式中，k取整数；Ak和k分别可以取多个离散值。
上式可以展开为
Sk（t）=Akcosθkcosω0t—Aksinθksinω0t（1-2）
令Xk=AkcosθkYk=-Aksinθk
则信号表示式变为
Sk（t）=Xkcosω0t+Yksinω0t（1-3）
Xk和Yk也是可以取多个离散值的变量。
从上式看出，k（t）可以看作是两个正交的振幅键控信号之和。
本课题采用了正交调幅法。
在发送端调制器中串/并变换使得信息速率为Rb的输入二进制信号分成两个速率为Rb/2的二进制信号，2/4电平转换将每个速率为Rb/2的二进制信号变为速率为Rb/8的电平信号，然后分别与两个正交载波相乘，再相加后即得16QAM信号
下图是16QAM的调制框图。
已调信号Y
基带信号X
Q
图1-516QAM调制框图
解调是调制的逆过程，在接收端解调器中可以采用正交的相干解调方法。
接受到的信号分两路进入两个正交的载波的相干解调器，再分别进入判决器形成L进制信号并输出二进制信号，最后经并/串变换后得到基带信号。
下图为16QAM解调框图：
接收信号
图1-616QAM解调框图
1.3.216QAM星座图映射
将等概分布的0、1信号映射到16QAM星座图上。
每四个bit构成一个码子，具体实现的方法是，将输入的信号进行串并转换分成两路，分别叫做I路和Q路。
再把每一路的信号分别按照两位格雷码的规则进行映射，这样实际上最终得到了四位格雷码。
为了清楚说明，参看表1-1
表1-1两位格雷码的映射规律
两位0、1码
映射后（按格雷码）
00
-3
01
-1
11
1
10
3
1.3.316QAM抽样判决
经过前边的匹配滤波器解调或者称为相关解调产生了一组向量，在这里就是一个一维的向量，根据最大后验概率（MAP）准则（由于各个信号的先验概率相等，所以页可以认为是最大似然准则），得到了最小距离检测。
具体在本仿真系统中，判断为各个信号的门限如表2所示。
判决后得到的数据再按照格雷码的规则还原成0、1信号，最终将两路0、1信号合成一路0、1信号，用来同最初的信号一起决定误码率。
表1-2判决电平对应表
判决前的信号的幅度
对应的判决后的幅度
－3
－1
1
3
1.3.416QAM误码率曲线
对于16QAM信号星座图等效为在两个正交载波上的两个PAM信号，其中每一个具有4个信号点。
因为在解调器中可以将相位正交的两个信号分量完全分开，所以QAM的错误概率可以由PAM的错误概率求得。
16QAM系统的正确判决概率是
（1-4）
式中，
是4元PAM的错误概率，在等效QAM系统的每一个正交信号中，4元PAM具有一半的平均功率，通过适当的修改4元PAM的错误概率，可以得到
（1-5）
其中
是平均符号SNR。
因此，16QAM的错误概率是
（1-6）
1.3.516QAM信号与其它调制信号的性能比较
16QAM和16PSK
星座图中相邻点欧氏距离直接代表这噪声容限的大小。
按最大振幅相等，画出16QAM信号和16PSK信号的星座图。
设其最大振幅为AM，则16PSK信号的相邻矢量端点的欧氏距离等于
（1-7）
而16QAM信号的相邻点欧氏距离等于
（1-8）
d2和d1的比值就代表这两种体制的噪声容限之比。
图1-7欧氏距离
按上两式计算，d2超过d1约1.57dB。
但是，这时是在最大功率（振幅）相等的条件下比较的，没有考虑这两种体制的平均功率差别。
16PSK信号的平均功率（振幅）就等于其最大功率（振幅）。
而16QAM信号，在等概率出现条件下，可以计算出其最大功率和平均功率之比等于1.8倍，即2.55dB。
因此，在平均功率相等条件下，16QAM比16PSK信号的噪声容限大4.12dB。
二、衰落信道
2.1通信系统信道模型及其分类
各种发送信息传送到既定的信宿，可选用适于传输的物理媒体，完成通信功能。
连接发信号与收信号设备、适用于不同类型通信业务的各种物理媒体通称为信道。
信道可分为有界与无界两大类，即通常所说的有线信道与无线信道。
前者如双绞线、电缆、光纤、波导等，后者为自由空间提供的各种频段或波长的电磁波传播信道。
根据各种信道不同的特征和参量及其变化情况，又将它们分为恒参信道和随参信道。
前者如有线信道、微波与卫星信道等，后者如无线系统的短波和超短波散射信道。
收信者
一般地，如单指传输媒体而言称为狭义信道。
在具体的通信系统构成中，往往把信源发出的模拟信号和数字编码基带信号视为信息部分，从调制器到接收端解调器这一中间变换历程中。
经过了包括物理媒体在内的线路设备（如交换、放大、中继等中间部件）传输路径，因此将图3-1所表示的调制信道和编码信道称为广义信道。
信源
调制信道
编码信道
图2-1信道结构图
2.1.1恒参信道
恒参信道是指由架空明线、电缆、中长波地波传输，超短波及微波视距传输，人造卫星中继，光导纤维以及光波视距传输等传输媒体构成的信道。
恒参信道以有线信道为最典型，其特征参数主要是频率特征，如幅度频率特征与相位频率特征及频率漂移等。
反映在时域，如信道时延、抖动，尚有电平波动和非线性等。
其中，幅度频率特性，就理想而言，可表示为理想传输函数。
2.1.2随参信道
随参信道包括短波电离层反射、超短波流星余迹散射，超短波及微波对流层散射，超短波电离层散射以及超短波超视距绕射等传输媒质所分别构成的信道。
随参信道的特性比恒参信道要复杂的多。
由于地面以上不同高度大气的电离层浓度不同，并随机流性变化，对短波传输具有反射作用，对超短波具有对流层散射作用。
乘性干扰的现象表现为各种类型的衰落，在多径信道中，发送端发出的信号通过多个反射之后沿多条路径到达接收端，这些路径具有不同的时延和不同的接收强度，它们之间的相互作用就形成了衰落。
衰落可分为以下三种情况：
（1）慢衰落。
它是由电离层随机变化引起的衰落。
（2）快衰落。
它是由于短波信道的多径引起的衰落，对信号的影响更为严重。
由于发射电磁波束传播到不同的电离层，反射后到地面构成不同的信号路径而至接收天线，也可能是地面反射回电离层经两次反射后到达接收天线。
（3）选择性衰落。
频率选择性衰落是由于多径衰落导致的幅度随机性起伏衰落和相位随机性变化所引起的。
下面我们来介绍两个非常重要的衰落信道。
（1）瑞利衰落信道。
瑞利衰落信道是移动通信中相当重要的衰落信道，它在很大程度上影响着移动通信系统的质童。
在移动通信中，发送端和接收端都可能处在不停的运动状态之中，发送端和接收端之间的相对运动将产生多普勒频移。
多普勒频移与运动速度和方向有关，它的计算公式为式（3-1）。
（2-1）
其中，v是发送端和接收端的相对运动速度，
是运动方向与发送端和接收端连线之间的夹角，
是载波的波长。
（2）伦琴衰落信道。
在移动通信系统中，如果发送端和接收端存在一条占优势的视距传播路径，这种信道就可以模拟成伦琴衰落信道。
当发送端和接收端既存在视距传播路径，又有多条反射路径时，它们之间的信道可以利用Simulink中的伦琴衰落信道模块和多径瑞利衰落信道模块的组合来进行仿真。
2.2瑞利衰落信道的统计模型
衰落信道的统计特征的模型可以用几种概率分布表示。
当信道中传送到接收机的信号的散射分量数目很大时，如电离层和对流层中的信号传播，应用中心极限定理可得到信道冲激响应的高斯过程模型，如果该过程是零均值的，那么任何时刻信道响应的包络都具有Rayleigh概率分布，而相位在（0,2
）区间内是均匀分布的。
瑞利分布的概率密度函数为：
（2-2）
是包络检波之前所接收电压信号的均方根值，
是包络检波之前所接收信号包络的时间平均功率。
瑞利分布的均值
为：
（2-3）
瑞利分布的方差为：
（2-4）
瑞利信号的均方根为：
（2-5）
瑞利分布的概率密度函数为：
图2-2瑞利分布的概率密度函数
2.3通信系统中噪声概述及高斯白噪声
2.3.1噪声概述
信号在信道中传输，要受到信道特性及噪声的影响，致使信号接收造成某些差错。
此时受到干扰及噪声影响的信号可称为受扰信号。
加性干扰的噪声其来源可分为人为噪声、自然噪声和内部噪声三个方面。
通常将宇宙噪声、散弹噪声和热噪声归为起伏噪声，它们的统计特性基本上是高斯分布。
2.3.2高斯白噪声
在研究通信系统时，为了分析方便，把噪声假想成一种理想化的形式，认为它通信的频段不受限于实际通信系统的频段，并包括电磁辐射全部可见频率，这种噪声称为白噪声。
由于高斯过程的普遍存在和高斯噪声过程在通信中的重要意义，我们归纳它们的统计特征的特点。
高斯随机过程的一维统计特性只取决于均值和方差，二维统计特性主要取决于自协方差或自相关函数。
高斯过程若广义平稳，则同时也严格平稳。
窄带高斯噪声及其同相、正交分量均值皆为0，方差均等于窄带高斯噪声本身的方差，同相分量与正交分量不相关且统计独立。
窄带噪声包络为瑞利分布，相位为均匀分布。
载波信号加窄带噪声一般为赖斯分布，当信号幅度很大时，为高斯分布：
幅度很小时，接近于瑞利分布；信号包络与噪声包络相差不大时，为赖斯分布。
本设计中采用了加性高斯白噪声，它的幅度分布服从高斯分布，而它的功率谱密度又是均匀分布的，所以r（t）与s（t）不会有任何失真。
在信道中加入高斯白噪声，可以观察信号经过信道的变化情况。
产生高斯白噪声序列的方法：
假设信道以高斯白噪声相加来恶化信号，如下图所示。
图2-3通过AWGN信道的接收信号模型
在
间隔内，接收信号可以表示为：
（
）（2-6）
其中n（t）表示具有功率密度谱
（W/Hz）的加性高斯白噪声的样本函数。
噪声性能指标：
信噪比SNR：
（dB）（2-7）
噪声平均功率：
（2-8）
（其中
为功率谱密度，
为带宽）
2.4通信系统的主要性能
通信系统的性能指标涉及其有效性、可靠性、适应性、经济性、标准性、可维护性等。
尽管不同的通信业务对系统性能的要求不尽相同，但从研究信息传输的角度来说，通信的有效性和可靠性是主要的矛盾所在。
所谓有效性是指传输一定信息量时所占用的信道资源（频带宽度和时间间隔），或者说是传输的“速度”问题；而可靠性则是指接收信息的准确程度，也就是传输的“质量”问题。
这两个问题相互矛盾而又相对统一，并且还可以进行互换。
由于模拟通信系统和数字通信系统之间的区别，两者对有效性和可靠性的要求及度量的方法不尽相同。
模拟通信系统的有效性可用有效传输频带来度量，同样的消息用不同的调制方式，则需要不同的频带宽度。
可靠性通常用接收端解调器输出信噪比来度量。
输出信噪比越高，通信质量就越好。
不同调制方式在同样信道信噪比下所得到的解调后的输出信噪比是不同的。
数字通信系统的有效性可用传输速率和频带利用率来衡量，对于其可靠性可用差错率来衡量。
差错率常用误码率和误信率表示。
其中，误码率的计算公式如下：
（2-9）
三、无线衰落信道仿真程序设计
3.1仿真设备
装有MATLAB的PC机一台
3.2系统整体框图
图3-1系统整体框图
3.3QAM调制解调
图3-2QAM调制解调流程图
3.4瑞利信道仿真模块
利用窄带高斯过程的特性，其振幅服从瑞利分布。
首先产生独立的复高斯噪声的样本，并经过FFT后形成频域的样本，然后与S（f）开方后的值相乘，以获得满足多普勒频谱特性要求的信号，经IFFT后变换成时域波形，再经过平方，将两路的信号相加并进行开方运算后，形成瑞利衰落的信号r（t）。
图3-3瑞利信道仿真方法
四、设计与仿真
4.116QAM调制模块的建立与仿真
16QAM调制解调原理进行了分析，这一章我将对系统仿真框图中的各个模块进行简单的介绍：
4.1.1信号源
本程序中，信号源为8位二进制代码[-11-1111-1-1]，sigexpand函数的作用是将代码扩展为码元宽度为1的双极性波形，如下图所示：
图4-1星座图
4.1.2串并转换
信号源通过串并变换，将原来的一路信源信号变成两路信号，分别为上支路信号和下支路信号，独立地进行调制和解调。
串并变换的规则是根据序列编号的奇偶行，将编号为奇的码元编成一路信号，将编号为偶的码元编成一路信号。
经过串并转换后，并行输出的每一路码元传输速率降为原来的一半即Rb/2.
输入d：
-11-1111-1-1
上支路d_NRZ1：
-1-11-1
下支路d_NRZ2：
111-1
图4-2串并转换后上下支路信号时域波形图
4.1.32-4电平转换
2-4电平转换就是将输入信号的2电平信号状态经过转换后变成相应的4电平信号。
这里选择的映射关系如下所示：
表4-1电平映射关系
映射前数据
双极性
电平/V
00
-1-1
-3
01
-11
-1
10
1-1
1
11
11
3
根据以上的映射关系，可得到上下支路分别为
上支路d_NRZ1：
-1-11-1
下支路d_NRZ2：
111-1
2-4电平转换信号：
上支路d_NRZ1：
-1-11-1
2-4电平转换后：
-31
下支路d_NRZ2：
111-1
2-4电平转换后：
31
图4-32-4电平转换后上下支路信号时域波形图
这里4电平信号的码元传输速率已降为Rb/4。
4.1.4增加载波
在本课题中，选用的载波是载波幅度A=1，载波频率fc=2Hz,上支路分量的载波是h1t=A*cos（2*pi*fc*t）,正交分量的载波是h2t=A*sin（2*pi*fc*t）。
上下支路信号在加载波之前还经过平滑处理，以滤除较高频率的信号，使实验结果更加理想。
上下支路信号加载波后的图形为：
图4-4上下支路调制信号时域波形图
4.1.5调制信号形成
上下支路调制信号形成后，将两个分量相加，既可得到16QAM调制信号，如下图所示：
图4-5已调信号波形图
4.216QAM调制信号的噪声叠加
（1）高斯噪声
本次仿真采用的噪声是高斯白噪声，这是一种最常见的噪声，白噪声的功率谱密度在所有频率上均为一常数，且仅在t=0时才相关，而在任意两个时刻的随机变量都是不相关的。
对已调制信号可采用awgn函数添加加性高斯噪声。
y=awgn（m,n,p）产生一个m行n列的高斯白噪声的矩阵，p以dBW为单位指定输出噪声的强度。
为使解调效果较好，采用噪声的强度较小，设置Pn=-10dB。
（2）瑞利信道仿真
另外产生一个瑞利信道，并使已调信号通过此信道，统计此路解调信号的误码率，并与高斯信道下的进行对比。
Matlab仿真步骤：
（1）首先确定接收机速率，载波频率，多普勒频移和
的N点；
（2）根据书上多普勒平移公式，计算出
的正频率部分频域值，对其取反，合成得到全频域的
（3）在matlab生成两个独立的复数高斯噪声：
对于噪声一，在时域信号产生N点高斯噪声信号，对该号作快速傅里叶变换（FFT）后得到复数高斯信号频谱；同样的方法再合成高斯噪声二；
（4）将多普勒功率谱分别与复数高斯噪声信号相乘，再求快速傅里叶反变换（IFFT），得到时域信号；
（5）对IFFT后的信号求模后分别平方相加，最后开方后即得到瑞利衰落信号。
chan=rayleighchan（1/10000,100）;%产生瑞利信道
fadedSig=filter（chan,s_16qam）;%使信号通过瑞利信道
4.316QAM解调模块的建立与仿真
系统先前所得的16QAM调制信号通过高斯白噪声信道以后便可以解调了。
本文所采用的解调器原理为相干解调法，即已调信号与载波相乘，送入到低通滤波器，其对应原理图中信号输入并与载波相乘后通过LPF的部分，输出送入到判决器判决，再经4-2电平转换和并串转换即可得到解调信号。
4.3.1滤波器
IIR滤波器采用的巴特沃斯低通滤波器有现成的模型，我们可以加以利用，因此在本文涉及的仿真中滤波器均选择巴特沃斯低通滤波器。
巴特沃斯低通滤波器的标准形式为：
[b,a]=butter（N,W0）;
y=filter（b,a,x）;
N表示要选取的低通滤波器的阶数，W0表示滤波器的截止频率，[b,a]为滤波器返回的特性参数。
在第二行程序中，x表示输入序列，y表示输出序列。
整个函数表示信号通过滤波器的过程。
图4-6上下支路通过低通滤波器信号时域波形图
4.3.24-2电平转换
抽样判决是在每个码元中间抽样，并用几个判决语句进行判决，例如当码元幅度大于1时，判为3。
4-2电平转换是2-4电平转换的逆过程，其映射关系如下图所示：
表4-2电平映射关系
映射前数据
电平/V
双极性
-3
00
-1-1
-1
01
-11
1
10
1-1
3
11
11
图4-7上下支路抽样判决及4-2转换后信号时域波形图
4.3.3并串转换
经过并串转换即可得到解调信号，将两路并联信号经过转换成为一路信号，下图为基带信号和解调信号的对比及它们的频率谱密度图
图4-8高斯噪声下的基带信号与解调信号
图4-9瑞利信道下的基带信号与解调信号
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