XX年七年级数学上34二元一次方程组的应用教案沪科版.docx
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XX年七年级数学上34二元一次方程组的应用教案沪科版
XX年七年级数学上3.4二元一次方程组的应用教案（沪科版）
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第1课时 简单实际问题和行程问题
．能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．
2．学会利用二元一次方程组解决行程问题．
重点
理解列二元一次方程组解应用题的一般步骤．
难点
会灵活运用列方程组解决实际问题．
一、复习旧知，导入新知
我们学习了列一元一次方程解应用题的一般步骤，那么列方程分为哪几个基本步骤？
学生积极回答：
审题设未知数；
找相等关系；
列方程；
解方程；
检验，写出答案．
这一节我们来学习用二元一次方程组解决实际问题．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《•》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：
列方程组解决简单实际问题
问题1：
某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3分，平一场得1分．一球队共比赛11场，没输过一场，一共得27分．问该队胜几场，平几场？
分析题意：
该队共进行比赛多少场，有没有输？
若假设胜了x场，则平多少场？
胜一场得3分，胜x场得了多少分？
平一场得1分，平局共得多少分？
该队共得27分．
你找到等量关系了吗？
通过以上分析列出方程．
解：
设该队胜x场，则平了场．
由题意可得
3x＋＝27.
解得x＝8.
1－x＝11－8＝3.
答：
该队胜8场，平3场．
分析题意：
若假设胜了x场，平局为y场，共进行11场比赛．你能找到它们三者之间的等量关系吗？
胜一场得3分，胜x场共得了3x分，平一场得1分，平局y场共得y分，一共得27分，这3个得分间有什么等量关系呢？
设两个未知数，就需要列二元一次方程组来解决，你能列出这个方程组吗？
解：
设胜了x场，平局为y场，得方程组
x＋y＝11，3x＋y＝27.解得x＝8，y＝3.
答：
该队胜8场，平3场．
由例题可知，有些题目既可以引入一个未知数，建立一元一次方程，也可以引入两个未知数，建立二元一次方程组．讨论交流这两种方法各有什么特点？
探究点二：
列方程组解决行程问题
行程问题：
追击问题：
追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行．这类问题比较直观，画线段，用图便于理解与分析．其等量关系式是：
两者的行程差＝开始时两者相距的路程；路程＝速度×时间；速度＝路程时间；时间＝路程速度.
相遇问题：
相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行．这类问题也比较直观，因而也可画线段图帮助理解与分析．这类问题的等量关系是：
双方所走的路程之和＝总路程．
航行问题：
①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速．
注意：
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似．
问题2：
一列火车长300米，某人和火车同向而行，则整列火车经过人身边需20秒．若相向而行，则整列火车经过人身边需15秒．求火车和人的速度．
解析：
同向时，火车所行路程比人要多出多少？
相向时，火车与人共同行了多少？
小组讨论：
题目中的相等关系：
同向时：
火车行的路程－人行的路程＝车长
相向时：
火车行的路程＋人行的路程＝车长
解：
设火车行驶的速度为x米/秒，人行走的速度为y米/秒，根据题意，得
20x－20y＝300，15x＋15y＝300，解得x＝17.5，y＝2.5.
答：
火车行驶的速度为17.5米/秒，人行走的速度为2.5米/秒．
问题3：
甲、乙两地相距4km，以各自的速度同时出发．如果同向而行，甲2h追上乙；如果相向而行，两人0.5h后相遇．试问两人的速度各是多少？
解析：
对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观地找到等量关系．
同时出发，同向而行
甲2h行程＝4km＋乙2h行程
同时出发，相向而行
甲0.5h行程＋乙0.5h行程＝4km
解：
设甲、乙的速度分别为xkm/h，ykm/h.根据题意与分析中图示的两个相等关系，得
2x－2y＝4，12x＋12y＝4.解方程组，得x＝5，y＝3.
答：
甲的速度为5km/h，乙的速度为3km/h.
四、应用迁移，运用新知
．列方程组解决简单实际问题
例1 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两种货物应各装多少吨？
解：
设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨．由题意，得x＋y＝300，6x＋2y＝1200，解得x＝150，y＝150.
答：
甲、乙两种货物各装150吨．
方法总结：
列方程组解应用题一般都要经历“审、设、找、列、解、答”这六个步骤，其关键在于审清题意，找等量关系；设未知数时，一般是求什么，设什么；并且所列方程的个数与未知数的个数相等．
2．列方程组解决行程问题——相遇问题
例2 某体育场的一条环形跑道长400m．甲、乙两人从跑道上同一地点出发，分别以不变的速度练习长跑和骑自行车．如果背向而行，每隔12min他们相遇一次；如果同向而行，每隔43min乙就追上甲一次．问甲、乙每分钟各行多少米？
解析：
题中的两个相等关系为：
①乙骑车的路程＋甲跑步的路程＝400m；②乙骑车的路程－甲跑步的路程＝400m．
解：
设乙骑车每分钟行xm，甲每分钟跑ym，由题意，得12x＋12y＝400，43x－43y＝400.解得x＝550，y＝250.
答：
甲每分钟跑250m，乙每分钟骑550m.
方法总结：
环行道路上的等量关系：
若同时同地出发，背向而行时，则第一次相遇时，二者路程之和＝一周长；若同时同地出发，同向而行，则第一次相遇时，快者的路程－慢者的路程＝一周长．
3．列方程组解决行程问题——航行问题
例3 A、B两码头相距140km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7h，逆水航行用了10h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．
解析：
设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h，列表如下：
路程
速度
时间
顺流
40km
km/h
7h
逆流
40km
km/h
0h
解：
设这艘轮船在静水中的速度为xkm/h，水流速度为ykm/h.由题意，得7（x＋y）＝140，10（x－y）＝140.解得x＝17，y＝3.
答：
这艘轮船在静水中的速度为17km/h，水流速度为3km/h.
方法总结：
本题关键是找到各速度之间的关系，顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速；再结合公式“路程＝速度×时间”列方程组．
五、尝试练习，掌握新知
课本P109练习第1～3题．
《•》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题；能利用二元一次方程组解决行程问题．
七、深化练习，巩固新知
课本P112习题3.4第1、2、7题．
《•》“课时作业”部分．
第2课时 百分率和配套问题
．学会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题．
2．进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程．
重点
根据题中的各个量的关系，准确列出方程组．
难点
借助列表，数与数之间的关系，分析出问题中所蕴涵的数量关系．
一、复习旧知，导入新知
前面我们结合实际问题，讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组．本节我们继续探究如何用方程组解决实际问题．
二、自主合作，感受新知
回顾以前学的知识、阅读课文并结合生活实际，完成《•》“预习导学”部分．
三、师生互动，理解新知
探究点一：
列方程组解决百分率问题
问题1：
浓度问题：
浓度＝溶质质量÷溶液质量；溶质质量＝溶液质量×浓度．
玻璃厂熔炼玻璃液，原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%.根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.试问在3.2吨原料中，石英砂和长石粉各多少吨？
解析：
问题中涉及了哪些已知量和未知量？
它们之间有何关系？
引入未知数，填写下表：
石英砂/t
长石粉/t
总量/t
需要量
x
y
3.2
含二氧化硅
99%x
67%y
70%×3.2
解：
设需石英砂xt，长石粉yt.
根据题意可列出方程组：
x＋y＝3.2，99%x＋67%y＝70%×3.2，
解方程组，得x＝0.3，y＝2.9.
答：
在3.2t原料中，需石英砂0.3t，长石粉2.9t.
问题2：
增长率问题：
原量×＝增长后的量；原量×＝减少后的量．
甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%.求甲、乙两种商品原来的单价．
解析：
问题中涉及了哪些已知量和未知量？
它们之间有何关系？
引入未知数，填写下表：
甲/元
乙/元
合计/元
原单价
x
y
00
现单价
x
y
00×
解：
设甲商品原单价为x元，乙商品原单价为y元．
根据题意可列出方程组：
x＋y＝100，（1－10%）x＋（1＋40%）y＝100×（1＋20%），
解方程组，得x＝40，y＝60.
答：
甲商品原单价为40元，乙商品原单价为60元．
探究点二：
列方程组解决配套问题
问题3：
配套问题基本等量关系：
总量各部分之间的比例＝每一套各部分之间的比例
某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地．根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦．种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如下表：
作物品种
每公顷所需人数
每公顷投入资金/万元
蔬菜
5
.5
荞麦
4
在现有情况下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都有工作，且资金正好够用？
解析：
怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”？
能用等式来表示它们吗？
根据题意列表如下：
作物
品种
种植面积S/hm2
需要人数
投入资金/万元
蔬菜
x
5x
.5x
荞麦
y
4y
y
合计
8
5
解：
设蔬菜种植xhm2，荞麦种植yhm2，
根据题意列出方程组：
5x＋4y＝18，1.5x＋y＝5，
解方程组，得x＝2，y＝2.
故承包田地的面积为：
x＋y＝4．
人员安排为：
5x＝5×2＝10；4y＝4×2＝8．
答：
这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种蔬菜，8人种荞麦，这样能使所有人都有工作且资金正好够用．
生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键．
四、应用迁移，运用新知
．列方程组解决增长率问题
例1 为了解决民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，去年秋季有5000名民工子女进入主城区中小学学习，预测今年秋季进入主城区中小学学习的民工子女将比去年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样今年秋季将新增1160名民工子女在主城区中小学学习．
如果按小学每年收“借读费”500元、中学每年收“借读费”1000元计算，求今年秋季新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？
如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，按今年秋季入学后，民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需配备多少名中小学教师？
解析：
解决此题的关键是求出今年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．欲求解这个问题，先要求出去年秋季入学的学生中，小学生和初中生各有民工子女多少人．
解：
设去年秋季在主城区小学学习的民工子女有x人，在主城区中学学习的民工子女有y人，则x＋y＝5000，20%x＋30%y＝1160.解得x＝3400，y＝1600.
20%x＝680，30%y＝480，500×680＋1000×480＝8XX0＝82．
答：
今年秋季新增的1160名中小学生共免收82万元“借读费”；
今年秋季入学后，在小学就读的民工子女有3400×＝4080，在中学就读的民工子女有1600×＝2080，需要配备的中小学教师×2＋×3＝360．
答：
一共需配备360名中小学教师．
方法总结：
在解决增长相关的问题中，应注意原来的量与增加后的量之间的换算关系：
增长率＝÷原量．
2．列方程组解决利润问题
例2 某商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%、乙商品加价40%作为标价，适逢元旦，商场举办促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折酬宾，某顾客购买甲、乙商品各1件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价各是多少元．
解析：
本题中所含的等量关系有：
①甲商品的售价＋乙商品的售价＝538元；②甲商品的利润＋乙商品的利润＝88元．
解：
设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，根据题意，得
x＋y＋88＝538，x（1＋50%）×80%＋y（1＋40%）×85%＝538.
化简，得x＋y＝450，1.2x＋1.19y＝538.解得x＝250，y＝200.
答：
甲商品的进价为250元，乙商品的进价为200元．
方法总结：
销售问题中进价、利润、售价、折扣等量之间的关系：
利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣，售价＝进价＋利润等．
3．列方程组解决配套问题
例3 现用190张铁皮做盒子，每张铁皮可以做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
解析：
此题有两个未知量——制盒身、盒底的铁皮张数．问题中有两个等量关系：
制盒身铁皮张数＋制盒底铁皮张数＝190；制成盒身的个数的2倍＝制成盒底的个数．
解：
设制盒身的铁皮数为x张，制盒底的铁皮数为y张，根据题意，得x＋y＝190，2×8x＝22y.解得x＝110，y＝80.
答：
110张铁皮制盒身，80张铁皮制盒底．
方法总结：
找出本题中的两个等量关系是解题的关键，解决配套问题时，一定要抓住题目中的特定的数量关系，根据等量关系列出方程组求解．
五、尝试练习，掌握新知
课本P110练习第1、2题、P111练习第1、2题．
《•》“随堂演练”部分．
六、课堂小结，梳理新知
通过本节课的学习，我们都学到了哪些数学知识和方法？
本节课学习了运用二元一次方程组解决百分率和配套问题，进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程．
七、深化练习，巩固新知
课本P112习题3.4第3～6题．
《•》“课时作业”部分．
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