课本多项式函数及其图形.docx
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课本多项式函数及其图形
137
-2多项式函数及其图形
生活周遭事物的关系，经常是函数关系。
例如：
人们在
等速运行电扶梯上所移动的距离（y米）与站立时间（x秒），
就是函数y＝kx，k为电扶梯每秒移动的速度。
本节中，
将介绍数学上基本的函数－多项式函数及其图形的
重要性质。
函 数
此电扶梯长度有39.44米，高度有19.72米，约六层楼高。
我们会探究生活中的许多事物所
隐藏的对应关系，便于进行判断和预
测。
例如，据报载，台北捷运最长的电
扶梯在忠孝复兴站，已知运行速度为
每秒0.5米，每分钟平均运送约90
位旅客。
为疏运旅客，拟加快运行速
度，当速度提升到每秒0.65米，北
捷预估调整后运输量可增加30％，
试问：
这个预估是否合理？
设时间x秒可运送旅客y人，依题意可知，电扶梯宽度固定，只需考虑
电扶梯每米可站立的人数为
＝3（人），故加速后可运送人数
y＝3×0.65×x＝1.95x，
因此，每分钟可运送旅客1.95×60＝117，则运量增加
×100％＝30％，
故北捷的预估是合理的。
由上可知，时间x秒与人数y的数学式可表为y＝1.95x。
当x值给定时，恰有一个y值与之对应，我们称这种对应关系为y是x的函数。
函数的定义
设x与y是两个变量，若y的值随x所取的值依某一种对应法则f而唯一确定时，称y是x的函数，用记号y＝f（x）表示。
其中x叫作自变数，y叫作应变数。
并用f（x0）表示函数f在x＝x0所对应的函数值。
上述例子时间与人数的函数，可记作f（x）＝1.95x，当x＝20时，对应的函数值为f（20）＝1.95×20＝39（人）。
随堂练习
下表为某年每个月份的对应天数。
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天数
31
28
31
30
31
30
31
31
30
31
30
31
设x代表月份，y代表天数。
则：
（1）天数y是否为月份x的函数？
（2）月份x是否为天数y的函数？
请说明理由。
进一步，在坐标平面上，满足y＝f（x）之所有点（x,y）聚集而成的图形，就称为函数f（x）的图形。
函数图形让我们对函数的变化趋势有具象的掌握，有助于我们了解该函数的对应关系。
例如：
观察图5可知，不论变量x如何变化，函数值f（x）恒为1，正是国中时所学过的常数函数。
函数图形也需满足函数的对应关系：
每一个x只对应到一个f（x）的值。
例如，圆的图形就不是函数图形，如图6所示。
图5 图6
第2章所讨论的直线方程式ax＋by＋c＝0（ab≠0），可将y放在等号左边，化简成y＝mx＋k（m≠0），正是国中所学的一次函数，可表为函数f（x）＝mx＋k。
不过，并非任意方程式均可转换成函数关系，例如，圆方程式x2＋y2＝1，化简得y2＝1－x2。
当x＝0代入，得y＝±1，故两变量间没有函数关系。
已知x的n次多项式f（x），当x＝x0时，多项式的值f（x0）也随之唯一确定，这种由多项式导出的函数关系，就称f为x的多项式函数（或n次多项式函数或n次函数）。
其中，最基本的例子正是国中时所学的一次函数和二次函数。
一次函数及其图形
一次函数
一次函数的定义如下：
一次函数
设a≠0，形如f（x）＝ax＋b的函数称为x的一次函数。
y截距b，即直线与
y轴交于（0,b）。
国中时已知道，一次函数f（x）＝ax＋b（a≠0）
的图形正是直角坐标平面上，所有满足直线方程式
y＝ax＋b的点所构成的图形，即斜率为a，且y截
距为b的直线。
随堂练习
在坐标平面上描绘一次函数f（x）＝－2x＋4
的图形。
下面来看一次函数的应用。
例题
1
机器人在坐标平面上沿着一直线等速前进。
刚开始观
察时，机器人的位置在点A（2,1），一小时后，已经来
到点B（11,16）。
（1）若机器人前进路线为一次函数f（x）图形的一部分，
求f（x）。
（2）若20分钟后，机器人的位置为点C，求C点的坐标。
（1）斜率为m＝
＝
，
故y－1＝
（x－2），得y＝
x－
，
因此，f（x）＝
x－
。
（2）设C点坐标为（x，f（x）），
如右图，依题意知
：
＝1：
2，
由数在线分点公式，x＝
＝5，
f（5）＝
×5－
＝6，故C点坐标为（5,6）。
其实，不求出一次函数f（x），只要知道f
（2），f（11），就能计算f（5）的值。
由斜率的定义可知：
＝
，得f（5）＝
＝
＝6，
因此，利用分点公式就能求出。
随堂练习
承例题1所述，求40分钟后，机器人所在位置坐标为 。
例题
2
在坐标平面上，同时描绘一次函数f（x）＝2x，g（x）＝2x＋2及
h（x）＝2x－4的图形，并比较这三个函数图形，说明它们的关系。
f（x），g（x），h（x）的图形为斜率2，
且分别交y轴于（0,0），（0,2），（0,－4）
的三平行直线，图形如右。
由图形知，
f（x）的图形沿y轴方向往上平移2单位，
得到g（x）的图形；
f（x）的图形沿y轴方向往下平移4单位，
得到h（x）的图形。
进一步观察函数，g（x）＝f（x）＋2，h（x）＝f（x）－4，即
h（x）＝f（x）－4
f（x）
g（x）＝f（x）＋2。
事实上，一次函数f（x）＝ax＋b的图形，就是将直线y＝ax沿y轴方向平移|b|单位而得（b＞0，往上移；b＜0，往下移）。
不过，这三个函数的关系还有另一种看法，如下图所示，观察x轴的交点可知：
g（x）
f（x）
h（x）
且观察函数会发现：
g（x）＝2x＋2＝2（x＋1）＝f（x＋1），
h（x）＝2x－4＝2（x－2）＝f（x－2）。
事实上，一次函数图形y＝f（x）沿x轴方向平移|h|单位，所得的函数图形为y＝f（x－h） （h＞0，往右移；h＜0，往左移）。
综上讨论，一次函数f（x）＝ax＋b（a≠0）的图形经过水平方向或铅直方向的适当平移后，总会与y＝ax（a≠0）的图形叠合。
随堂练习
已知函数f（x）＝－2x。
（1）若f（x）的图形沿y轴方向向下平移3单位可得一次函数g（x）的图形，则g（x）＝ 。
（2）若函数h（x）＝－2x－2，则h（x）的图形沿x轴方向向 （填
“左”或“右”）平移 单位，可得函数f（x）的图形。
二次函数及其图形
二次函数定义如下：
二次函数
设a，b，c为实数，且a≠0，形如f（x）＝ax2＋bx＋c的函数，就称为x的二次函数。
国中时曾介绍y＝a（x－h）2＋k（a≠0）的二次函数图形，以下从f（x）＝ax2的图形谈起。
随堂练习
（1）请在下列表格中，填入正确的答案。
x
－2
－1
0
1
2
f（x）＝x2
4
1
0
1
4
f1（x）＝2x2
f2（x）＝
x2
f3（x）＝－x2
（2）承
（1），利用上述结果，绘制f1（x）＝2x2，
f2（x）＝
x2和f3（x）＝－x2的图形。
一般而言，对于f（x）＝ax2的图形特征，有以下几点：
f（x）＝ax2的图形特征
二次函数f（x）＝ax2的图形是抛物线。
（1）顶点在原点（0,0），对称轴是y轴。
（2）a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下。
|a|愈大，开口愈小。
（3）y＝f（x）的图形与y＝－f（x）的图形对称于x轴。
由上知，二次函数f（x）＝ax2的图形是对称于y轴的抛物线，这样的对称特性在函数上有什么意义呢？
如下图所示，当函数图形对称y轴时，点（x,f（x））与（－x,f（－x））都在图形上，且在相同的水平线上，即函数f（x）满足
f（－x）＝f（x）的特性。
a＞0 a＜0
事实上，满足f（－x）＝f（x）的函数图形，就是以y轴为对称轴的线对称图形。
随堂练习
下列哪些函数图形会对称于y轴？
（A）y＝2 （B）y＝2x （C）y＝2x2 （D）y＝2x3
接下来，复习形如y＝a（x－h）2＋k（称为标准式）的图形性质。
例题
3
在坐标平面上，同时描绘出二次函数f（x）＝2x2，g（x）＝2（x－3）2及
h（x）＝2（x－3）2－2的图形，并比较这三个函数图形，说明它们的关系。
如右图，
f（x），g（x），h（x）的图形为三个开口
向上且大小相同的抛物线。
而g（x），h（x）图形的对称轴为x－3＝0，
顶点分别为（3,0）与（3,－2）。
由顶点可知，f（x）的图形沿x轴方向
向右平移3个单位，得g（x）的图形；
g（x）的图形沿y轴方向向下平移2个单位得h（x）的图形。
由例题3可知，三个函数图形具有以下关系：
f（x）＝2x2
g（x）＝2（x－3）2＝f（x－3）
↓下移2个单位
h（x）＝2（x－3）2－2＝g（x）－2。
事实上，二次函数g（x）＝ax2的图形经由适当的平移（观察顶点即知），会与
f（x）＝a（x－h）2＋k的图形完全叠合，即
y＝ax2y＝a（x－h）2＋k （开口相同）
顶点（0,0），
对称轴为x＝0（y轴）。
顶点（h,k），
对称轴为x－h＝0。
同时，由一次与二次函数图形的讨论，可知函数图形的平移和函数表示的关系。
事实上，这结果对任意函数f（x）均成立：
h＞0
h＜0
y＝f（x－h）的图形
y＝f（x）的图形沿x轴方向向右平移|h|单位
y＝f（x）的图形沿x轴方向向左平移|h|单位
y＝f（x）＋h的图形
y＝f（x）的图形沿y轴方向向上平移|h|单位
y＝f（x）的图形沿y轴方向向下平移|h|单位
随堂练习
在空格中填入正确的函数：
f（x）＝3x2的图形
g（x）＝ 的图形。
f（x）＝3x2的图形
h（x）＝ 的图形。
那么，二次函数若为f（x）＝ax2＋bx＋c（称为一般式）时，如何绘出图形呢？
由上述讨论可知：
只要将二次函数的一般式f（x）＝ax2＋bx＋c化成标准式
f（x）＝a（x－h）2＋k即可，方法类似国中学过的方程式配方法，下面以函数
想一想：
x2＋2kx＋
＝（x＋ ）2。
f（x）＝2x2＋4x＋5为例：
f（x）＝2x2＋4x＋5
＝2（x2＋2．1．x＋12－12）＋5
＝2（x2＋2．1．x＋12）＋5－2×12
＝2（x＋1）2＋3，
因此，f（x）＝2x2＋4x＋5＝2（x＋1）2＋3。
仿照上法，f（x）＝ax2＋bx＋c化成标准式的过程如下：
f（x）＝ax2＋bx＋c （a≠0）
＝a（x2＋
x）＋c＝a〔x2＋
x＋（
）2〕－a．（
）2＋c
＝a（x－
）2＋
＝a（x－h）2＋k，其中h＝
，k＝
。
随堂练习
利用配方法，将下列二次函数化成a（x－h）2＋k之形式。
（1）f（x）＝x2＋4x＋5。
（2）f（x）＝－3x2＋12x－1。
（3）f（x）＝2x2－2x＋3。
学会如何将二次函数的一般式配方成标准式，就能描绘任意二次函数的图形
并掌握其图形性质。
例题
4
描绘二次函数f（x）＝－3x2＋6x＋1的图形，并求出顶点坐标与对称轴。
利用配方法，
将函数化成标准式：
f（x）＝－3x2＋6x＋1
＝－3（x2－2x＋12－12）＋1
＝－3（x－1）2＋3＋1
＝－3（x－1）2＋4，
因此，f（x）＝－3x2＋6x＋1
＝－3（x－1）2＋4，
f（x）的图形为y＝－3x2的图形向右平移1单位，向上平移4单位而得，
故顶点坐标（1,4），对称轴x－1＝0。
因此，化成标准式f（x）＝a（x－h）2＋k利于我们掌握二次函数图形的开口方向、顶点坐标和对称轴。
随堂练习
求二次函数f（x）＝3x2＋12x－1图形的顶点和对称轴。
综合上面讨论，对于二次函数的图形特征有以下结论：
二次函数图形的特征
（1）二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c＝a（x－h）2＋k的图形是一条抛物线，顶点为
V（h，k）＝（
），对称轴为直线x＝
。
（2）当a＞0时，图形开口向上，顶点为图形的最低点；当a＜0时，图形开口向下，顶点为图形的最高点。
（3）f（x）的图形可由函数y＝ax2的图形平移而得。
随堂练习
已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图形如右，
且通过原点，求序组（a,b,c）＝？
知道二次函数图形的特征后，可用来解决二次函数最大值、最小值的问题。
例题
5
求二次函数f（x）＝2x2－4x＋1的最大值或最小值。
由于f（x）＝2x2－4x＋1＝2（x－1）2＋（－1），
故图形是开口向上的抛物线，
顶点V（1,－1）为图形的最低点，
故x＝1时，f（x）有最小值－1。
由图形知没有最高点，故f（x）没有最大值。
随堂练习
求下列二次函数的最大值或最小值。
（1）f（x）＝2（x＋3）2－4。
（2）f（x）＝－x2＋4x＋7。
一般而言，当自变数x值没有限制时，二次函数的最大值或最小值会发生在顶点的函数值。
不过，在实际应用上，x的范围常有限制，在条件限制下，如何求函数的最大值与最小值呢？
先来看下面的例子。
例题
6
已知二次函数f（x）＝－x2＋2x＋6，求f（x）在下列x范围中的最大值与最小值。
（1）－1≤x≤2。
（2）2≤x≤3。
f（x）＝－x2＋2x＋6＝－（x－1）2＋7，
故f（x）的图形是开口向下，
且顶点为V（1,7）的抛物线。
（1）－1≤x≤2，
由图形可知（蓝色部分），
最大值为f
（1）＝7，最小值为f（－1）＝3。
（2）2≤x≤3，
由图形可知（红色部分），
最大值为f
（2）＝6，最小值为f（3）＝3。
随堂练习
求二次函数在下列x范围中的最大值与最小值。
（1）f（x）＝（x＋2）2＋1 （－4≤x≤－1）。
（2）f（x）＝－x2＋4x （3≤x≤5）。
日常生活中有许多问题与二次函数的最大值或最小值有关。
例题
7
如右图所示，有位农夫想用长度为66米
的竹篱笆围成一矩形菜圃，并在其中一边
正中央留着宽2米的出入口，如何才能
围成最大面积的菜圃？
如上图，
设菜圃的一边长为x米，另一边长为
〔66－x－（x－2）〕＝34－x，
故
得
因此x的范围为2≤x＜34。
令菜圃面积为f（x）平方米，则
f（x）＝（34－x）x＝－x2＋34x＝－（x－17）2＋289，2≤x＜34。
当x＝17时，f（17）＝289是最大值，此时34－x＝17，故所围菜圃为边长17米的正方形时，所得面积最大，面积为289平方公分。
随堂练习
如右图，长80米的栅栏围成一
个矩形的菜园，矩形菜园的一边
是住屋的高墙。
假设矩形与墙相
邻的边长是x米，求菜园面积
的最大值。
数学名言
代数是搞清楚世界上数量关系的智力工具。
－爱因斯坦
三次函数及其图形
三次函数及其图形
三次函数定义如下：
三次函数
设a≠0，形如f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的函数称为x的三次函数。
如何描绘三次函数的图形？
我们将仿照前面的讨论，由三次函数f（x）＝ax3的基本图形看起，再利用水平方向和铅直方向平移处理一般式。
不妨从f（x）＝x3的函数图形开始，如何绘制
呢？
先尝试计算x＝－2,－1,0,1,2的函数值，并
在坐标平面上描点观察。
如下表所示：
x
－2
－1
0
1
2
f（x）
－8
－1
0
1
8
虽然取点的数量不足以看出图形的概略形状，
但配合表格和图形，我们仍可看出两个结果：
（1）f（－2）＜f（－1）＜f（0）＜f
（1）＜f
（2）；
（2）f（－2）＝－f
（2），f（－1）＝－f
（1）。
结果
（1）似乎表示：
随着x值变大，函数值f（x）
会跟着变大的关系；结果
（2）则说明函数值f（x）
与f（－x），两者具有f（－x）＝－f（x）的关系。
这
两个关系是函数f（x）＝x3的性质吗？
对应到图
形，表示着什么样的图形特征呢？
为了找寻上述问题的答案，不妨再添加一些点予以描绘观察，请大家先完成下面随堂练习的问题。
随堂练习
已知f（x）＝x3，请完成下列小题：
（1）请在下列表格中，填入对应的函数值。
（四舍五入到小数点第二位）
x
－2
－1.75
－1.5
－1.25
－1
－0.5
0
0.5
1
1.25
1.5
1.75
2
f（x）
－8
－1
0
1
8
（2）依上表数据，把各点（x，f（x））描在上页坐标平面上。
（3）完成
（1）和
（2）后，请观察上文所述的两个关系是否仍成立？
透过上述随堂练习可知，再添加一些点，下面结果依然成立：
（1）f（－2）＜f（－1.75）＜…＜f（0）＜…＜f（1.75）＜f
（2）；
（2）f（－2）＝－f
（2），f（－1.75）＝－f（1.75），…，f（－0.5）＝－f（0.5）。
因此，上文所述的关系仍成立。
事实上，这两
个关系对函数f（x）＝x3来说，是对所有的x值
都会成立的性质。
那么，这两个函数性质会对
应到什么样的函数图形特征？
以下接着说明。
性质一：
递增性
随着x值变大，函数值f（x）会跟着变大。
当我
们将点（x，f（x））描在坐标平面上时，这些点会
由左下往右上分布，则称这些点所组成的函数
图形具有递增性。
性质二：
对称性
函数值f（－x）＝－f（x），所以f（－x）＋f（x）＝0。
由于这两点（x,f（x））和（－x,f（－x））都在函
数图形上，将两点连线后，会发现原点（0，0）
是线段的中点，代表着这些点所组成的函数
图形具有对称性。
事实上，对于实数x，满足
f（－x）＝－f（x）性质的函数图形，是以原点为对称中心的点对称图形。
利用f（x）＝x3图形的递增性和对称性，就能将这些描出的点用平滑曲线（上图虚线）由左下往右上连接起来。
大家不妨拿起笔将虚线连接起来，一起完成函数f（x）＝x3的概略图形。
接下来，下面随堂练习，可以帮助了解y＝x3和y＝ax3图形的关系。
随堂练习
将下列空格中填入对应函数图形的代号
Γ1～Γ4：
（1） ：
g（x）＝2x3。
（2） ：
h（x）＝－x3。
（3） ：
p（x）＝
x3。
（4） ：
q（x）＝－
x3。
对于y＝ax3的函数图形，可以得到下面的结论：
三次函数y＝ax3的图形特征
（1）当a＞0时，图形由左往右上升。
当a＜0时，图形由左往右下降。
（2）图形Γ会通过原点且以原点为对称中心。
（3）y＝ax3的图形与y＝－ax3的图形对称于x轴。
由前述知道，函数y＝ax3（a≠0）和y＝px（p≠0）的图形都是以原点为对称中心。
那么，三次函数y＝ax3＋px（ap≠0）的图形，是否仍以原点为对称中心？
让我们继续看下去。
三次函数f（x）＝ax3＋px的图形
对于f（x）＝ax3＋px（ap≠0）的函数图形，依a，p的正负分成四种情形，各自挑选一例，用电脑软件，可画出下列图形：
（1）a＞0，p＞0
（2）a＞0，p＜0
（3）a＜0，p＜0
（4）a＜0，p＞0
观察这四个图形，会发现f（x）＝ax3＋px的图形与y＝ax3不同，图形不是单纯的上升或下降，中间可能会出现凹凸的转折。
而且
f（－x）＝a（－x）3＋p（－x）＝－（ax3＋px）＝－f（x），
故f（x）＝ax3＋px的图形仍是以原点为对称中心的点对称图形。
可得结论如下：
三次函数f（x）＝ax3＋px的图形特征
三次函数f（x）＝ax3＋px的图形会通过原点，并且是以原点为对称中心的点对称图形。
随堂练习
下列哪些函数图形会对称于原点？
（A）f1（x）＝－x3
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