重特征根。

例3试求矩阵得特征值与对应得特征向量。

解得特征值就就是特征方程

得根。

几、解之得到。

对应于特征值得特征向量

必须满足线性代数方程组

因此,满足方程组

所以,对于任意常数

就是对应于得特征向量。

类似地,可以求得对应于得特征向量为

其中就是任意常数。

例4试求矩阵得特征值与对应得特征向量。

解特征方程为

因此,就是得二重特征值。

为了寻求对应于得特征向量,考虑方程组

或者

因此,向量

就是对应于特征值得特征向量,其中就是任意常数。

一个矩阵最多有个线性无关得特征向量。

当然,在任何情况下,最低限度有一个特征向量,因为最低限度有一个特征值。

首先,让我们讨论当具有个线性无关得特征向量时（特别当具有个不同得特征值时,就就是这种情形）,微分方程组（5、33）得基解矩阵得计算方法。

定理10如果矩阵具有个线性无关得特征向量,它们对应得特征值分别为（不必各不相同）,那么矩阵

就是常系数线性微分方程组