数值计算方法试题及答案.docx
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数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一
一、填空题（每空1分，共17分）
1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。
2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（ ）。
3、已知是三次样条函数，则
=（ ），=（ ），=（ ）。
4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则
（），（ ），当时（）。
5、设和节点则
和 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则 。
8、给定方程组，为实数，当满足 ，且时，SOR迭代法收敛。
9、解初值问题的改进欧拉法是
阶方法。
10、设，当（ ）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
二、二、选择题（每题2分）
1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（ ）。
（1）,
（2）,（3）,（4）
2、在牛顿-柯特斯求积公式：
中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1），
（2），（3），（4），
3、有下列数表
x
0
1
2
f（x）
-2
-1
2
所确定的插值多项式的次数是（ ）。
（1）二次；
（2）三次；（3）四次；（4）五次
4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（ ）。
（1）,
（2）,（3）,（4）
三、1、（8分）用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：
19
25
30
38
2、（15分）用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算时，
（1）
（1） 试用余项估计其误差。
（2）用的复化梯形公式（或复化Simpson公式）计算出该积分的近似值。
四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式
（1）对应迭代格式；
（2）对应迭代格式；（3）对应迭代格式。
判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。
选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。
2、（8分）已知方程组，其中
，
（1）
（1） 列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。
（2）
（2） 求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR迭代法。
五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。
2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足
,,,
六、（下列2题任选一题，4分）
1、1、 数值积分公式形如
（1）
（1） 试确定参数使公式代数精度尽量高；
（2）设，推导余项公式，并估计误差。
2、2、 用二步法
求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题二
一、判断题：
（共16分，每小题２分）
１、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。
（ ）
２、当时，Newton－cotes型求积公式会产生数值不稳定性。
（ ）
3、形如的高斯（Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为。
（ ）
４、矩阵的２－范数＝９。
（ ）
5、设，则对任意实数，方程组都是病态的。
（用）（）
6、设，，且有（单位阵），则有。
（）
7、区间上关于权函数的直交多项式是存在的，且唯一。
（）
8、对矩阵A作如下的Doolittle分解：
，则的值分别为2，2。
（）
二、填空题：
（共20分，每小题2分）
1、设，则均差
__________，__________。
2、设函数于区间上有足够阶连续导数，为的一个重零点，Newton迭代公式的收敛阶至少是__________阶。
３、区间上的三次样条插值函数在上具有直到__________阶的连续导数。
4、向量,矩阵，则
__________，__________。
5、为使两点的数值求积公式：
具有最高的代数精确度，则其求积基点应为__________，__________。
6、设，，则（谱半径）__________。
（此处填小于、大于、等于）
7、设，则__________。
三、简答题：
（9分）
1、1、 方程在区间内有唯一根，若用迭代公式：
，则其产生的序列是否收敛于？
说明理由。
2、2、 使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？
3、3、 设，试选择较好的算法计算函数值。
四、（10分）已知数值积分公式为：
，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。
五、（8分）已知求的迭代公式为：
证明：
对一切，且序列是单调递减的，
从而迭代过程收敛。
六、（9分）数值求积公式是否为插值型求积公式？
为什么？
其代数精度是多少？
七、（9分）设线性代数方程组中系数矩阵非奇异，为精确解，，若向量是的一个近似解，残向量，证明估计式：
（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。
八、（10分）设函数在区间上具有四阶连续导数，试求满足
下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式，并导出其余项。
0
1
2
0
1
2
-1
1
3
3
九、（9分）设是区间上关于权函数的直交多项式序列，为的零点，
是以为基点的拉格朗日（Lagrange）插值基函数，为高斯型求积公式，证明：
（1）
（1）当时，
（2）
（3）
十、（选做题8分）
若，
互异，求的值，其中。
数值计算方法试题三
一、（24分）填空题
（1）
（1） （2分）改变函数（）的形式，使计算结果较精确
。
（2）
（2） （2分）若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。
（3）（3） （2分）设，则
（4）（4） （3分）设是3次样条函数，则
a=,b=,c=。
（5）（5） （3分）若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用个求积节点。
（6）（6） （6分）写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式
，迭代矩阵为，
此迭代法是否收敛。
（7）（7） （4分）设,则，。
（8）（8） （2分）若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为
二.（64分）
（1）
（1） （6分）写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
（2）
（2） （12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。
（3）（3） （10分）求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
（4）（4） （10分）用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。
（5）（5） （10分）用Gauss列主元消去法解方程组：
（6）（6） （8分）求方程组的最小二乘解。
（7）（7） （8分）已知常微分方程的初值问题：
用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。
三．（12分，在下列5个题中至多选做3个题）
（1）
（1） （6分）求一次数不超过4次的多项式p（x）满足：
，，，，
（2）
（2） （6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
（3）（3） （6分）用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于，取特征向量的初始近似值为。
（4）（4） （6分）推导求解常微分方程初值问题
的形式为,i=1,2,…,N
的公式，使其精度尽量高，其中,,i=0,1,…,N,
（5）（5） （6分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题
所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题三
一、（24分）填空题
（9）
（1） （2分）改变函数（）的形式，使计算结果较精确
。
（10）
（2） （2分）若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。
（11）（3） （2分）设，则
（12）（4） （3分）设是3次样条函数，则
a=,b=,c=。
（13）（5） （3分）若用复化梯形公式计算，要求误差不超过，利用余项公式估计，至少用个求积节点。
（14）（6） （6分）写出求解方程组的Gauss-Seidel迭代公式
，迭代矩阵为，
此迭代法是否收敛。
（15）（7） （4分）设,则，。
（16）（8） （2分）若用Euler法求解初值问题，为保证算法的绝对稳定，则步长h的取值范围为
二.（64分）
（8）
（1） （6分）写出求方程在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。
（9）
（2） （12分）以100,121,144为插值节点，用插值法计算的近似值，并利用余项估计误差。
（10）（3） （10分）求在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项式。
（11）（4） （10分）用复化Simpson公式计算积分的近似值，要求误差限为。
（12）（5） （10分）用Gauss列主元消去法解方程组：
（13）（6） （8分）求方程组的最小二乘解。
（14）（7） （8分）已知常微分方程的初值问题：
用改进的Euler方法计算的近似值，取步长。
三．（12分，在下列5个题中至多选做3个题）
（6）
（1） （6分）求一次数不超过4次的多项式p（x）满足：
，，，，
（7）
（2） （6分）构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：
（8）（3） （6分）用幂法求矩阵的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于，取特征向量的初始近似值为。
（9）（4） （6分）推导求解常微分方程初值问题
的形式为,i=1,2,…,N
的公式，使其精度尽量高，其中,,i=0,1,…,N,
（10）（5） （6分）求出用差分方法求解常微分方程的边值问题
所得到的三对角线性方程组。
数值计算方法试题一答案
一、一、填空题（每空1分，共17分）
1、（10）2、（）3、=（3），=（3），=
（1）
4、
（1）、（）、（）5、6、6、9
7、08、9、210、（）、（）
二、二、选择题（每题2分）
1、（
（2））2、（
（1））3、（
（1））4、（（3））
三、1、（8分）解：
解方程组
其中
解得：
所以，
2、（15分）解：
四、1、（15分）解：
（1），，故收敛；
（2），，故收敛；
（3），，故发散。
选择
（1）：
，，，，，
，
Steffensen迭代：
计算结果：
，，有加速效果。
2、（8分）解：
Jacobi迭代法：
Gauss-Seidel迭代法：
，
SOR迭代法：
五、1、（15分）解：
改进的欧拉法：
所以；
经典的四阶龙格—库塔法：
，所以。
2、（8分）解：
设为满足条件的Hermite插值多项式，
则代入条件得：
六、（下列2题任选一题，4分）
1、解：
将分布代入公式得：
构造Hermite插值多项式满足其中
则有：
，
2、解：
所以
主项：
该方法是二阶的。
数值计算方法试题二答案
一、一、判断题：
（共10分，每小题２分）
1、（ Ⅹ ）2、（ ∨ ）3、（Ⅹ ）4、（ ∨ ）5、（Ⅹ ）6、（∨ ）7、（ Ⅹ ）8、（Ⅹ ）
二、二、填空题：
（共10分，每小题2分）
1、、02、__二___3、__二___4、_16、90__5、6、=
7、0
三、三、简答题：
（15分）
1、1、 解：
迭代函数为
2、2、 答：
Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素全不为0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为0，但若主元素的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术，可避免主元素=0或很小的情况发生，从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。
3、3、 解：
四、四、解：
显然精确成立；
时，；
时，；
时，；
时，；
所以，其代数精确度为3。
五、五、证明：
故对一切。
又所以，即序列是单调递减有下界，
从而迭代过程收敛。
六、六、解：
是。
因为在基点1、2处的插值多项式为
。
其代数精度为1。
七、七、证明：
由题意知：
又
所以。
八、解：
设
所以
由得：
所以
令，作辅助函数
则在上也具有4阶连续导数且至少有4个零点：
反复利用罗尔定理可得：
，
所以
九、九、证明：
形如的高斯（Gauss）型求积公式具有
最高代数精度2n+1次，它对取所有次数不超过2n+1次的多项式均精确成立
1）
2）因为是n次多项式，且有
所以（）
3）取，代入求积公式：
因为是2n次多项式，
所以
故结论成立。
一十、十、解：
数值计算方法试题三答案
一.（24分）
（1）（2分）
（2）（2分）10
（3）（2分）（4）（3分）3-31（5）（3分）477
（6）（6分）收敛
（7）（4分）991（8）（2分）h<
二.（64分）
（1）（6分），n=0,1,2,…
∴对任意的初值,迭代公式都收敛。
（2）（12分）用Newton插值方法：
差分表：
100
121
144
10
11
12
10+（115-100）（115-100）（115-121）
=
（3）（10分）设
，，，，，
，,
=+
（4）（10分）
或利用余项：
，，
（5）（10分）
（6）（8分），，
若用Householder变换，则：
最小二乘解：
，T.
（7）（8分）
，
三.（12分）
（1）差分表：
1
1
1
2
2
15
15
15
57
57
20
20
42
72
15
22
30
7
8
1
其他方法：
设
令，，求出a和b
（2）取f（x）=1,x，令公式准确成立，得：
，，
f（x）=x2时，公式左右=1/4;f（x）=x3时，公式左=1/5,公式右=5/24
∴公式的代数精度=2
（3）①,,
②,,，
③,,，
∴，
（4）局部截断误差=
令，得，，
计算公式为，i=0,1,2,…
（局部截断误差=）
（5）记,,,,,
i=0..N
i=1..N-1
即,i=1..N-1
（1）
与
（1）取i=1的方程联立消去y2得
（2）
，与
（1）取i=N-1的方程联立消去yN得
（3）
所求三对角方程组：
方程
（2），方程组
（1）（i=1..N-2），方程（3）
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