人教版高中数学必修4三角函数.docx
《人教版高中数学必修4三角函数.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学必修4三角函数.docx（16页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
人教版高中数学必修4三角函数
任意角
一、知识概述
1、角的分类：
正角、负角、零角.
2、象限角：
（1）象限角.
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）.
3、终边相同的角的集合：
所有与角终边相同的角，连同α角自身在内，都可以写成α＋k·360°（k∈Z）的形式；反之，所有形如α＋k·360°（k∈Z）的角都与α角的终边相同．
4、准确区分几种角
锐角：
0°<α<90°；
0°～90°：
0°≤α<90°；
第一象限角：
．
5、弧度角：
弧长等于半径的弧所对应的角称为1弧度角（1rad）.
1rad=，1°=rad.
6、弧长公式：
l=αR.
7、扇形面积公式：
.
二、例题讲解
例1、写出下列终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式的元素写出来：
（1）60°；
（2）－21°；（3）363°14′．
解：
（1），
S中满足的元素是
（2），
S中满足的元素是
（3），
S中满足的元素是
例2、写出终边在y轴上的角的集合.
解析：
∴.
注：
终边在x轴非负半轴：
.
终边在x轴上：
.
终边在y=x上：
.
终边在坐标轴上：
.
变式：
角α与β的终边关于x轴对称，则β=_______.
答案：
.
角α与β的终边关于y轴对称，则β=_______.
答案：
任意角的三角函数
一、知识概述
1、定义：
在直角坐标系中，设α是一个任意角，α的终边与圆心在坐标原点的单位圆交于点P（x，y），那么sinα=y，cosα=x，tanα=.
注：
①对于确定的角α，其终边上取点，令，则.
②α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置.
2、公式一：
，
，
，其中.
3、三角函数线
角α的终边与单位圆交于P点，过P作PM⊥x轴于M，则sinα=MP（正弦线），cosα=OM（余弦线）.过A作单位圆的切线，则α的终边或其反向延长线交此切线于点T，则tanα=AT（正切线）.
注：
若，则.
二、例题讲解
例1、已知角α的终边上一点，且，求的值．
解：
，
∴，.
当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴．
例2、化简下列各式
（1）；
（2）．
解：
（1）
（2）
同角三角函数的基本关系
一、知识概述
1、平方关系：
．
2、商数关系：
．
二、例题讲解
例1、已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα，cosα．
解：
∵，，∴.
∴，即有，
又∵为非零实数，∴为象限角．
当在第一、四象限时，即有，
从而，
；
当在第二、三象限时，即有，
从而，
．
例2、已知，试确定使等式成立的角α的集合．
例3、已知，求sinx，cosx的值．
解：
由等式两边平方：
．
∴，即，
∴为一元二次方程的两个根，
解得．
又∵，∴．因此．
例4、化简：
.
解法一：
原式=
.
解法二：
原式=.
解法三：
原式=.
例5、已知，则
（1）____________________．
（2）____________________．
（3）____________________．
解：
（1）；
（2）；
三角函数的诱导公式
一、知识概述
诱导公式一：
.
诱导公式二：
.
诱导公式三：
，，．
诱导公式四：
，，.
诱导公式五：
，．
诱导公式六：
，．
引申：
诱导公式七：
，．
诱导公式八：
，．
记忆公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”．
二、例题讲解
例1、化简：
（1）；
（2）
（3）．
（4）
（5）．
解：
（1）原式．
（2）原式=.
（5）
例2、已知求的值．
解：
由得，所以
例3、已知则________．
解：
．
正弦函数、余弦函数的图象与性质
（一）
一、知识概述
1、正弦函数、余弦函数的图象
2、性质：
①定义域：
x∈R
②值域：
[－1，1]
③周期性：
都是周期函数，且最小正周期为.
二、例题讲解
例1、作函数的简图．
（2）描点连线（图象见视频）.
例2、求下列函数的周期
（1）；
（2）；（3）；（4）．
解：
（1）令，则.
∵f（x＋T）=f（x）恒成立，.
∴周期为4.
注：
.
（2）.
注：
.
（3）T=π．
（4）T=．假设，使令x=0，得，，与时矛盾．
∴T=.
例3、求下列函数的定义域：
（1）；
（2）y=lg（2sinx＋1）＋．
解：
（1），∴，∴．
（2），∴.
∴其定义域为.
正弦函数与余弦函数的图象与性质
（二）
一、知识概述
1、图象（见视频）
2、性质：
（1）定义域：
都为R.
（2）值域：
都为[－1，1].
（3）周期性：
都是周期函数，且T=2π.
（4）奇偶性：
y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数.
（5）对称性：
y=sinx的对称中心为（kπ，0）（k∈Z），对称轴为.
y=cosx的对称中心为，对称轴为.
（6）单调性：
y=sinx在上单调递增；在上单调递减.
y=cosx在上单调递减；在上单调递增.
二、例题讲解
例1、在中，，若函数y=f（x）在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：
∵，∴，.
所以．
答案：
C
例2、求下列函数的单调递增区间：
（1）；
（2）；
（3）；（4）y=－|sin（x＋）|
解：
（1）法一：
图象法（图象见视频）.
法二：
令，
∴.
所以，函数单调递增区间为．
（2）令，∴，
所以，函数单调递增区间是．
（3）令.
所以，函数单调递增区间是.
法二：
∵，
令，，
所以，函数的递增区间是．
（4）函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）．（图象见视频）
法二：
令.
解得.
∴函数的递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.
正切函数的图象与性质
一、知识概述
1、图象：
2、性质：
（1）定义域：
；
（2）值域：
R；
（3）周期性：
；
（4）奇偶性：
奇函数；
（5）对称性：
y=tanx的对称中心为.
（6）单调性：
在内单调递增．
二、例题讲解
例1、求下列函数的定义域：
（1）；
（2）；（3）．
解：
（1）由，得，∴．
∴的定义域为．
（2）令，∵sinx∈[－1，1]且，
∴定义域为R.
（3）由已知，得，∴，
∴原函数的定义域为（备注：
视频中区间书写有误，后面一个应该是半开半闭区间）．
例2、求函数的定义域，周期和单调区间．
函数y=Asin（ωx＋φ）的图象
一、知识概述
的图象可由y=sinx的图象经过以下的变换得到：
①将y=sinx的图象向左（右）平移个单位得到的图象；
②将的图象保持纵坐标不变，横坐标伸长（缩短）到原来的倍，得到的图象；
③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍，得到的图象.
A表示振幅，为周期，为频率，为初相，为相位.
二、例题讲解
例1、函数的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到．
解：
①将的图象向左平移个单位，得到的图象；
②将的图象保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到的图象；
③将的图象保持横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍，得到的图象．
变式1：
y=sinx的图象由的图象经过怎样的变换得到.
解：
横坐标不变，纵坐标缩短到原来的，得到的图象；再将的图象向右平移个单位，得到y=sin2x的图象；再将y=sin2x的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到y=sinx的图象.
变式2：
函数y=f（x）的图象先向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到的图象，求f（x）的解析式.
答案：
.
例2、已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图所示，求函数的一个解析式．
解：
由图知：
函数最大值为，最小值为，
又∵，∴，
由图知，
∴，∴，
法一：
∴，∴，
∴.
，代入上面两式检验，得满足条件.
∴．
法二：
.
.
法三：
令，.
三角函数模型的简单应用
例1、已知电流在一个周期内的图象如图：
（1）根据图中数据求的解析式．
（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
例2、某港口水的深度y（米）是时间，单位：
时）的函数，记作，下面是某日水深的数据：
t时
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y米
经长期观察，的曲线可以近似地看成函数的图象．
（1）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；
（2）一般情况下船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？
解：
（1）由已知数据，易知函数的周期T=12，振幅A=3，b=10，（视频板书中应为f（t））．
（2）由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋=11.5米，
，解得:
，在同一天内，取.
∴该船可在当日凌晨1时进港，17时出港，在港口内最多停留16个小时．
例3、如图所示，一个摩天轮半径为10米，轮子的底部在地面上2米处，如果此摩天轮按逆时针方向每20秒转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心O高度相同）时开始计时：
（1）求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米．
解：
（1）以O为坐标原点，以OP所在直线为x轴建立直角坐标系，在t秒内摩天轮转过的角为，∴此人相对于地面的高度为（米）．
（2）令，则，
，，
故约有秒此人相对于地面的高度不超过10米．
例4、某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元．该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元．
（1）试建立出厂价格、销售价格的模型，并求出函数解析式；
（2）假设商店每月购进这种商品m件，且当月销完，试写出该商品的月利润函数．
三角函数的综合应用
例1、求下列函数的值域：
（1）；
（2）；（3）；
（4）；（5）．
解：
（1）∵，
∴，∴，
所以，值域为．
（2）.
.
另解：
，∴，∴，
解得，．
（3），
，.
（4）由题意，
∴，
∵，∴时，，但，∴，
∴原函数的值域为．
（5）∵，又∵，
∴，∴，
∴函数的值域为．
例2、是否存在α、β，α∈（－，），β∈（0，π），使等式sin（3π－α）=cos（－β），cos（－α）=－cos（π＋β）同时成立?
若存在，求出α、β的值；若不存在，请说明理由．
解：
由条件得
①2＋②2得sin2α＋3cos2α=2，∴cos2α=，∴.
∵α∈（－，），∴，α=或－．
由②得cosβ=．又β∈（0，π），∴β=，又.
∴存在α=，β=满足条件．
例3、已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值．
解：
由是偶函数，得，即，
或对任意x∈R恒成立.
，，.
又f（x）图象关于对称，.
，则k=1时，，满足条件.
当k=2时，，此时，满足条件.
当k≥3时，不合要求.
综上.
升级会员 