人教版初中数学七年级上册期中测试题学年山东省德州市.docx
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人教版初中数学七年级上册期中测试题学年山东省德州市
2019-2020学年山东省德州市
七年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）2017的相反数是（ ）
A．﹣2017B．2017C．﹣
D．
2．（4分）2016年第一季度，我市“蓝天白云、繁星闪烁”天数持续增加，获得山东省环境空气质量生态补偿资金408万元，408万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．408×104B．4.08×104C．4.08×105D．4.08×106
3．（4分）已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a•b＞0B．a+b＜0C．|a|＜|b|D．a﹣b＞0
4．（4分）下列去括号正确的是（ ）
A．a+（b﹣c）＝a+b+cB．a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c
C．a﹣（﹣b+c）＝a﹣b﹣cD．a﹣（﹣b﹣c）＝a+b+c
5．（4分）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若a＝b，则a+c＝b﹣cB．若x＝y，则
＝
C．若
＝
，则x＝yD．若a2＝3a，则a＝3
6．（4分）下列判断正确的是（ ）
A．3a2bc与bca2不是同类项
B．
和
都是单项式
C．单项式﹣x3y2的次数是3，系数是﹣1
D．3x2﹣y+2xy2是三次三项式
7．（4分）已知|a|＝3，|b|＝2，且a•b＜0，则a+b的值为（ ）
A．5或﹣5B．1或﹣1C．3或﹣2D．5或1
8．（4分）下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）
A．﹣33与（﹣3）3B．
与（
）3
C．﹣|﹣2|与﹣（﹣2）D．﹣12与（﹣1）2
9．（4分）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是（ ）
A．2a2﹣πb2B．2a2﹣
b2C．2ab﹣πb2D．2ab﹣
b2
10．（4分）如果单项式
xa+by3与5x2yb的和仍是单项式，则|a﹣b|的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
11．（4分）若x2﹣3y﹣5＝0，则﹣6y+2x2+6的值为（ ）
A．﹣4B．16C．﹣16D．4
12．（4分）下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴，图案②需15根火柴，…，按此规律，图案n需几根火柴棒（ ）
A．2+7nB．8+7nC．4+7nD．7n+1
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）下列方程中，
（1）3x+6y＝1
（2）y2﹣3y﹣4＝0（3）x2+2x＝1（4）3x﹣2＝4x+1；是一元一次方程的是 ．
14．（4分）定义一种新运算：
a*b＝b2﹣ab，如：
1*2＝22﹣1×2＝2，则（1*﹣2）*3＝ ．
15．（4分）若m2+2mn＝4，n2+2mn＝6，则m2﹣n2＝ ，m2+4mn+n2＝ ．
16．（4分）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣（a2+mab+2b2）中不含有ab项，则m＝ ．
17．（4分）根据如图的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 ．
18．（4分）观察下面的单项式：
a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是 ．
三、解答题
19．（16分）计算
（1）
（2）
（3）﹣23×0.5﹣（﹣1.6）2÷（﹣2）2
（4）
．
20．（8分）已知A＝2a2﹣a，B＝﹣5a+1．
（1）化简：
3A﹣2B+2；
（2）当a＝﹣
时，求3A﹣2B+2的值．
21．（10分）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：
|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|．
22．（10分）如图，一个长方形运动场被分隔成A，B，A，B，C共5个区，A区是边长为am的正方形，C区是边长为cm的正方形．
（1）列式表示每个B区长方形场地的周长，并将式子化简；
（2）列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；
（3）如果a＝40，c＝10，求整个长方形运动场的面积．
23．（10分）食品厂销售一种蔬菜，如果不加工直接出售，每千克可卖y元；如果经过加工，质量将减少20%，每千克价格则增加40%．
（1）x千克这种蔬菜加工后可卖多少钱？
（2）如果这种蔬菜1000千克，不加工直接出售每千克可卖1.50元，问加工后原1000千克这种蔬菜可卖多少钱？
比加工前多卖多少钱？
24．（10分）随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（km）
﹣8
﹣11
﹣14
0
﹣16
+41
+8
（1）请求出这七天平均每天行驶多少千米；
（2）若每行驶100km需用汽油6升，汽油价6.2元/升，请估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？
25．（14分）探索规律，观察下面算式，解答问题．
1+3＝4＝22；
1+3+5＝9＝32；
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9＝25＝52
…
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19＝ ；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝ ；（n是整数且n≥1）
（3）试计算：
101+103+…+197+199．
2019-2020学年山东省德州市七年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．（4分）2017的相反数是（ ）
A．﹣2017B．2017C．﹣
D．
【分析】根据相反数特性：
若a．b互为相反数，则a+b＝0即可解题．
【解答】解：
∵2017+（﹣2017）＝0，
∴2017的相反数是（﹣2017），
故选：
A．
【点评】本题考查了相反数之和为0的特性，熟练掌握相反数特性是解题的关键．
2．（4分）2016年第一季度，我市“蓝天白云、繁星闪烁”天数持续增加，获得山东省环境空气质量生态补偿资金408万元，408万用科学记数法表示正确的是（ ）
A．408×104B．4.08×104C．4.08×105D．4.08×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于408万有7位，所以可以确定n＝7﹣1＝6．
【解答】解：
408万用科学记数法表示正确的是4.08×106．
故选：
D．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
3．（4分）已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A．a•b＞0B．a+b＜0C．|a|＜|b|D．a﹣b＞0
【分析】根据点a、b在数轴上的位置可判断出a、b的取值范围，然后即可作出判断．
【解答】解：
根据点a、b在数轴上的位置可知1＜a＜2，﹣1＜b＜0，
∴ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，a﹣b＞0，．
故选：
D．
【点评】本题主要考查的是数轴的认识、有理数的加法、减法、乘法法则的应用，掌握法则是解题的关键．
4．（4分）下列去括号正确的是（ ）
A．a+（b﹣c）＝a+b+cB．a﹣（b﹣c）＝a﹣b﹣c
C．a﹣（﹣b+c）＝a﹣b﹣cD．a﹣（﹣b﹣c）＝a+b+c
【分析】利用去括号法则：
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反，进而得出答案．
【解答】解：
A、a+（b﹣c）＝a+b﹣c，故此选项错误；
B、a﹣（b﹣c）＝a﹣b+c，故此选项错误；
C、a﹣（﹣b+c）＝a+b﹣c，故此选项错误；
D、a﹣（﹣b﹣c）＝a+b+c，故此选项正确；
故选：
D．
【点评】此题主要考查了去括号法则，正确把握去括号法则是解题关键．
5．（4分）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若a＝b，则a+c＝b﹣cB．若x＝y，则
＝
C．若
＝
，则x＝yD．若a2＝3a，则a＝3
【分析】利用等式的性质对每个等式进行变形即可找出答案．
【解答】解：
A、利用等式性质1，两边都加c，得到a+c＝b+c，所以A不成立；
B、不成立，因为c必需不为0；
C、利用等式性质2，两边都乘以c，得到a＝b，所以成立；
D、不成立，因为根据等式性质2，a≠0；
故选：
C．
【点评】主要考查了等式的基本性质．
等式性质：
1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．
6．（4分）下列判断正确的是（ ）
A．3a2bc与bca2不是同类项
B．
和
都是单项式
C．单项式﹣x3y2的次数是3，系数是﹣1
D．3x2﹣y+2xy2是三次三项式
【分析】根据同类项、单项式、多项式的概念即可判断．
【解答】解：
（A）同类项与字母的顺序无关，所以3a2bc与bca2是同类项，故A错误；
（B）
是多项式，故B错误；
（C）单项式﹣x3y2的次数是5，系数是﹣1，故C错误；
故选：
D．
【点评】本题考查同类项与多项式、单项式的概念，属于基础题型．
7．（4分）已知|a|＝3，|b|＝2，且a•b＜0，则a+b的值为（ ）
A．5或﹣5B．1或﹣1C．3或﹣2D．5或1
【分析】先依据绝对值的性质求得a、b的值，然后依据ab＜0可确定出a、b的值，然后依据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：
∵|a|＝3，|b|＝2，且ab＜0，
∴a＝3，b＝﹣2或a＝﹣3，b＝2．
∴a+b＝3+（﹣2）＝1或a+b＝﹣3+2＝﹣1．
故选：
B．
【点评】本题主要考查的是有理数的乘法、绝对值、有理数的加法，熟练掌握相关法则是解题的关键．
8．（4分）下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（ ）
A．﹣33与（﹣3）3B．
与（
）3
C．﹣|﹣2|与﹣（﹣2）D．﹣12与（﹣1）2
【分析】根据有理数的乘方，以及绝对值的含义和求法，求出每个选项中的两个数各是多少，判断出运算后的结果相等的是哪两个数即可．
【解答】解：
∵﹣33＝﹣27，（﹣3）3＝﹣27，
∴﹣33＝（﹣3）3，
∴选项A正确；
∵
＝
，（
）3＝
，
∴
≠（
）3，
∴选项B不正确；
∵﹣|﹣2|＝﹣2，﹣（﹣2）＝2，
∴﹣|﹣2|≠﹣（﹣2），
∴选项C不正确；
∵﹣12＝﹣1，（﹣1）2＝1，
∴﹣12≠（﹣1）2，
∴选项D不正确．
故选：
A．
【点评】此题主要考查了有理数的乘方，以及绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；③当a是零时，a的绝对值是零．
9．（4分）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是（ ）
A．2a2﹣πb2B．2a2﹣
b2C．2ab﹣πb2D．2ab﹣
b2
【分析】根据题意列出代数式解答即可．
【解答】解：
能射进阳光部分的面积是2ab﹣
b2，
故选：
D．
【点评】此题考查了列代数式，弄清题意是解本题的关键．
10．（4分）如果单项式
xa+by3与5x2yb的和仍是单项式，则|a﹣b|的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由题意可知
xa+by3与5x2yb是同类项，然后分别求出a与b的值，最后代入求值即可．
【解答】解：
由题意可知：
a+b＝2，3＝b，
∴a＝﹣1，b＝3，
∴原式＝|﹣1﹣3|＝4，
故选：
A．
【点评】本题考查了合并同类项法则和同类项定义的应用，关键是能根据题意得出方程a+b＝2，3＝b．
11．（4分）若x2﹣3y﹣5＝0，则﹣6y+2x2+6的值为（ ）
A．﹣4B．16C．﹣16D．4
【分析】直接将已知变形，进而代入原式求出答案．
【解答】解：
∵x2﹣3y﹣5＝0，
∴x2﹣3y＝5，
∴﹣6y+2x2+6
＝2（x2﹣3y）+6
＝2×5+6
＝16．
故选：
B．
【点评】此题主要考查了代数式求值，利用整体思想代入是解题关键．
12．（4分）下列图案是用长度相同的火柴按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴，图案②需15根火柴，…，按此规律，图案n需几根火柴棒（ ）
A．2+7nB．8+7nC．4+7nD．7n+1
【分析】根据图案①、②、③中火柴棒的数量可知，第1个图形中火柴棒有8根，每多一个多边形就多7根火柴棒，由此可知第n个图案需火柴棒8+7（n﹣1）＝7n+1根．
【解答】解：
∵图案①需火柴棒：
8根；
图案②需火柴棒：
8+7＝15根；
图案③需火柴棒：
8+7+7＝22根；
…
∴图案n需火柴棒：
8+7（n﹣1）＝7n+1根；
故选：
D．
【点评】此题主要考查了图形的变化类，解决此类题目的关键在于图形在变化过程中准确抓住不变的部分和变化的部分，变化部分是以何种规律变化．
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．（4分）下列方程中，
（1）3x+6y＝1
（2）y2﹣3y﹣4＝0（3）x2+2x＝1（4）3x﹣2＝4x+1；是一元一次方程的是 （4） ．
【分析】根据一元一次方程的定义：
只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程进行分析即可．
【解答】解：
（1）3x+6y＝1中含有2个未知数，是二元一次方程，故错误；
（2）y2﹣3y﹣4＝0的未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误；
（3）x2+2x＝1的未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误；
（4）3x﹣2＝4x+1符合一元一次方程的定义，故正确．
故答案是：
（4）．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．
14．（4分）定义一种新运算：
a*b＝b2﹣ab，如：
1*2＝22﹣1×2＝2，则（1*﹣2）*3＝ ﹣9 ．
【分析】原式利用已知的新定义计算即可求出值．
【解答】解：
根据题中的新定义得：
原式＝6*3＝9﹣18＝﹣9，
故答案为：
﹣9
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（4分）若m2+2mn＝4，n2+2mn＝6，则m2﹣n2＝ ﹣2 ，m2+4mn+n2＝ 10 ．
【分析】将已知的两个式子相减可得m2﹣n2的值，再将它们相加可得m2+4mn+n2的值．
【解答】解：
∵m2+2mn＝4，n2+2mn＝6，
∴m2﹣n2＝（m2+2mn）﹣（n2+2mn）＝4﹣6＝﹣2，
m2+4mn+n2＝（m2+2mn）+（n2+2mn）＝4+6＝10．
故答案为﹣2；10．
【点评】本题考查了整式的加减，求代数式的值的应用，整体代入是解答此题的关键．
16．（4分）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣（a2+mab+2b2）中不含有ab项，则m＝ ﹣6 ．
【分析】可以先将原多项式合并同类项，然后根据不含有ab项可以得到关于m的方程，解方程即可解答．
【解答】解：
原式＝3a2﹣6ab﹣3b2﹣a2﹣mab﹣2b2＝2a2﹣（6+m）ab﹣5b2，
由于多项式中不含有ab项，
故﹣（6+m）＝0，
∴m＝﹣6，
故填空答案：
﹣6．
【点评】解答此题，必须先合并同类项，否则容易误解为m＝0．
17．（4分）根据如图的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为 4 ．
【分析】将x＝1代入程序框图计算即可得到结果．
【解答】解：
若x＝1，得到2×12﹣4＝2﹣4＝﹣2＜0，
若x＝﹣2，得到y＝2×（﹣2）2﹣4＝8﹣4＝4．
故答案为：
4．
【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序框图是解本题的关键．
18．（4分）观察下面的单项式：
a，﹣2a2，4a3，﹣8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是 ﹣128a8 ．
【分析】根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n﹣1），a的指数为n．
【解答】解：
第八项为﹣27a8＝﹣128a8．
【点评】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
三、解答题
19．（16分）计算
（1）
（2）
（3）﹣23×0.5﹣（﹣1.6）2÷（﹣2）2
（4）
．
【分析】
（1）根据有理数的乘除法和减法可以解答本题；
（2）根据有理数的乘除法和减法、绝对值可以解答本题；
（3）根据有理数的乘除法和减法可以解答本题；
（4）根据有理数的除法和减法可以解答本题．
【解答】解：
（1）
＝18÷9﹣6×（﹣
）×（﹣
）
＝2﹣1
＝1；
（2）
＝﹣1﹣125×
﹣9
＝﹣1﹣20﹣9
＝﹣30；
（3）﹣23×0.5﹣（﹣1.6）2÷（﹣2）2
＝﹣8×0.5﹣2.56÷4
＝﹣4﹣0.64
＝﹣4.64；
（4）
＝
＝（﹣28）+30+（﹣27）+1
＝﹣24．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．
20．（8分）已知A＝2a2﹣a，B＝﹣5a+1．
（1）化简：
3A﹣2B+2；
（2）当a＝﹣
时，求3A﹣2B+2的值．
【分析】
（1）把A、B的值代入，去括号、合并同类项即可；
（2）把a的值代入，即可求出答案．
【解答】解：
（1）∵A＝2a2﹣a，B＝﹣5a+1，
∴3A﹣2B+2
＝3（2a2﹣a）﹣2（﹣5a+1）+2
＝6a2+7a；
（2）当a＝﹣
时，3A﹣2B+2＝6×（﹣
）2+7×（﹣
）＝
﹣
＝﹣2．
【点评】本题考查了整式的加减和求值，能正确根据整式的加减法则进行化简是解此题的关键．
21．（10分）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：
|b﹣a|﹣|c﹣b|+|a+b|．
【分析】根据数轴可以判断a、b、c的正负情况，从而可以将绝对值去掉，然后合并同类项即可解答本题．
【解答】解：
由数轴可知：
c＜b＜0＜a，|a|＞|b|，
∴b﹣a＜0，c﹣b＜0，a+b＞0，
∴原式＝﹣（b﹣a）+（c﹣b）+（a+b）＝﹣b+a+c﹣b+a+b＝2a﹣b+c．
【点评】本题考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数轴和绝对值的知识解答．
22．（10分）如图，一个长方形运动场被分隔成A，B，A，B，C共5个区，A区是边长为am的正方形，C区是边长为cm的正方形．
（1）列式表示每个B区长方形场地的周长，并将式子化简；
（2）列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；
（3）如果a＝40，c＝10，求整个长方形运动场的面积．
【分析】
（1）利用图形得出区域B的长和宽，即可得出结论；
（2）利用图形得出整个长方形的长和宽，即可得出结论；
（3）先求出整个长方形的长和宽，利用面积公式即可得出结论．
【解答】解：
（1）2[（a+c）+（a﹣c）]＝2（a+c+a﹣c）＝4a（m）
（2）2[（a+a+c）+（a+a﹣c）]＝2（a+a+c+a+a﹣c）＝8a（m）
（3）当a＝40，c＝10时，
∴长＝2a+c＝90（m），宽＝2a﹣c＝70（m），
所以面积＝90×70＝6300（m2）
【点评】此题主要考查了列代数式，代数式的值，利用图形得出长方形的长和宽是解本题关键．
23．（10分）食品厂销售一种蔬菜，如果不加工直接出售，每千克可卖y元；如果经过加工，质量将减少20%，每千克价格则增加40%．
（1）x千克这种蔬菜加工后可卖多少钱？
（2）如果这种蔬菜1000千克，不加工直接出售每千克可卖1.50元，问加工后原1000千克这种蔬菜可卖多少钱？
比加工前多卖多少钱？
【分析】
（1）求出加工后的蔬菜重量和价格，即可求出代数式；
（2）将数字代入
（1）中代数式，再进行计算，即可得出答案．
【解答】解：
（1）根据题意得：
y（1+40%）x（1﹣20%）
＝1.12xy（元）；
答：
x千克这种蔬菜加工后可卖1.12xy（元）；
（2）根据题意得：
1000×（1﹣20%）×1.50×（1+40%）＝1680（元），
1680﹣1.50×1000＝180（元），
答：
加工后原1000千克这种蔬菜可卖1680元，比加工前多卖180元．
【点评】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．要掌握销售问题的价格与重量之间的关系．
24．（10分）随着人们生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入家庭．小明家中买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程（如表），以50km为标准，多于50km的记为“+”，不足50km的记为“﹣”，刚好50km的记为“0”．
第一天
第二天
第三天
第四天
第五天
第六天
第七天
路程（km）
﹣8
﹣11
﹣14
0
﹣16
+41
+8
（1）请求出这七天平均每天行驶多少千米；
（2）若每行驶100km需用汽油6升，汽油价6.2元/升，请估计小明家一个月（按30天计）的汽油费用是多少元？
【分析】
（1）根据有理数的加法，可得超出或不足部分的路程平均数，再加上50，可得平均路程；
（2）根据总路程乘以100千米的耗油量，可得总耗油量，根据有的单价乘以总耗油量，可得答案．
【解答】解：
（1）平均每天路程为50+
＝50（千米）．
答：
这七天平均每天行驶50千米．
（2）平均每天所需用汽油费用为：
50×
×6.2＝18.6（元），
估计小明家一个月的汽油费用是：
18.6×30＝558（元）．
答：
估计小明家一个月的汽油费用是558元．
【点评】本题主要考查了正数和负数，利用有理数的运算得出总耗油量是解题关键．
25．（14分）探索规律，观察下面算式，解答问题．
1+3＝4＝22；
1+3+5＝9＝32；
1+3+5+7＝16＝42
1+3+5+7+9＝25＝52
…
（1）请猜想1+3+5+7+9+…+19＝ 100 ；
（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）＝ n2 ；（n是整数且n≥1）
（3）试计算：
101+103+…+197+199．
【分析】
（1）
（2）观察数据可知，从1开始的连续奇数的和等于首尾两个奇数的和的一半的平方，然后计算即可得解；
（3）用从1开始到199的和减去从1开始到99的和，列式计算即可得解．
【解答】解：
（1）1+3+5+7+9+…+19＝（
）2＝100；
（2）1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n+3）＝（
）2＝n2；
（3）101+103+…+197+199＝（
）2﹣（
）2＝10000﹣2500＝7500．
故答案为：
100；n2．
【点评】本题是对数字变化规律的考查，观察出结果的底数与算式中首尾两个数的关系是解题的关键．
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