人教版必修一数学教案.docx
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人教版必修一数学教案
人教版必修一数学教案
【篇一：
新课标人教版高中数学必修1优秀教案全套】
备课资料
［备选例题］
【例1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示:
（1）被3除余1的自然数组成的集合;
（2）由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合;
（3）二次函数y=x2+2x-10的图象上的所有点组成的集合;
（4）设a、b是非零实数,求y=abab的所有值组成的集合.++|a||b||ab|
思路分析：
本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
解：
（1）被3除余1的自然数有无数个,这些自然数可以表示为3n+1（n∈n）.用描述法表示为{x|x=3n+1,n∈n}.
（2）由题意得满足条件的正整数有:
3,5,7,11,13,17,19.则此集合中的元素有7个,用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}.
（3）满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示.通常用有序数对（x,y）表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为{（x,y）|y=x2+2x-10}.
（4）当ab0时,y=abab=-1;当ab0时,则a0,b0或a0,b0.++|a||b||ab|
abababab=3;若a0,b0,则有y==-1.++++|a||b||ab||a||b||ab|若a0,b0,则有y=
∴y=abab的所有值组成的集合共有两个元素-1和3.则用列举法表示为{-1,3}.++|a||b||ab|
【例2】定义a-b={x|x∈a,x?
b},若m={1,2,3,4,5},n={2,3,6},试用列举法表示集合n-m.分析:
应用集合a-b={x|x∈a,x?
b}与集合a、b的关系来解决.依据定义知n-m就是集合n中除去集合m和集合n的公共元素组成的集合.观察集合m、n,它们的公共元素是2,3.集合n中除去元素2,3还剩下元素6,则n-m={6}.
答案：
{6}.
（设计者：
张新军）
设计方案
（二）
教学过程
导入新课
思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到:
一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”,那么,集合的含义是什么呢?
这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合,引出
课题.
思路2.开场白:
集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生,其实在初中我们已经有所接触,比如自然数集、有理数集,一元一次不等式x-35的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么？
（提问学生）圆是到一个定点的距离等
于定长的点的集合.接着点出课题.
推进新课
新知探究
提出问题
教师利用多媒体设备向学生投影出下面实例,这5个实例的共同特征是什么?
（1）1~20以内的所有质数;
（2）我国古代的四大发明;
（3）所有的安理会常任理事国;
（4）所有的正方形;
（5）北京大学2004年9月入学的全体学生.
活动：
教师组织学生分小组讨论,每个小组选出一位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出5个实例的特征,并给出集合的含义.
引导过程:
①一般地,指定的某些对象的全体称为集合（简称为集）,集合中的每个对象叫做这个集合的元素.
②集合常用大写字母a,b,c,d,…表示,元素常用小写字母a,b,c,d,…表示.
③集合的表示法:
a.自然语言（5个实例）;b.字母表示法.
④集合元素的性质:
a.确定性:
即任给一个元素和一个集合,那么这个元素和这个集合的关系只有两种:
这个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集合;b.互异性:
一个给定集合的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的;c.无序性:
集合中的元素是没有顺序的.⑤集合相等:
如果两个集合中的元素完全相同,那么这两个集合是相等的.
⑥元素与集合的关系:
“属于”和“不属于”分别用“∈”和“?
”表示.
元素确定性的符号语言表述为:
对任意元素a和集合a,要么a∈a,要么a?
a.
⑦在初中我们学过了一些数的集合,国际标准化组织（iso）制定了常用数集的记法:
自然数集（包含零）:
n,正整数集:
n*（n+）,整数集:
z,有理数集:
q,实数集:
r.
因此字母n、z、q、r不能再表示其他的集合,否则会出现混乱的局面.
提出问题
（1）请列举出“小于5的所有自然数组成的集合a”.
（2）你能写出不等式2-x3的所有解吗？
怎样表示这个不等式的解集？
活动：
学生回答后,教师指出:
①在数学中,为书写规范,我们把封闭曲线简化为一个大括号,然后把元素一一列举出来,元素与元素之间用逗号隔开写在大括号内来表示这个集合.这种表示集合的方法称为列举法.如本例可表示为a={0,1,2,3,4}.
②描述法:
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来,写成{x|p（x）}的形式.其中x为元素的一般特征,p（x）为x满足的条件.如数集常用{x|p（x）}表示,点集常用{（x,y）|p（x,y）}表示.应用示例
思路1
1.课本第3页例1.
思路分析：
用相应的数学知识明确集合中的元素,再写在大括号内.
点评：
本题主要考查集合表示法中的列举法.如果一个集合是有限集,并且元素的个数较少时,通常选择列举法表示,其特点是非常显明地表示出了集合中的元素,是常用的表示法;列举法表示集合的步骤:
（1）用字母表示集合;
（2）明确集合中的元素;（3）把集合中所有元素写在大括号“{}”内,并写成a={……}的形式.
变式训练
请试一试用列举法表示下列集合:
（1）a={x∈n|且9∈n};9-x
（2）b={y|y=-x2+6,x∈n,y∈n};
（3）c={（x,y）|y=-x2+6,x∈n,y∈n}.
分析:
本题考查列举法与描述法的相互转化.明确各个集合中的元素后再写在大括号内.
（1）集合a中元素x满足9均为自然数;9-x
（2）集合b中y值为函数y=-x2+6的函数值的集合;
（3）集合c中元素为点,抛物线上横、纵坐标均为自然数的点.
答案：
（1）a={0,6,8};
（2）b={2,5,6};
（3）c={（0,6）,（1,5）,（2,2）}.
2.课本第4页例2.
思路分析：
本题重点学习用描述法表示集合.用一个小写英文字母表示集合中的元素,作为集合中元素的代表符号,找到集合中元素的共同特征,并把共同特征用数学符号来表达,然后写在大括号“{}”内.
点评：
本题主要考查集合的表示方法,以及应用知识解决问题的能力;描述法表示集合的步骤:
（1）用字母分别表示集合和元素,
（2）用数学符号表达集合元素的共同特征;（3）在大括号内先写上集合中元素的代表符号及取值（或变化）范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.并写成a={…|…}的形式;描述法适合表示有无数个元素的集合,当集合中的元素个数较少时,通常用列举法表示.
变式训练
课本p5练习2.
思路2
1.下列所给对象不能构成集合的是（）
a.一个平面内的所有点
b.所有大于零的正数
c.某校高一（4）班的高个子学生
d.某一天到商场买过货物的顾客
思路分析：
本题考查集合中元素的确定性.由集合的含义,可知组成集合的元素必须是明确的,不能模棱两可.在a中对于任何一个点要么在这个平面内,要么不在这个平面内,因而它可以组成一个集合;在b中由于大于零的正数很明确,因此b也能组成一个集合;c中由于“高个子”没有一个确定的标准,因而不能判定一个学生到底是不是高个子,故它不能组成集合;而d中对于任何一个顾客在这一天是否到过某商场,以及是否买过货物是非常明确的,因此它也能组成一个集合.
答案：
c
变式训练
下列各组对象中不能构成集合的是（）
a.高一
（1）班全体女生
b.高一
（1）班全体学生家长
c.高一
（1）班开设的所有课程
d.高一
（1）班身高较高的男同学
分析:
判断所给对象能否构成集合的问题,只需根据构成集合的条件,即集合中元素的确定性便可以解决.因为a、b、c中所给对象都是确定的,从而可以构成集合;而d中所给对象不确
定,原因是找不到衡量学生身高较高的标准,故不能构成集合.若将d中“身高较高的男同学”改为“身高175cm以上的男同学”,则能构成集合.
答案：
d
2.用另一种形式表示下列集合:
（1）{绝对值不大于3的整数};
（2）{所有被3整除的数};
（3）{x|x=|x|,x∈z且x5};
（4）{x|（3x-5）（x+2）（x2+3）=0,x∈z};
（5）{（x,y）|x+y=6,x0,y0,x∈z,y∈z}.
思路分析：
用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
答案：
（1）{绝对值不大于3的整数}还可以表示为{x||x|≤3,x∈z},也可表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.
（2）{x|x=3n,n∈z}.
（3）∵x=|x|,∴x≥0.
又∵x∈z且x5,
∴{x|x=|x|,x∈z且x5}还可以表示为{0,1,2,3,4}.
（4）{-2}.
（5）{（1,5）,（2,4）,（3,3）,（4,2）,（5,1）}.
变式训练
用适当的形式表示下列集合:
（1）绝对值不大于3的整数组成的集合;
（2）所有被3整除的数组成的集合;
（3）方程（3x-5）（x+2）（x2+3）=0实数解组成的集合;
（4）一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.
分析:
元素较少的有限集宜采用列举法;对无限集或元素较多的有限集宜采用描述法.答案：
（1）{x||x|≤3,x∈z}或{-3,-2,-1,0,1,2,3};
（2）{x|x=3n,n∈z};（3）{5,-2};3
（4）{（x,y）|y=x+6}.
3.已知集合a={x|ax2-3x+2=0,a∈r},若a中至少有一个元素,求a的取值范围.
思路分析：
对于方程ax2-3x+2=0,a∈r的解,要看这个方程左边的x2的系数,a=0和a≠0方程的根的情况是不一样的,则集合a的元素也不相同,所以首先要分类讨论.
解：
当a=0时,原方程为-3x+2=0?
x=2,符合题意;3
?
a≠0,9解得a≠0且a≤.8?
9-8a≥0.当a≠0时,方程ax2-3x+2=0为一元二次方程,则?
综上所得a的取值范围是{a|a≤
4.用适当的方法表示下列集合:
（1）方程组?
9}.8?
2x-3y=14,的解集;
?
3x+2y=8
（2）1000以内被3除余2的正整数所组成的集合;
（3）直角坐标平面上在第二象限内的点所组成的集合;
（4）所有正方形;
（5）直角坐标平面上在直线x=1和x=-1的两侧的点所组成的集合.
分析:
本题考查集合的表示方法.所谓适当的表示方法,就是较简单、较明了的表示方法.由于方
?
2x-3y=14,程组?
的解为x=4,y=-2.故
（1）宜用列举法;
（2）中尽管是有限集,但由于它的元素个3x+2y=8?
数较多,所以用列举法表示是不明智的,故用描述法;（3）和（5）也宜用描述法;而（4）则宜用列举法为好.
解：
（1）{（4,-2）};
（2）{x|x=3k+2,k∈n且x1000};
（3）{（x,y）|x0且y0};
（4）{正方形};
（5）{（x,y）|x-1或x１}.
知能训练
课本p5练习1、2.
拓展提升
1.已知a={x∈r|x=|a||b||c||ab||ac||bc||abc|,abc≠0},用列举法表示集++++++abcabacbcabc
合a.
分析:
解决本题的关键是去掉绝对值符号,需分类讨论.
解：
题目中x的取值取决于a、b、c的正负情况,可分成以下几种情况讨论:
（1）a、b、c全为正时,x=7;
（2）a、b、c两正一负时,x=-1;
（3）a、b、c一正两负时,x=-1;
（4）a、b、c全为负时,x=-1.
∴a={7,-1}.
注意：
（2）、（3）中又包括多种情况（a、b、c各自的正负情况）,解题时应考虑全面.
2.已知集合c={x|x=a+b,a∈a,b∈b}.
（1）若a={0,1,2,3},b={6,7,8,9},求集合c中所有元素之和s;
（2）若a={0,1,2,3,4,…,2005},b={5,6,7,8,9},试用代数式表示出集合c中所有元素之和s;
（3）联系高斯求s=1+2+3+4+…+99+100的方法,试求出
（2）中的s.
思路分析：
先用列举法写出集合c,然后解决各个小题.
答案：
（1）列举法表示集合c={6,7,8,9,10,11,12},进而易求得s=6+7+8+9+10+11+12=63.
（2）列举法表示集合c={5,6,7,…,2013,2014},由此可得s=5+6+7+…+2013+2014.
课堂小结
在师生互动中,让学生了解或体会下列问题:
（1）本节课我们学习过哪些知识内容?
（2）你认为学习集合有什么意义？
（3）选择集合的表示法时应注意些什么?
【篇二：
人教a版高中数学必修1全套教案】
课题：
1.1集合
教材分析：
集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方
面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课型：
新授课
教学目标：
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
教学重点：
集合的基本概念与表示方法；
教学难点：
运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：
一、引入课题
军训前学校通知：
8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本p2-p3内容
二、新课教学
（一）集合的有关概念
1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.思考1：
课本p3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4.关于集合的元素的特征
（1）确定性：
设a是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是a的元素，或者不是a的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：
一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：
构成两个集合的元素完全一样
5.元素与集合的关系；
（1）如果a是集合a的元素，就说a属于（belongto）a，记作a∈a
（2）如果a不是集合a的元素，就说a不属于（notbelongto）a，记作a?
a（或aa6.常用数集及其记法
非负整数集（或自然数集），记作n
正整数集，记作n*或n+；
整数集，记作z
有理数集，记作q
实数集，记作r
（二）集合的表示方法
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
（1）列举法：
把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：
{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
例1．（课本例1）
思考2，引入描述法
说明：
集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
（2）描述法：
把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
如：
{x|x-32}，{（x,y）|y=x2+1}，{直角三角形}，?
；
例2．（课本例2）
说明：
（课本p5最后一段）
思考3：
（课本p6思考）
强调：
描述法表示集合应注意集合的代表元素
{（x,y）|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：
{整数}，即代表整数集z。
辨析：
这里的{}已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。
下列写法{实数集}，{r}也是错误的。
说明：
列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（三）课堂练习（课本p6练习）
三、归纳小结
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出集合与集合的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明，然后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法。
四、作业布置
书面作业：
习题1.1，第1-4题
课题:
1.2集合间的基本关系
教材分析：
类比实数的大小关系引入集合的包含与相等关系
了解空集的含义
课型：
新授课
教学目的：
（1）了解集合之间的包含、相等关系的含义；
（2）理解子集、真子集的概念；
（3）能利用venn图表达集合间的关系；
（4）了解与空集的含义。
教学重点：
子集与空集的概念；用venn图表达集合间的关系。
教学难点：
弄清元素与子集、属于与包含之间的区别；
教学过程：
五、引入课题
1、复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填以下空白：
（1）0n；（2
；（3）-1.5r
2、类比实数的大小关系，如57，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
（宣
布课题）
六、新课教学
（一）集合与集合之间的“包含”关系；
a={1，2，3}，b={1，2，3，4}
集合a是集合b的部分元素构成的集合，我们说集合b包含集合a；
如果集合a的任何一个元素都是集合b的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合a是集合b的子集（subset）。
记作：
a?
b（或b?
a）
读作：
a包含于（iscontainedin）b，或b包含（contains）a
当集合a不包含于集合b时，记作
ab
用
a?
b（或b?
a）
（二）
a?
b且b?
a，则a=b中的元素是一样的，因此a=b
?
a?
b即a=b?
?
b?
a?
练习
结论：
任何一个集合是它本身的子集
（三）真子集的概念
若集合a?
b，存在元素x∈b且x?
a，则称集合a是集合b的真子集（propersubset）。
记作：
ab（或ba）
读作：
a真包含于b（或b真包含a）
举例（由学生举例，共同辨析）
（四）空集的概念
（实例引入空集概念）
不含有任何元素的集合称为空集（emptyset），记作：
?
规定：
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
（五）结论：
1a?
a2a?
b，且b?
c，则a?
c○○
（六）例题
（1）写出集合{a，b}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。
（2）化简集合a={x|x-32},b={x|x≥5}，并表示a、b的关系；
（七）课堂练习
（八）归纳小结，强化思想
两个集合之间的基本关系只有“包含”与“相等”两种，可类比两个实数间的大小关系，同时还要注意区别“属于”与“包含”两种关系及其表示方法；
（九）作业布置
1、书面作业：
习题1.1第5题
2、提高作业：
1已知集合a={x|ax5}，b={x|x≥2}，且满足a?
b，求实数a○
的取值范围。
2设集合a={○四边形}，b={平行四边形}，c={矩形}，
d={正方形}，试用venn图表示它们之间的关系。
课题：
1.3集合的基本运算
教学目的：
（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
课型：
新授课
教学重点：
集合的交集与并集、补集的概念；
教学难点：
集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”；
教学过程：
七、引入课题
我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？
思考（p9思考题），引入并集概念。
八、新课教学
1.并集
一般地，由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，称为集合a与b的并集（union）
记作：
a∪b读作：
“a并b”
即：
a∪b={x|x∈a，或x∈b}
venn图表示：
（重复元素只看成一个元素）。
例题（p9-10例4、例5）
问题：
在上图中我们除了研究集合a与b的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合a与b的交集。
2.交集
一般地，由属于集合a且属于集合b的元素所组成的集合，叫做集合a与b的交集（intersection）。
记作：
a∩b读作：
“a交b”
即：
a∩b={x|∈a，且x∈b}
交集的venn图表示
说明：
两个集合求交集，结果还是一个集合，
是由集合a与b的公共元素组成的集合。
例题（p9-10例6、例7）
拓展：
求下列各图中集合a与b的并集与交
集
a
集
3.补集
全集：
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universe），通常记作u。
补集：
对于全集u的一个子集a，由全集u中所有不属于集合a的所有元素组成的集合称为集合a相对于全集u的补集（complementaryset）,简称为集合a的补集，
记作：
cua即：
cua={x|x∈u且x∈a}
补集的venn图表示
说明：
补集的概念必须要有全集的限制
例题（p12例8、例9）
4.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，
在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发
去揭示、挖掘题设条件，结合venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。
5.集合基本运算的一些结论：
a∩b?
a，a∩b?
b，a∩a=a，a∩?
=?
a∩b=b∩a
a?
a∪b，b?
a∪b，a∪a=a，a∪?
=a,a∪b=b∪a（cua）∪a=u，（cua）∩a=?
若a∩b=a，则a?
b，反之也成立
若a∪b=b，则a?
b，反之也成立
若x∈（a∩b），则x∈a且x∈b
若x∈（a∪b），则x∈a，或x∈b
6.课堂练习
（1）设a={奇数}、
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