正向思维与逆向思维.docx

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正向思维与逆向思维

正向思维与逆向思维

数学思维能力培养系列谈③

正向思维与逆向思维

厦门第一中学郑辉龙姚丽萍

一、正向思维与逆向思维

正向思维是指按常规习惯去分析问题，按常规进程进行思考、推测，是一种从已知进到未知的逻辑顺序来揭示问题本质的思维方法。

正向思维与逆向思维只是相对而言的，逆向思维是指背逆人们的习惯路线行进的思维。

听过“1美元”的故事吗？

一天，犹太富翁哈德走进纽约花旗银行的贷款部。

看到这位气度非凡的绅士，贷款部的经理不敢怠慢，赶紧招呼：

“先生，您有什么事情需要我帮忙的吗？

”“哦，我想借些钱。

”“好啊，你要借多少？

”“1美元。

”“只需要1美元？

”“不错，只借1美元，可以吗？

”“当然可以，像您这样的绅士，只要有担保多借点也可以。

”“那这些担保可以吗？

”犹太

方程的定义“求出”结果，仅有少数“偷懒”的学生逆用定义带入验证---观察口算即可获解。

（2）逆用公式。

在公式教学中应让学生明白：

所有公式都是恒等式，都可以逆用。

案例2：

简便计算

（1）

（2）

。

点评：

两道类型题摆在一起，明显结果是：

学生做题

（1）很顺，做题

（2）困难，原因在于对平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）的逆用感觉“不习惯”。

（3）逆用法则。

法则就是规律，中学数学法则大多数是可以用等式表达的运算规律，同样关注其逆用。

例如幂的运算法则用数学符号语言可表示为四个恒等式:

am·an=am+n,am÷an=am-n,（am）n=amn,（ab）m=am·bm。

案例3：

（1）计算：

（0.25）100·（-2）200；

（2）已知2m=a，32n=b，求23m+10n；

（3）已知

，

，求

。

点评：

这里的三道小题，需要学生熟练地逆用上述四个法则。

在试题命制中，经验告诉我们，凡仅仅顺用这些法则就够的题肯定是普遍都会的“送分题”，反之，只要涉及逆用这些法则的题都会成为有一定区分度的“中档题”。

事实上，只要适度的训练，提升逆向思维能力，所谓中档题也是可以转化为送分题的。

（4）注重逆命题教学。

在逆定理教学中，首先让学生明白：

不是每个定理都有逆定理的。

最经典的是“对顶角相等”就没有逆定理。

在此基础上，采用“矫枉过正”策略---偏重逆定理的应用。

在定理（包括其他命题）的教学中，可经常设置逆命题类的问题，有助于提升学生逆向思维的意识。

案例4：

我们已经学习了三角形中位线定理，如果将定理中的部分条件和结论对调后成为逆命题，是否还成立呢？

请分别判断以下两题的结论是否正确，如果正确，证明之；如果不正确，举一个反例说明。

逆命题

（1）：

如图1，△ABC中，如果点D是AB中点，DE交AC于E，DE∥BC，那么点E是AC中点，且DE=

BC。

逆命题

（2）：

△ABC中，如果点D是AB中点，DE交AC于E，DE=

BC，那么点E是AC中点，且DE∥BC。

点评：

这是开放题，没有明确结论，需要学生自己判断；这是初中几何核心定理的逆命题；这是类型相同而结论不同的“题组题”，题

（1）为真，可以证明，题

（2）为假，可以举反例。

同时，举反例训练也是培养逆向思维的重要手段。

2.习题讲评课中的培养方式。

习题讲评，应该给学生展示思维的过程。

在此，重点向学生讲清楚分析与综合的两种思维过程。

所谓综合，是从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即由因导果，是正向思维；所谓分析，是从“未知”看“须知”，逐步靠近“已知”，即执果索因，是逆向思维。

案例5：

如图2，△ABC中，∠B=2∠A，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，求证：

b2=a2+ac。

点评：

已知中只有角的关系，没有任何边的关系，如何由“角”推向“边”？

感觉很困难，正向的综合思维路难行。

不妨用逆向的分析思维：

要证：

b2=a2+ac，

只需：

b2=a（a+c），

只需：

b∶a=（a+c）∶b，

易知，线段比问题找相似，联想含b为公共边的“基本图形”（详见系列谈②），故延长CB至D，使BD=BA，连DA，因此，

只需：

△ABC∽△DAC，因∠C已是公共角，所以，

只需：

∠CAB=∠D,贴近已知的“角”了。

由于BD=BA，故∠DAB=∠D,所以，

只需：

∠CAB=

∠CBA，其实，这就是已知条件---思路接通了。

如果不细细展示分析思维，最关键的辅助项的添法学生会觉得莫名其妙。

不过书写建议还是以综合法表达妥当。

对于解题思维中分析与综合的程序，牛顿说得好：

“在自然科学里，应该像在数学里一样，在研究困难的事物时，都是应当先用分析的方法，然后才用综合的方法”。

前文指出，仅数学运算就有许多正反两向的互逆运算，现以“通分”为例，请看几道逆向思维训练示例。

案例6：

计算：

。

点评：

这个过程是通分，逆过来

这过程不妨称之为“裂项”，于是原式=

，这就是“逆通分”的裂项相消法。

类似的例子还有，化简：

（原式=

=

）。

案例7：

将分数

按从小到大的顺序排列好。

点评：

分子的最小公倍数为较小的数60，故本题另辟蹊径“不通分母通分子”，轻松地比出大小。

类似的例子还有，比大小：

与

，采用的策略是与“分母有理化”相反的“分子有理化”，

=

，

=

，两数大小一目了然。

案例8：

化简：

。

点评：

不用通常的整体通分，而是分三次“逐步通分”简便多了。

类似的例子还有，化简：

。

采用的策略则是“分组通分”。

3.复习课中的培养方式。

利用复习课，综合各种知识，介绍采用逆向思维的多种解题方法和策略。

案例9：

求证：

是无理数。

点评：

采用反证法，证明

不是有理数。

案例10：

如图3，已知E是正方形ABCD内部一点，∠ECD=∠EDC=15°，求证：

△ABE是等边三角形。

点评：

采用同一法：

如图，在正方形ABCD内部取一点E＇，使△ABE＇是等边三角形，连DE＇、CE＇，证点E＇与点E重合。

类似例子还有勾股定理逆定理的证明等。

案例11：

求使得关于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0至少有一个整数解的正整数a的值。

点评：

本题的主元无疑是x，正向思维则很容易走向求根公式或韦达定理，由于不确定有两个整数解，所以，尽管绞尽脑汁也是徒劳的。

逆向思维，聚焦于所求的是a值！

应用“不求主元求辅元”的策略：

易得a=

，由正整数a≥1得-3≤x≤1，依题意取整数x=-3,-1,0,1，所以正整数a=1或5。

案例12：

设

为互不相等的非零实数，且

，

求证：

。

点评：

看到已知条件中等量关系不少，大多数学生从正向思维出发，将连等式列成含三个方程的方程组，认为肯定可以直接求出

的值，结果总是以失败告终。

事实上，连等式是一个轮换对称式，只能列成含两个方程的不定方程组，在此，永远无法直接求出

的值。

采用华罗庚教授教给青少年学生的一种解题策略：

“退，退到不能退为止”。

先退为二元问题：

设

为互不相等的非零实数，且

，求证：

。

减元后容易多了：

移项，得

，去分母，得

，由

得

，于是

。

原命题与此结构完全相同，用类似的方法“移项、去分母”就可得证。

培养逆向思维的解题策略还有“直接不行改间接”。

比如适合选择、判断、填空题型的特值排除法、极端值验证法以及割补法、换元法等。

4.综合与实践课中的培养。

逆向思维是反其道而行之的思考方式。

反映了思维过程的间断性、突发性、反联结性,是摆脱思维定势,突破旧思想框架,产生新思想,发现新问题的重要思维方式。

司马光砸缸---不能“让人离水”就“让水离人”，是典型的逆向思维案例，曹冲称象也有异曲同工之妙。

案例13：

第二次世界大战后期，在攻打柏林的战役中，一天晚上，苏军必须向德军发起进攻。

可那天夜里天上偏偏有星星，大部队出击很难做到保持高度隐蔽而不被敌人察觉。

苏军元帅朱可夫思索了许久，猛然想到并做出决定：

把全军所有的大型探照灯都集中起来。

在向德军发起进攻的时刻，苏军的140台大探照灯同时射向德军阵地，极强的亮光把隐蔽在防御工事里的德军照得睁不开眼，什么也看不见，只有挨打而无法还击，苏军很快突破了德军的防线获得胜利。

点评：

既然无法让天色变暗，朱可夫元帅反过来在“亮”上做文章，同样达到让敌军“看不见”的目的。

类似的案例有：

问：

让你从一把椅子下通过，你打算怎样过去？

答：

将椅子举过头顶后昂首挺胸而过。

逆向思维，出奇制胜。

案例14：

聪明的猪。

从前，有个叫二愣的养殖大户，一天，二愣要杀猪了。

哪知那头猪刚被掀翻在地，就狠狠地咬了二愣一口，急急地跑进猪圈了。

这还了得！

二愣气呼呼地追进猪圈里，可是圈里有1000头猪，怎么认得出那头猪呢！

“杀！

”随着二愣一声吼，1000头猪全部被强行赶进屠宰场。

“都杀了吗？

”伙计们怯生生地问。

“不。

”二愣忽然想出个怪主意，“把这1000头猪排成一行，先杀第一头，然后隔一头杀一头；杀完第一遍后，还是原来的队形，再用同样的方法杀第二遍；这样一遍一遍地杀下去…”二愣停了停说，“最后只留下一头猪。

”二愣心想，1000头猪最后只留下一头，看你还能活！

哪里知道，这是一头聪明的猪，趁着混乱，它很快找到了避难的位置，居然躲过了这一刀。

请问，这头猪到底排在什么位置上呢？

点评：

若正向思维，则写1000个数字，一笔一笔一次一次地划去奇数，够繁够乱的。

倒过来想，这只聪明的猪最后一轮必在2号位，倒数第二轮必在4号位，倒数第三轮必在8号位，…，规律出来了，倒数n轮必在2n号位，由512=29<1000<210=1024,得，这只聪明的猪排在512号位。

类似的例子还有“睡莲满池问题”：

池塘里的睡莲面积每天长大一倍。

100天长满整个池塘，那么第98天长到（）个池塘？

案例15：

95名乒乓球运动员进行单淘汰赛,最后决出冠军,共需打多少场球?

点评：

常规解答要列许多行算式，还要考虑有人轮空。

逆向思维，每场比赛淘汰1人，决出冠军，要淘汰94人，所以共需打94场球。

规律：

若有n人参赛，则共需打n-1场球。

“1美元”故事中哈德先生的回答是“啊，是这样的：

我来贵行之前，问过好几家金库，他们保险箱的租金都很昂贵。

而您这里的租金很便宜，一年才花6美分。

”类似的案例还有许多。

比如：

1985年的一天，英航排除各种声音，坚持按既定航班把仅有的一位乘客从东京运到伦敦。

结果是该航空公司名声鹊起，旅客大增。

这是观念逆向，谁说学数学没用呢！