高三数学复习教案高考数学空间向量及其应用复习学案.docx

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高三数学复习教案高考数学空间向量及其应用复习学案

高三数学复习教案：

高考数学空间向量及其应用复习学案

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高三数学复习教案：

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本文题目：

高三数学复习教案：

高考数学空间向量及其应用复习学案

一.课标要求：

（1）空间向量及其运算

①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程;

②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示;

③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示;

④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

（2）空间向量的应用

①理解直线的方向向量与平面的法向量;

②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系;

③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）;

④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

二.命题走向

本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。

本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：

以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。

预测2019年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。

三.要点精讲

1.空间向量的概念

向量：

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

如位移、速度、力等。

相等向量：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

表示方法：

用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

说明：

①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示;②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。

2.向量运算和运算率

加法交换率：

加法结合率：

数乘分配率：

说明：

①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和;②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。

3.平行向量（共线向量）：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

平行于记作∥。

注意：

当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线;当我们说、平行时，也具有同样的意义。

共线向量定理：

对空间任意两个向量（）、，∥的充要条件是存在实数使=

注：

⑴上述定理包含两个方面：

①性质定理：

若∥（0），则有=，其中是唯一确定的实数。

②判断定理：

若存在唯一实数，使=（0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。

⑵对于确定的和，=表示空间与平行或共线，长度为||，当0时与同向，当0时与反向的所有向量。

⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。

推论：

如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式

其中向量叫做直线l的方向向量。

在l上取，则①式可化为②

当时，点P是线段AB的中点，则③

①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。

注意：

⑴表示式（﹡）、（﹡﹡）既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式;⑵推论的用途：

解决三点共线问题。

⑶结合三角形法则记忆方程。

4.向量与平面平行：

如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。

注意：

向量∥与直线a∥的联系与区别。

共面向量：

我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①

注：

与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。

推论：

空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使

或对空间任一定点O，有⑤

在平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的。

①式叫做平面MAB的向量表示式。

又∵代入⑤，整理得

由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内;对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。

5.空间向量基本定理：

如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使

说明：

⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量;⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底;⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念;⑷由于可视为与任意非零向量共线。

与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。

推论：

设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使

6.数量积

（1）夹角：

已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角AOB叫做向量与的夹角，记作

说明：

⑴规定0,因而=;

⑵如果=，则称与互相垂直，记作

⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，

图（3）中AOB=，

图（4）中AOB=,

从而有==.

（2）向量的模：

表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。

（3）向量的数量积：

叫做向量、的数量积，记作。

即=，

向量:

（4）性质与运算率

⑵=0⑵=

四.典例解析

题型1：

空间向量的概念及性质

例1.有以下命题：

①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线;②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面;③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）

解析：

对于①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线所以①错误。

②③正确。

例2.下列命题正确的是（）

若与共线，与共线，则与共线;

向量共面就是它们所在的直线共面;

零向量没有确定的方向;

若，则存在唯一的实数使得;

解析：

A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量。

题型2：

空间向量的基本运算

例3.如图：

在平行六面体中，为与的交点。

若，，，则下列向量中与相等的向量是（）

例4.已知：

且不共面.若∥,求的值.

题型3：

空间向量的坐标

例5.

（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（）

A.：

||=：

||B.a1b1=a2b2=a3b3

C.a1b1+a2b2+a3b3=0D.存在非零实数k，使=k

（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，，则x+y的值是（）

A.-3或1B.3或-1C.-3D.1

（3）下列各组向量共面的是（）

A.=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）

B.=（1，0，0），=（0，1，0），=（0，0，1）

C.=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，1）

D.=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）

解析：

（1）D;点拨：

由共线向量定线易知;

（2）A点拨：

由题知或;

例6.已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4）。

设=，=，

（1）求和的夹角;

（2）若向量k+与k-2互相垂直，求k的值.

思维入门指导：

本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.

解：

∵A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），=，=，

=（1，1，0），=（-1，0，2）.

（1）cos==-，

和的夹角为-。

（2）∵k+=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2），

k-2=（k+2，k，-4），且（k+）（k-2），

（k-1，k，2）（k+2，k，-4）=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0。

则k=-或k=2。

点拨：

第

（2）问在解答时也可以按运算律做。

（+）（k-2）=k22-k-22=2k2+k-10=0，解得k=-，或k=2。

题型4：

数量积

例7.设、、c是任意的非零平面向量,且相互不共线,则

①（）-（）=②||-|||-|③（）-（）不与垂直

④（3+2）（3-2）=9||2-4||2中，是真命题的有（）

A.①②B.②③C.③④D.②④

答案：

D

解析：

①平面向量的数量积不满足结合律.故①假;

②由向量的减法运算可知||、||、|-|恰为一个三角形的三条边长，由两边之差小于第三边，故②真;

③因为[（）-（）]=（）-（）=0，所以垂直.故③假;

例8.

（1）已知向量和的夹角为120，且||=2，||=5，则（2-）=_____.

（2）设空间两个不同的单位向量=（x1，y1，0），=（x2，y2，0）与向量=（1，1，1）的夹角都等于。

（1）求x1+y1和x1y1的值;

（2）求，的大小（其中0，。

解析：

（1）答案：

13;解析：

∵（2-）=22-=2||2-||||cos120=24-25（-）=13。

（2）解：

（1）∵||=||=1，x+y=1，x=y=1.

又∵与的夹角为，=||||cos==.

又∵=x1+y1，x1+y1=。

另外x+y=（x1+y1）2-2x1y1=1，2x1y1=（）2-1=.x1y1=。

（2）cos，==x1x2+y1y2，由

（1）知，x1+y1=，x1y1=.x1，y1是方程x2-x+=0的解.

或同理可得或

∵，或

cos，+=+=.

∵0，，，=。

评述：

本题考查向量数量积的运算法则。

题型5：

空间向量的应用

例9.

（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：

++4。

（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2（3，1，2），求物体合力做的功。

解析：

（1）设=（，，），=（1，1，1），

则||=4，||=.

=++||||=4.

当==时，即a=b=c=时，取=号。

例10.如图,直三棱柱中,求证:

证明：

五.思维总结

本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底{i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质;空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。

如向量的数量积ab=|a||b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记。

对本讲内容的考查主要分以下三类：

1.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质

此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。

“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。

其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。

《说文解字》中有注曰：

“师教人以道者之称也”。

“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。

“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。

“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。

“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。

慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。

只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。

今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。

2.向量在空间中的应用

在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。

与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：

“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：

“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：

“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。

本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。

因此，掌握双基、精通课本是本章关键。