第一章证明.docx

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第一章证明

第一章　证明

（二）

§1.1、等腰三角形

（一）　

（1）

教学目标：

1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义。

重点难点

重点：

了解作为证明基础的几条公理的内容

难点：

掌握证明的基本步骤和书写格式

教学方法：

观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法

教学手段：

多媒体课件

教学过程：

复习：

什么是等腰三角形？

你会画一个等腰三角形吗？

并把你画的等腰三角形栽剪下来。

试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？

新课讲解：

在《证明

（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理

♦本套教材选用如下命题作为公理:

♦1.两直线被第三条直线所截如果同位角相等,那么这两条直线平行;

♦2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

♦3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;（SAS）

♦4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;（ASA）

♦5.三边对应相等的两个三角形全等;（SSS）

♦6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.

由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：

推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）

证明过程：

已知：

∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF

求证：

△ABC≌△DEF

证明：

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∠D+∠E+∠F=180°

（三角形内角和等于180°）

∴∠C=180°-（∠A+∠B）

∠F=180°-（∠D+∠E）

又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）

∴∠C=∠F

又∵BC=EF（已知）

∴△ABC≌△DEF（ASA）

（这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。

）

议一议：

（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？

（教师提出问题，并利用等腰三角形纸片帮议助学生回忆。

学生充分讨论问题1，借助等腰三角形纸片回忆有关性质。

）

（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？

（等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。

）

定理：

等腰三角形的两个底角相等。

这一定理可以简单叙述为：

等边对等角。

已知：

如图，在ABC中，AB＝AC。

求证：

∠B＝∠C

（引导学生证明定理“等腰三角形的两个底角相等”，重点引导学生做辅助线，将等腰三角形分成两个全等的三角形：

我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等。

实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形。

能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等呢？

）

证明：

取BC的中点D，连接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，

∴△ABC△≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形的对应边角相等）

（让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。

做∠BAC的平分线，交BC边于D；过点A做AD⊥BC。

。

学生指出该定理的条件和结论，写出已知、求证，画出图形，并选择一种方法进行证明。

）

想一想：

在上图中，线段AD还具有怎样的性质？

为什么？

由此你能得到什么结论？

（应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，讨论图中存在的相等的线段和相等的角，发现等腰三角形性质定理的推论，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。

）

推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

随堂练习：

做教科书第4页第1，2题。

课堂小结：

通过这节课的学习你学到了什么知识？

作业：

1、基础作业：

P5页习题1.11、2。

2、拓展作业：

《目标检测》

3、预习作业：

P5-6页议一议

板书设计：

§1.1、你能证明它们吗

（一）

公理：

SAS

ASA

SSS

推论：

AAS

三线合一

对应相等的两个三角形全等。

（AAS）

§1.1.2等腰三角形

（二）

（2）

教学目标：

1、经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，证明等腰三角形的一些线段相等

2、借助等腰三角形的三线合一推论解决实际问题

3、运用三角形全等证明等腰三角形其它相等的线段

重点难点：

重点：

证明等腰三角形的判定定理

难点：

借助等腰三角形的判定定理解决实际问题

教学方法：

观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法

教学手段：

多媒体课件

教学过程：

从学生原有的认知结构提出问题

上一节课，我们学习了等腰三角形的性质。

其实等腰三角形还有很多性质，你还能发现其中一些相等的线段吗？

你能证明它们吗？

一、师生共同研究形成概念

1、等腰三角形的性质二

☆想一想书本P4想一想

应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论。

这一结论通常简述为“三线合一”。

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合

✧强调这三线具体指的是哪三条

✧要运用这个定理证明时，里面所包含的三个结论并不一定是全部都有用的，要根据具体情况选取

2、等腰三角形性质的应用

先自己试试作出等腰三角形两底角的平分线，再度量它们是否相等，再证明。

✧找准两个要证明全等的三角形，并把它们拉开，这样对我们的解题很有帮助

3、讲解例1

例1

证明：

等腰三角形两底角的平分线相等。

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线。

求证：

BD=CE。

分析：

先让学生经过自己的观察、探索发现相等的

线段，再引导他们去证明。

4、

讲解例2

例2证明：

等腰三角形两腰上的高相等。

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BE，CD是等

腰三角形△ABC两条腰上的高。

求证：

CD=BE。

分析：

由上例有很多相同之处，证明方法基本相同，先让学生经过自己的观察、探索发现相等的线段，再引导他们去证明。

例3

演示作图过程，让学生深刻理解

如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，D是△ABC的边BC上的一点，连接AD、BE。

求证：

AD=BE。

分析：

这是对等边三角形性质的应用。

5、议一议

☆议一议书本P6议一议

这里的两个问题都是由特殊结论归纳出一般结论。

教学时应有意识地向学生渗透这种思想方法。

让有能力的学生自己试试。

二、

随堂练习

1、《练习册》P2

2、如图，E是△ABC内的一点，AB=AC，连接

AE、BE、CE，且BE=CE，延长AE，交BC边于

点D。

求证：

AD⊥BC。

三、小结

等腰三角形的性质，常常可以简捷地证明角相等、线段相等、两直线互相垂直。

在几何解题中，不能一概依赖全等三角形，要学会选择最简的解题途径。

这一节课我们还学习了等腰三角形的性质定理及其两个推论的内容及其应用。

等腰三角形的两个底角相等及等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边上的高互相重合的性质非常重要，是我们今后证明两个角相等，两条线段相等及两条直线互相垂直的重要依据，所以同学们一定要掌握。

四、作业

书本P9习题1.21

板书设计：

§1.1、你能证明它们吗

（二）

探索——发现——猜想——证明

§1.1.3等腰三角形（三）　（3）

教学目标

1、能够用综合法证明等腰三角形的判定定理

2、借助等腰三角形的判定定理解决实际问题

3、结合实例体会反证法的含义

重点难点：

重点：

等腰三角形的判定定理

难点：

体会反证法的含义

教学方法：

观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法

教学手段：

多媒体课件

教学过程：

一、从学生原有的认知结构提出问题

上一节课，我们学习了等腰三角形的性质。

但我们可曾想过，怎样的一个三角形才是等腰三角形？

我们这节课就来研究这个问题。

我们还研究数学证明的另一种方法——反证法。

二、师生共同研究形成概念

1、议一议

☆议一议书本P7议一议

这里应引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假。

这也是获得数学结论的一条途径。

2、等腰三角形的判定定理

有两个角相等的三角形是等腰三角形。

等角对等边

∵∠A=∠B，　　∴AB=AC

要判定一个三角形是等腰三角形，除用定义外，还可以用判定定理判定。

只要发现一个三角形有两个角相等，则马上断定，这个三角形为等腰三角形。

3、讲解例题

例1如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于E。

求证：

CE=CB。

分析：

此例题是等角对等边的具体应用，比较简单，要引导学生写出解题步骤。

例2如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，求证：

△ADE是等腰三角形。

例3

如图，

中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD=CE。

求证：

是等腰三角形。

分析：

此例题是等角对等边的具体应用，引导学生写出解题步骤。

4、反证法

《李子不好吃》

古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动。

小朋友问他为何不去摘，他说：

“树长在路边，若李子好吃，早就没了！

但现在李子还有那么多，肯定李子是苦的，不好吃的。

”小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃。

王戍在说明李子不好吃时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法。

☆想一想书本P7想一想

从直观上看，学生不难得出结论，但这里要求学生不仅能借助直观得出结论，而且还要证明它，也就是要让学生体会证明的必要性。

在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法。

反证法步骤：

1）假设：

假设命题的结论不成立

2）归谬：

从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果

3）结论：

由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确

5、讲解例题

例4一个三角形中不能有两个直角。

分析：

按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A、∠B、∠C中有两个角是直角”成立，然后从这个假定出发推下去，找出矛盾。

证明：

假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，即∠A=∠B=90°，

则∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C=180°+∠C>180°。

这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立

所以一个三角形中不能有两个角是直角

例5把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。

1）我每天工作不超过24小时；

2）我们班有62人，今天出席人数为61，有同学缺席；

3）初三级有730人，有12个班，平均每个班都超过60人；

4）三角形中必有一个内角不少于60度；

5）一个三角形中不能有两个角是钝角；

6）垂直于同一条直线的两条直线平行。

分析：

通过练习让学生进一步熟悉反证法的第一步骤。

三、随堂练习

1、《练习册》P3

四、小结

反证法是数学证明方法的一种，虽然比较难理解，但我们都要想方设法弄懂它。

五、

作业

如图，在

中，∠ABC的平分线交AC于点D，DE∥BC。

求证：

△EBD是等腰三角形。

§1.1.4等腰三角形（四）　（4）

教学目标：

1、能够用综合法证明等边三角形的判定定理

2、运用等边三角形证明直角三角形的有关性质

重点难点：

重点：

等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质

难点：

运用等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质解决实际问题

教学方法：

观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法

教学手段：

多媒体课件

教学过程：

一、从学生原有的认知结构提出问题

✧如图，∠1是△ABC的一个外角，若∠B=15°，∠C=25°（15°），则∠1=

二、师生共同研究形成概念

这节课，我们来研究一种非常特殊的三角形——等边三角形。

1、等边三角形的判定

✧想一想P10

（1）、

（2）

✧让学生首先考虑一个问题：

一个三角形满足什么条件时便成为等边三角形？

✧动手探索，度量

1）三条边都相等的三角形是等边三角形

∵AB=AC=BC

∴△ABC是等边三角形

2）三个角都相等的三角形是等边三角形

两个学生演示教具说理

∵∠A=∠B=∠C

∴△ABC是等边三角形

3）有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形

或

∵AB=AC，∠B=60°∵AB=AC，∠A=60°

∴△ABC是等边三角形∴△ABC是等边三角形

等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质，除此之外，它还具有每个内角都是60°的特殊性质。

2、巩固练习

1）如图1，BC=AC，若，则△ABC是等边三角形。

2）如图2，AB=AC，BC⊥AD，BD=4，若AB=，则△ABC是等边三角形。

3）

如图3，AB=AC，AD是△ABC的一条中线，AB=5，若BD=，则△ABC是等边三角形。

3、直角三角形的特殊性质

用三角板拼等边三角形

直角三角形有什么性质？

有什么特殊性质？

☆做一做书本P10做一做

让学生通过活动发现结论，引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论还需要给予证明。

在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

这个定理成立的条件有两个：

其一，必须是直角三角形；其二，有一个锐角等于30。

在这两个条件同时具备的前提下，结论才能成立。

我们以前都是证明两线段相等或平行，而这个定理就可以用来证明一条线段是另一条线段的两倍或一半。

因此，我们以后若遇到要证明两线段不是相等，而是两倍或一半关系时，我们就要很自然地想到用这个定理来证明。

4、巩固练习

1）如图，在Rt

中，（∠B=30°），AC=6cm，则AB=；若AB=7，则AC=。

2）如图，∠BAC＝120°，AB＝AC，AB＝14，则AD=。

3）

书本P132

突出条件

5、

讲解例题

例1如图，在Rt

中，∠B=30°，BD=AD，BD=12，求DC的长。

分析：

这里要运用上面的性质两次。

解题时要注意让学生找出一些角的度数。

例2等腰三角形的底角为15，腰长为

，求腰上的高。

如图，在

中，已知AB=AC=

，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高，求CD的长。

分析：

此例要找准各角的度数，找准30度角所对的直角边。

6、随堂练习

1）书本P132、3

2）《练习册》P3

三、小结

本节课所学的内容比较多，证明三角形是等边三角形时要抓住它的判定定理；证明线段的两倍或一半关系时，往往要用到直角三角形的这个性质。

四、

作业

已知：

中，

，

，

，AB=40，

求DB的长。

板书设计：

§1.1、等腰三角形（四）

有一个角等于60°的等腰三角形在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，

是等边三角形。

那么它所对的直角边等于斜边的一半。

§1.2.1直角三角形　（5）

教学目标：

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法

3、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立

重点难点：

重点：

勾股定理及其逆定理

难点：

结合具体例子了解逆命题的概念

教学方法：

观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法

教学手段：

多媒体课件

教学过程：

一、从学生原有的认知结构提出问题

上学期，我们学习了命题和定理。

表示判断的句子就是命题，经过证明的真命题称为定理。

✧复习练习

1.每个命题都是由         、          两部分组成。

命题“对顶角相等”的条件是，结论是。

2.

“对顶角相等”是（填“真”、“假”）命题；“我们是小学生”是命题。

3.把“等腰三角形两底角相等”改写

成“如果……那么……”的形式：

。

4.如图，△ABC是Rt△，根据勾股定理可得：

。

二、师生共同研究形成概念

在八年级上学期，我们学过了勾股定理。

这节课，我们将尝试用几何语言证明勾股定理。

1、勾股定理

定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方

勾股定理是在三角形为直角三角形的前提下描绘三边之间关系的，利用勾股定理，已知直角三角形的两边可求第三边。

2、勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理的证明方法对学生来说有一定的难度，因此，只要学生能接受证明的方法和过程即可。

如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

✧练习：

如果一个三角形的三边分别是6、10、8，则这个三角形是三角形。

3、讲解例题

例1如图，BA⊥DA于A，AD=12，DC=9，CA=15，求证：

BA∥DC。

分析：

利用勾股定理的逆定理，证明∠D是直角，再根据同旁内角互补，两直线平行解决。

4、互逆命题

☆议一议书本P16议一议

勾股定理和勾股定理的逆定理中的条件和结论是互换的。

通过几对数学和生活中的命题，让学生观察这些成对命题的结论与条件之间的关系，要求学生归纳出它们的共性，以得到互逆命题的概念。

在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

注意：

✧互逆命题是相对两个命题而言的，单独一个命题称不上互逆命题。

✧一个命题是真，它的逆命题可能是真，可能是假。

✧练习：

说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。

1、初三（6）班有62位同学；2、等边对等角；3、对顶角相等；

4、平行四边形的两组对边相等；5、正方形的四条边都相等；

5、互逆定理

☆想一想书本P18想一想

这个命题的条件和结论都比较明显、简单，写出其逆命题对学生来说应该没有什么问题，关键是让学生验证逆命题的正确性，并能意识到一对互逆命题的真假性不一定一致。

一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

✧练习：

找出下列定理有哪些存在逆定理，并把它找出来。

1）矩形是平行四边形2）内错角相等，两直线平行

3）如果

，则

4）全等三角形对应角相等

5）对顶角相等

三、随堂练习

1、书本P18随堂练习1

2、《练习册》P4

四、小结

互逆命题和互逆定理的联系和区别。

五、作业

书本P21习题1.41

板书设计：

1．2直角三角形

（一）

勾股定理：

互逆定理

§1.2.2直角三角形　（6）

教学目标：

1、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力

2、了解勾股定理及其逆定理的证明方法，能够证明直角三角形全等“HL”判定定理

重点难点：

重点：

直角三角形全等“HL”判定定理

难点：

从图中找出隐含条件

教学方法：

观察实践法，分组讨论法，讲练结合法，自主探究法

教学手段：

多媒体课件

教学过程：

从学生原有的认知结构提出问题

一般三角形全等的判定方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS。

直角三角形是特殊的三角形，证明两个直角三角形全等，也有一种特殊的方法——“斜边、直角边”（“HL”）。

一、师生共同研究形成概念

1、直角三角形全等的判定方法

☆想一想书本P21来上面

先让学生思考教科书中提出的问题。

学生已经知道，两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。

但如果这个角是直角，那么就可以判定它们全等，这是因为，在直角三角形中，斜边和一条直角边确定，另一条直角边也随之确定。

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”“HL”

在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中

AB=A’B’AC=A’C’

（或BC=B’C’）

Rt△ABC≌Rt△A’B’C’

✧学法指导

1）HL是直角三角形所独有的判定方法，对于一般三角形不成立；

2）证明直角三角形全等时，如果不能利用HL证明，也可利用其他四种方法；

3）对于直角三角形的判定要善于利用从一般到特殊的学习方法来研究，先研究用一般方法证明两直角三角形全等，然后才考虑用特殊的方法——HL。

2、直角三角形全等判定方法的应用

☆做一做书本P23做一做

书本安排了一个具体的实际问题，让学生利用“HL”定理来解决、选择这个素材是为了让学生体会数学结论在实际中的应用。

应要求学生能用数学的语言清楚地表达自己的想法，并能按要求将推理证明过程书写出来。

让学生按照要求作图，并写出解题过程

☆议一议书本P22议一议

这是一个答案不惟一的开放题，需要学生灵活运用所学知识，教学中应鼓励学生积极思考，并在独立思考的基础上，通过同学之间相互交流，获得各种不同的答案。

以AB的中点为圆心，以AB的一半为半径作圆，让学生感受到C、D两点都在圆上

用圆规找出其它直角三角形，为下学期学习圆的有关知识作铺垫。

3、

讲解例题

例1在Rt△ABC中，∠C=90°，且DE⊥AB，CD=ED，求证：

AD是∠BAC的角平分线。

分析：

这是利用“HL”证明两个直角三角形全等，隐含了一条公共边。

例2如图，∠ACB=∠ADB=90°，AC=AD，E是AB上的一点。

求证：

CE=DE。

分析：

这里要证明两次三角形全等。

例3

如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD，AB=AC，求证：

EB=FC。

例4如图，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，BD=CD。

求证EB=FC。

同是一个图，已知条件也基本相同，但解题过程明显不同。

究其原因，就是加了一个条件，解题过程就简单了很多。

当条件没有说明AB=AC时，我们就不能含糊地用AB=AC这个条件。

二、随堂练习

1、书本P24随堂练习1

2、《练习册》P5

3、书本P24习题1.51

4、如图，∠B=∠E=90°，AC=DF，BF=EC。

求证：

BA=ED。

三、小结

直角三角形的判定方法有五种，“HL”只适用于直角三角形。

四、作业

书本P24习题1.52

板书设计：

§1.2直角三角形

（2）

斜边直角边定理：

如图：

已知∠ACB=∠BDA=90要使⊿ACB≌⊿BDA，还需要什么条件？

把他们写出来，并说明理由。

§1.3.1线段的垂直平分线　（7）

教学目标：

1、经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力

2、