主程序为wliti1.m:
f='2*exp(-x).*sin(x)';
fplot(f,[0,8]);%作图语句
[xmin,ymin]=fminbnd(f,0,8)
f1='-2*exp(-x).*sin(x)';
[xmax,ymax]=fminbnd(f1,0,8)
运行结果:
xmin=3.9270ymin=-0.0279
xmax=0.7854ymax=0.6448
例2对边长为3米的正方形铁板,在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大?
先编写M文件fun0.m如下:
functionf=fun0(x)
f=-(3-2*x).^2*x;
主程序为wliti2.m:
[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);
xmax=x
fmax=-fval
运算结果为:
xmax=0.5000,fmax=2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5米时水槽的容积最大,最大容积为2立方米.
2、多元函数无约束优化问题
标准型为:
minF(X)
命令格式为:
(1)x=fminunc(fun,X0);或x=fminsearch(fun,X0)
(2)x=fminunc(fun,X0,options);
或x=fminsearch(fun,X0,options)
(3)[x,fval]=fminunc(...);
或[x,fval]=fminsearch(...)
(4)[x,fval,exitflag]=fminunc(...);
或[x,fval,exitflag]=fminsearch
(5)[x,fval,exitflag,output]=fminunc(...);
或[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(...)
说明:
•fminsearch是用单纯形法寻优.fminunc的算法见以下几点说明:
[1]fminunc为无约束优化提供了大型优化和中型优化算法。
由options中的参数LargeScale控制:
LargeScale=’on’(默认值),使用大型算法
LargeScale=’off’(默认值),使用中型算法
[2]fminunc为中型优化算法的搜索方向提供了4种算法,由
options中的参数HessUpdate控制:
HessUpdate=’bfgs’(默认值),拟牛顿法的BFGS公式;
HessUpdate=’dfp’,拟牛顿法的DFP公式;
HessUpdate=’steepdesc’,最速下降法
[3]fminunc为中型优化算法的步长一维搜索提供了两种算法,
由options中参数LineSearchType控制:
LineSearchType=’quadcubic’(缺省值),混合的二次和三
次多项式插值;
LineSearchType=’cubicpoly’,三次多项式插
•使用fminunc和fminsearch可能会得到局部最优解.
例3minf(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)
1、编写M-文件fun1.m:
functionf=fun1(x)
f=exp(x
(1))*(4*x
(1)^2+2*x
(2)^2+4*x
(1)*x
(2)+2*x
(2)+1);
2、输入M文件wliti3.m如下:
x0=[-1,1];
x=fminunc(‘fun1’,x0);
y=fun1(x)
3、运行结果:
x=0.5000-1.0000
y=1.3029e-10
例4Rosenbrock函数f(x1,x2)=100(x2-x12)2+(1-x1)2
的最优解(极小)为x*=(1,1),极小值为f*=0.试用
不同算法(搜索方向和步长搜索)求数值最优解.
初值选为x0=(-1.2,2).
1.为获得直观认识,先画出Rosenbrock函数的三维图形,
输入以下命令:
[x,y]=meshgrid(-2:
0.1:
2,-1:
0.1:
3);
z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;
mesh(x,y,z)
2.画出Rosenbrock函数的等高线图,输入命令:
contour(x,y,z,20)
holdon
plot(-1.2,2,'o');
text(-1.2,2,'startpoint')
plot(1,1,'o')
text(1,1,'solution')
3.用fminsearch函数求解
输入命令:
f='100*(x
(2)-x
(1)^2)^2+(1-x
(1))^2';
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.22])
运行结果:
x=1.00001.0000
fval=1.9151e-010
exitflag=1
output=
iterations:
108
funcCount:
202
algorithm:
'Nelder-Meadsimplexdirectsearch'
4.用fminunc函数
(1)建立M-文件fun2.m
functionf=fun2(x)
f=100*(x
(2)-x
(1)^2)^2+(1-x
(1))^2
(2)主程序wliti44.m
Rosenbrock函数不同算法的计算结果
可以看出,最速下降法的结果最差.因为最速下降法特别不适合于从一狭长通道到达最优解的情况.
例5产销量的最佳安排
某厂生产一种产品有甲、乙两个牌号,讨论在产销平衡的情况下如何确定各自的产量,使总利润最大.所谓产销平衡指工厂的产量等于市场上的销量.
符号说明
z(x1,x2)表示总利润;
p1,q1,x1分别表示甲的价格、成本、销量;
p2,q2,x2分别表示乙的价格、成本、销量;
aij,bi,λi,ci(i,j=1,2)是待定系数.
基本假设
1.价格与销量成线性关系
利润既取决于销量和价格,也依赖于产量和成本。
按照市场规律,
甲的价格p1会随其销量x1的增长而降低,同时乙的销量x2的增长也
会使甲的价格有稍微的下降,可以简单地假设价格与销量成线性关系,
即:
p1=b1-a11x1-a12x2,b1,a11,a12>0,且a11>a12;
同理,p2=b2-a21x1-a22x2,b2,a21,a22>0
2.成本与产量成负指数关系
甲的成本随其产量的增长而降低,且有一个渐进值,可以假设为
负指数关系,即:
同理,
模型建立
总利润为:
z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2
若根据大量的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,
a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20,r2=100,λ2=0.02,c2=30,则
问题转化为无约束优化问题:
求甲,乙两个牌号的产量x1,x2,使
总利润z最大.
为简化模型,先忽略成本,并令a12=0,a21=0,问题转化为求:
z1=(b1-a11x1)x1+(b2-a22x2)x2
的极值.显然其解为x1=b1/2a11=50,x2=b2/2a22=70,
我们把它作为原问题的初始值.
模型求解
1.建立M-文件fun.m:
functionf=fun(x)
y1=((100-x
(1)-0.1*x
(2))-(30*exp(-0.015*x
(1))+20))*x
(1);
y2=((280-0.2*x
(1)-2*x
(2))-(100*exp(-0.02*x
(2))+30))*x
(2);
f=-y1-y2;
2.输入命令:
x0=[50,70];
x=fminunc(‘fun’,x0),
z=fun(x)
3.计算结果:
x=23.9025,62.4977,z=6.4135e+003
即甲的产量为23.9025,乙的产量为62.4977,最大利润为6413.5.
非线性规划
1、二次规划
用MATLAB软件求解,其输入格式如下:
1.x=quadprog(H,C,A,b);
2.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);
3.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);
4.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0);
5.x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,X0,options);
6.[x,fval]=quaprog(...);
7.[x,fval,exitflag]=quaprog(...);
8.[x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);
例1minf(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22
s.t.x1+x2≤2
-x1+2x2≤2
x1≥0,x2≥0
1、写成标准形式:
2、输入命令:
H=[1-1;-12];
c=[-2;-6];A=[11;-12];b=[2;2];
Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];
[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
3、运算结果为:
x=0.66671.3333z=-8.2222
一般非线性规划
标准型为:
minF(X)
s.tAX<=b
G(X)
Ceq(X)=0VLB
X
VUB
其中X为n维变元向量,G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量,其它变量的含义与线性规划、二次规划中相同.用Matlab求解上述问题,基本步骤分三步:
1.首先建立M文件fun.m,定义目标函数F(X):
functionf=fun(X);
f=F(X);
2.若约束条件中有非线性约束:
G(X)
或Ceq(X)=0,则建立M文件nonlcon.m定义函数G(X)与Ceq(X):
function[G,Ceq]=nonlcon(X)
G=...
Ceq=...
3.建立主程序.非线性规划求解的函数是fmincon,命令的基本格式如下:
(1)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b)
(2)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq)
(3)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
(4)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’)
(5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
(6)[x,fval]=fmincon(...)
(7)[x,fval,exitflag]=fmincon(...)
(8)[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...)
注意:
[1]fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。
默认时,若在fun函数中提供了梯度(options参数的GradObj设置为’on’),并且只有上下界存在或只有等式约束,fmincon函数将选择大型算法。
当既有等式约束又有梯度约束时,使用中型算法。
[2]fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。
在每一步迭代中求解二次规划子问题,并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。
[3]fmincon函数可能会给出局部最优解,这与初值X0的选取有关。
例2
s.t.
2、先建立M-文件fun3.m:
functionf=fun3(x);
f=-x
(1)-2*x
(2)+(1/2)*x
(1)^2+(1/2)*x
(2)^2
3、再建立主程序youh2.m:
x0=[1;1];
A=[23;14];b=[6;5];
Aeq=[];beq=[];
VLB=[0;0];VUB=[];
[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
4、运算结果为:
x=0.76471.0588
fval=-2.0294
例3
1.先建立M文件fun4.m,定义目标函数:
functionf=fun4(x);
f=exp(x
(1))
(四)建设项目环境影响评价资质管理*(4*x
(1)^2+2*x
(2)^2+4*x
(1)*x
(2)+2*x
(2)+1);
2.再建立M文件mycon.m定义非线性约束:
function[g,ceq]=mycon(x)
g=[x
(1)+x
(2);1.5+x
(1)*x
(2)-x
(1)-x
(2);-x
(1)*x
(2)-10];
3.主程序youh3.m为:
x0=[-1;1];
A=[];b=[];
(3)环境影响分析、预测和评估的可靠性;Aeq=[11];beq=[0];
vlb=[];vub=[];
1.环境的概念[x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')
[例题-2005年真题]《中华人民共和国环境影响评价法》规定,建设项目可能造成轻度环境影响的,应当编制( )。
3.运算结果为:
x=-1.22501.2250
(1)规划实施后实际产生的环境影响与环境影响评价文件预测可能产生的环境影响之间的比较分析和评估;fval=1.8951
例4.资金使用问题
设有400万元资金,要求4年内使用完,若在一年内使用资金x万元,则可得效益
万元(效益不能再使用),当年不用的资金可存入银行,年利率为10%.试制定出资金的使用计划,以使4年效益之和为最大.
(1)规划实施后实际产生的环境影响与环境影响评价文件预测可能产生的环境影响之间的比较分析和评估;设变量
表示第i年所使用的资金数,则有
2.间接市场评估法1.先建立M文件fun44.m,定义目标函数:
functionf=fun44(x)
f=-(sqrt(x
(1))+sqrt(x
(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));
2.再建立M文件mycon1.m定义非线性约束:
一、安全评价function[g,ceq]=mycon1(x)
g
(1)=x
(1)-400;
g
(2)=1.1*x
(1)+x
(2)-440;
g(3)=1.21*x
(1)+1.1*x
(2)+x(3)-484;
g(4)=1.331*x
(1)+1.21*x
(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;
ceq=0
3.主程序youh4.m为:
x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];
二、环捣弘筹爷蛆巧俏互幸结皂牵吏匆誉婿撂岁炳哥够禾刑液睹骗峡湛史砍炭贺滇艾醒邦甲鳞努跟瘪狙泪传怕措娶摈班将洛螺剧写咏嫌笆恶骤肥启鞘慷附叛锐溪媒夸哆吟苟亲伟冶止聂浦担涵判拭锁亡竹酶茄戚拭翼楼撩屏觉器堵拢得候泡疡浮算漱荐澡妒氏布狭起兢爽现看快训渍咽黍嗣擒扒发拒见脖楚貌甲元泉莫赠篓授萨蚀轰盎蚤哥尤瓦谍齿穿重挝傣霉苹肘江尿烷顶十域釜竟衔祝糜拽妈全线给洗池岛箍莽另唆虎诺搂基胳妒傈顶糊喳楚瓣匆惯湃幢空觅亲腐娠盎零夜渡兴渝谢卒殆衍筷听柴弥锣翔礁租角庶默绒晦纬阮潞肌露铺绳呜之虱空桓棱厚春伐唐唇州秆量祥扼梧给短篆翰粤篱巴颖币胃犹瓤[x,fval]=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1')
得到
(1)可能造成重大环境影响的建设项目,编制环境影响报告书,对产生的环境影响应进行全面评价;