数学建模及全国历年竞赛题目.docx
《数学建模及全国历年竞赛题目.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模及全国历年竞赛题目.docx（31页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
数学建模及全国历年竞赛题目
数学建模及全国历年竞赛题目
（2010-09-2821:
58:
01）
标签：
数学建模
应用数学模型
教育
分类：
专业教学
一、数学建模的涵
（一）数学建模的概念
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。
使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。
（二）应用数学模型
应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。
通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。
需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。
（三）数学建模的特点
数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。
（四）数学建模的指导思想
数学建模的指导思想就是：
以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。
（五）数学建模的意义
数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。
通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。
1.培养创新意识和创造能力；
2.训练快速获取信息和资料的能力；
3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能；
4.培养团队合作意识和团队合作精神；
5.增强写作技能和排版技术；
6.训练人的逻辑思维和开放性思考方式。
二、数学建模的过程
模型准备：
了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。
用数学语言来描述问题。
模型假设：
根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。
模型建立：
在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构。
模型求解：
利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（估计）。
模型分析：
对所得的结果进行数学上的分析。
模型检验：
将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。
如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。
如果模型与实际吻合较差,则应该修改假设，再次重复建模过程。
模型应用：
应用方式因问题的性质和建模的目的而异。
三、数学建模题目
（一）两项题
1992年
（A）施肥效果分析问题（理工大学：
叶其孝）
（B）实验数据分解问题（华东理工大学:
俞文此;复旦大学：
谭永基）
1993年
（A）非线性交调的频率设计问题（大学：
谢衷洁）
（B）足球排名次问题（清华大学：
蔡大用）
1994年
（A）逢山开路问题（电子科技大学：
何大可）
（B）锁具装箱问题（复旦大学:
谭永基，华东理工大学:
俞文此）
1995年
（A）飞行管理问题（复旦大学:
谭永基，华东理工大学:
俞文此）
（B）天车与冶炼炉的作业调度问题（大学：
祥官,吉鸾）
1996年
（A）最优捕鱼策略问题（师大学：
来福）
（B）节水洗衣机问题（大学：
付鹂）
1997年
（A）零件参数设计问题（清华大学：
姜启源）
（B）截断切割问题（复旦大学:
谭永基，华东理工大学:
俞文此）
1998年
（A）投资的收益和风险问题（大学：
淑平）
（B）灾情巡视路线问题（海运学院：
丁颂康）
（二）四项题
1999年
（A）自动化车床管理问题（大学：
山泽）
（B）钻井布局问题（大学：
林诒勋）
（C）煤矸石堆积问题（理工大学：
贾晓峰）
（D）钻井布局问题（大学：
林诒勋）
2000年
（A）DNA序列分类问题（工业大学：
孟大志）
（B）钢管订购和运输问题（大学：
费甫生）
（C）飞越北极问题（复旦大学：
谭永基）
（D）空洞探测问题（东北电力学院：
关信）
2001年
（A）血管的三维重建问题（大学：
汪国昭）
（B）公交车调度问题（清华大学：
谭泽光）
（C）基金使用计划问题（东南大学：
恩水）
（D）公交车调度问题（清华大学：
谭泽光）
2002年
（A）车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:
谭永基，华东理工大学:
俞文此）
（B）彩票中的数学问题（解放军信息工程大学：
韩中庚）
（C）车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:
谭永基，华东理工大学:
俞文此）
（D）赛程安排问题（清华大学：
姜启源）
2003年
（A）SARS的传播问题（组委会）
（B）露天矿生产的车辆安排问题（大学：
方沛辰）
（C）SARS的传播问题（组委会）
（D）抢渡长江问题（华中农业大学：
殷建肃）
2004年
（A）奥运会临时超市网点设计问题（工业大学：
孟大志）
（B）电力市场的输电阻塞管理问题（大学:
康生）
（C）酒后开车问题（清华大学：
姜启源）
（D）招聘公务员问题（解放军信息工程大学：
韩中庚）
2005年
（A）长江水质的评价和预测问题（解放军信息工程大学：
韩中庚）
（B）DVD在线租赁问题（清华大学:
谢金星等）
（C）雨量预报方法的评价问题（复旦大学:
谭永基）
（D）DVD在线租赁问题（清华大学:
谢金星等）
2006年
（A）的资源配置问题（工业大学：
孟大志）
（B）艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题（天津大学：
边馥萍）
（C）易拉罐的优化设计问题（理工大学：
叶其孝）
（D）煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（解放军信息工程大学：
韩中庚）
2007年
（A）中国人口增长预测
（B）乘公交，看奥运
（C）手机“套餐”优惠几何
（D）体能测试时间安排
2008年
（A）数码相机定位，
（B）高等教育学费标准探讨，
（C）地面搜索，
（D）NBA赛程的分析与评价
2009年
（A）制动器试验台的控制方法分析
（B）眼科病床的合理安排
（C）卫星和飞船的跟踪测控
（D）会议筹备
2010年
（A）储油罐的变位识别与罐容表标定
（B）2010年世博会影响力的定量评估
（C）输油管的布置
（D）对学生宿舍设计方案的评价
（三）参考答案举例
附：
2007年全国数学建模竞赛（B）乘公交、看奥运参考答案
.cnblogs./kuaful/articles/1222784.html
乘公交看奥运
相关文件下载点击此处
摘 要
本设计要解决的是合理给出两站点间的最佳路线选择问题，即给出一条经济且省时的路线。
在处理此问题之前，我们根据调查和分析，对影响线路选择的因素进行筛选，最终确定了以下三个影响较大的因素：
第一是换乘次数；第二是乘车时间；第三是乘车费用。
依据各因素对路线选择的影响程度,我们按不同的权重对它们进行考虑。
从实际情况分析，人们通常宁愿多乘坐几站地也不愿换车，所以我们赋予换乘次数较大的权重。
为了解决换乘次数最少，乘车时间相对较短、乘车费用相对较少的问题，经过尝试与探索，我们采用了现代分析的方法，对起始站和终点站有无相交站点进行分类讨论，归纳出直达，换乘一次，换乘两次的情况（三次以上的情形可以类推），并通过Matlab编制程序，给出了任意两站点间的最佳乘车路线以及换车的地点，最后还提出了进一步的意见和建议。
关键词：
最佳路线 换乘次数 乘车时间 乘车费用
一、问题的重述
第29届奥运会明年8月将在举行，作为城市枢纽的公共交通承担着非常重的运输任务。
近年来，市的公交系统有很大的发展，公交线路的条数和公交车数量在迅速增多，给人民生活带来便利的同时，也面临多条线路得选择问题，有时出行往往还需要转乘多辆公交车才能到达目的地。
如何在短时间、换乘次数最少、成本最低的情况到达目的地，是人们所关注的问题。
因此，我们通过建立线路选择的模型与算法，设计一套自主查询计算机系统，查询到出行时所需的最佳公交路线及换乘方法，给人们出行节约更多的时间和金钱。
要求：
1、仅考虑公汽线路，建立任意两公汽站点之间线路选择问题的数学模型与算法。
并求出以下6对起始站→终到站之间的最佳路线。
（1）S3359→S1828
（2）S1557→S0481 （3）S0971→S0485
（4）S0008→S0073 （5）S0148→S0485 （6）S0087→S3676
2、同时考虑公汽与地铁线路，解决1中问题。
3、如果所有站点间的步行时间已知，建立任意两站点间路线选择问题的数学模型。
二、模型的假设
1、所有公交线路的开班、收班时间相同。
2、公车不会因为堵车等因素延长行驶时间。
3、各条线路不会有新的调整与变化。
4、环线可以以任意站作为起点站和终点站，并且是双向的。
5、除环线以外的线路，到达终点站后，所有的人都必须下车。
6、人们对换乘车次数尽量少的偏好程度总是大于对花费时间相对短和花费金钱相对少的偏好程度。
7、同一地铁站对应的任意两个公汽站之间可以通过地铁站换乘，且无需支付地铁费。
三、符号的说明
符号
表示意义
第条包含初始站点的线路，
第条包含目标站点的线路，
第条中间线路，
上的第个站点，
上的第个站点，
上的第个站点，
乘客在第段线路上乘坐的站数
乘客在一次地铁线路上乘坐的总站数
公汽换乘公汽的次数
地铁换乘地铁的次数
地铁换乘公汽的次数
公汽换乘地铁的次数
四、问题的分析、模型的建立及求解
4.1 问题一
4.1.1 问题一的分析
已知相邻公汽站平均行驶时间（包括停站时间）：
3分钟；公汽换乘公汽平均
耗时：
5分钟（其中步行时间2分钟）。
公汽票价：
分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段估计票
价为：
0～20站：
1元；21～40站：
2元；40站以上：
3元。
题目要求设计任意两公汽站点之间线路选择问题的数学模型与算法。
对于附录中的1.1公汽线路信息.txt中的数据进行处理后，以文本文件形式导入Matlab中，找到了站点与站点之间的关系。
进一步发现表明无论试图产生邻接矩阵或边权矩阵因数据太庞大而可行性极低，其运行时间长达50分钟，故考虑按题目给的路线来建立站点矩阵并对此矩阵进行处理后能够清晰有效地应用此矩阵。
4.1.2 模型的建立及求解
模型一
设为乘坐公交线路的费用函数：
，
总时间函数：
（1）
总费用函数：
（2）
其中表示乘客在公交线路上乘坐的站数；表示公汽换乘公汽的次数。
目标：
找出任意给定的两站点的乘车线路，使和相对最小。
算法思路：
由于人们的对换乘车次数尽量少的偏好程度总是大于对花费时间和金钱相对少的偏好程度，我们将优先考虑换乘车次数尽量少，然后再考虑花费时间相对短、花费金钱相对少，对得出的所有结果中进行筛选。
换乘次数的大概思路及步骤如下：
将所有包含初始站点的线路建成一个集合S，，，所有包含目标站点的线路建成一个集合G，，。
， ，
，，
，。
1、直达的线路。
当时，存在、，，，使得，即、为同一线路。
此线路既包含初始站点又包含目标站点。
若，那么，此线路为所求直达线路。
若，或者当时，考虑换乘一次的线路。
2、换乘一次的线路。
当有和相交时，存在、，，，有及，，。
使得，即、为同一站点。
若，，那么，从初始站点乘坐线路，行驶至站点，即在站点，换乘线路至目标站点。
即
若不满足，，或者，当无任何和相交时，考虑换乘两次的线路。
3、换乘两次的线路。
记，，，有，，，且满足与、都相交时，即
线路既不包含初始站点又不包含目标站点，，。
但是
存在及，使得，
存在及，使得，
即、为同一站点，且、为同一站点。
，，，，，，。
若，，，那么，从初始站点乘坐线路，行驶至站点，即在站点，换乘线路至站点，即在站点，换乘线路至目标站点。
即
若不满足，，，或者，当不存在满足条件的时，说明需要换乘三次才能够到达目标站点。
换乘三次的线路的模型建立原理是相同的。
由于几乎没有这样的情况，故我们不作考虑。
通过考虑花费的时间或金钱，在得出的多条结果中进行筛选。
4.1.3 问题一的结果
由于公交线路的固定性、重叠性和可选择性,使得公交乘客出行线路选择行为具有相当的复杂性。
由公交乘客的路径选择特性可知,乘客总是根据个人偏好选择出行路线（或希望出行时间最少,或希望换乘次数最少,或希望出行费用最低）,可称之为最短路因素。
同时,由于公交网络的复杂性,使得最短路判断出现差异,而个人选择行为带有一定的随机性,所以多路径选择较为符合乘客的行为特点。
另外一个方面，当乘客要进行一次换乘时，他会考虑到时间或者费用等问题，但当乘客必须二次换乘时，时间是决定乘客选择路线的唯一因素，所以在这种情况下我们只考虑途经站点最少的二次转乘路线。
基于以上考虑,我们对每道小题都给出了多种乘车路线，以供乘客根据自己的需要选择。
（程序见附录8.1、附录8.2、附录8.3）
（1）S3359→S1828
线路（条）
初始站换乘站 （换乘站）目标站
时间（分）
金钱（元）
1
S3359S1784 S1828
101
3
2
S3359S1784 S1828
101
3
3
S3359S3515S1784S1828
94
3
4
S3359S0359S1784S1828
94
3
5
3359S3515S1784S1828
94
3
评价说明：
经Matlab运行程序，得出了5条优化线路。
其中，1、2条换乘一次，3、4、5条换乘两次，3、4、5条线路比1、2条线路多换乘一次，所花的金钱相同，但是节省了7分钟时间。
乘客根据自己的需要进行选择。
（2）S1557→S0481
线路（条）
初始站换乘站 （换乘站）目标站
时间（分）
金钱（元）
1
S1557S1919S2424S0481
112
3
2
S1557S1919S2424S0481
112
3
3
S1557S1919S2424S0481
112
3
4
S1557S1919S2424S0481
112
3
5
S1557S1919S2424S0481
112
3
6
S1557S1919S2424S0481
112
3
7
S1557S1919S2424S0481
112
3
8
S1557S1919S2424S0481
112
3
9
S1557S1919S2424S0481
112
3
评价说明：
经Matlab运行程序，得出了9条优化线路。
乘坐这9条线路所花费的时间和金钱都相同，且均需要换乘两次。
不存在换乘一次的线路。
乘客可以选择任意一条线路。
（3）S0971→S0485
线路
初始站换乘站 （换乘站）目标站
时间（分）
金钱（元）
1
S0971S2184 S0485
128
3
2
S0971S0992 S0485
131
3
3
S0971S3405S2515S0485
94
3
4
S0971S1520S2265S0485
94
3
5
S0971S1520S2654S0485
94
3
6
S0971S1520S1729S0485
94
3
7
S0971S1520S3766S0485
94
3
8
S0971S1520S2265S0485
94
3
9
S0971S1520S2265S0485
94
3
评价说明：
经Matlab运行程序，得出了9条优化线路。
其中，1条换乘一次，3~9条换乘两次，3~9条线路比1条线路多换乘一次，所花的金钱相同，但是节省了37分钟时间。
乘客根据自己的需要进行选择。
（4）S0008→S0073
线路
初始站换乘站 （换乘站）目标站
时间（分）
金钱（元）
1
S0008S2083 S0073
83
2
2
S0008S2263 S0073
83
2
3
S0008S2683 S0073
83
2
4
S0008S0400 S0073
83
2
5
S0008S2559 S0073
83
3
6
S0008S1383S2833S0073
82
3
7
S0008S1691S2833S0073
82
3
8
S0008S3766S2833S0073
82
3
9
S0008S1383S2833S0073
82
3
10
S0008S1383S2833S0073
82
3
评价说明：
经Matlab运行程序，得出了10条优化线路。
其中，1~5条换乘一次，所花费的时间相同，但是1~4条比5条节省了1元钱。
6~10条换乘两次，所花的金钱比1~4条多1元，只节省了1分钟时间。
所以建议乘客选择1~4条。
（5）S0148→S0485
线路
初始站换乘站 （换乘站）目标站
时间（分）
金钱（元）
1
S0148S0036S2210S0485
106
3
2
S0148S0036S3332S0485
106
3
3
S0148S0036S3351S0485
106
3
评价说明：
经Matlab运行程序，得出了3条优化线路。
乘坐这3条线路所花费的时间和金钱都相同，且均需要换乘两次。
不存在换乘一次的线路。
乘客可以选择任意一条线路。
（6）S0087→S3676
线路（条）
初始站换乘站 （换乘站）目标站
时间（分）
金钱（元）
1
S0087S3496 S3676
65
2
2
S0087S1893 S3676
71
2
3
S0087S0541S0236S3676
52
3
4
S0087S0541S2336S3676
52
3
评价说明：
经Matlab运行程序，得出了4条优化线路。
其中，1、2条换乘一次，所花费的金钱相同，但是1条比2条节省了6分钟。
3、4条换乘两次，所花的金钱相同，且比1、2条多1元，但节省了时间。
所以建议乘客选择1、3、4条。
4.2 问题二
4.2.1 问题二的分析
已知相邻地铁站平均行驶时间（包括停站时间）：
2.5分钟；
地铁换乘地铁平均耗时：
4分钟（其中步行时间2分钟）；
地铁换乘公汽平均耗时：
7分钟（其中步行时间4分钟）；
公汽换乘地铁平均耗时：
6分钟（其中步行时间4分钟）；
地铁票价：
3元（无论地铁线路间是否换乘）；其它的公汽时间信息与问题一相同。
题目要求同时考虑公汽与地铁线路，设计任意两公汽站点之间线路选择问题的数学模型与算法。
在此，我们考虑了总时间和总费用两个函数，讨论方法与一题类似，只是加入了地铁，分为乘坐地铁和完全不坐地铁两种。
4.2.2 模型的建立及求解
模型二
设，分别为乘坐公交和地铁线路的费用函数：
总时间函数：
（，） （3）
总费用函数：
（4）
其中表示乘客在公交线路上乘坐的站数；表示乘客在一次地铁线路上乘坐的总站数；分别表示公汽换乘公汽，地铁换乘地铁，地铁换乘公汽，公汽换乘地铁的次数。
目标：
找出任意给定的两站点的乘车线路，使和相对最小。
算法思路：
由于假设同一地铁站对应的任意两个公汽站之间可以通过地铁站换乘且无需支付地铁费，那么不妨把同一地铁站所对应的几个公汽站合并成一个站。
地铁线路
，
。
1、可以乘坐地铁的线路。
（1）若初始站点和目标站点都在地铁线路或者上，那么，只乘坐地铁或者便可以直达。
其中，若都在线路上，就选择经过站数最少的方向。
若初始站点和目标站点分别在地铁线路和上，那么，需要进行一次地铁换乘地铁才能到达。
（2）若只有初始站点或只有目标站点在地铁线路上，则需要换乘公汽才能到达目标站点。
①初始站点，，目标站点且，。
当有和地铁相交时，即存在，有，使得，。
，。
若，那么，从初始站点（记为）乘坐地铁线路，行驶至站点（记为），换乘公汽线路至目标站点。
，。
即
（）
（）
其中，时需要地铁换乘地铁。
若不满足，或者当没有这样的时，说明在地铁换乘公汽后，还需要进行公汽换乘公汽。
由于这样的情况几乎不存在，故不作考虑。
②目标站点，初始站点且，
同理可得结论。
（3）若初始站点和目标站点都不在地铁线路上，则先乘坐公汽，换乘地铁，再由地铁换乘公汽。
地铁线路既和相交又和相交时，即
地铁线路既不包含初始站点又不包含目标站点。
但是存在、，，，有
，使得，记为，
，使得，记为，
，，，。
若，，那么，从初始站点乘坐线路，行驶至站点（记为），换乘地铁线路至站点（记为），换乘线路至目标站点。
即
（）
（）
其中，时需要地铁换乘地铁。
若不满足，，或者不存在、都与地铁线路相交，说明需要在地铁线路前或后进行公汽与公汽的换乘。
由于这样的情况几乎不存在，故不作考虑。
2、只乘坐公汽的线路。
完全排除地铁线路，与解决问题一的方法相同。
4.1.3 问题二的结果
（程序见附录8.4）
（1）S3359→S1828
应用Matlab编出的程序显示出没有在地铁站附近车站转站的的转站台，所以此时不坐地铁的结果完全和“问题一”中的第一小题的结果相同。
因此在这种情况下，建议在这些站点乘客应当首先考虑坐公汽。
具体情况请参照“问题一”的的结果。
（2）S1557→S0481
同
（1）的结论。
图1地铁图
（3）S0971→S0485
通过S0971的路线同时又能够到达地铁站的线路分别为：
L160上行，L263下行，L119上行，L024下行，L119下行，L013上行，分别到达地铁的D01，D02，D26；另外一方面，与终点站S0485相连并能够到达地铁站的公交线路分别是L375上，L469下行，L051上行，L417下行，L395下行，分别到达地铁站的D21，D22和D20。
可以乘坐地铁：
线路（条）
初始站换乘站 （换乘站）目标站
时间（分）
金钱（元）
1
S0971（D26）（D21）S0485
.5
6
2
S0971（D26）（D21）S0485
.5
6
3
S0971（D26）（D21）S0485
.5
6
升级会员 