对数函数图像及其性质.docx

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对数函数图像及其性质

GUANGXINOPMALUNlVEPSITY

《对数函数及其性质》

人教A版第二章第2.2.2节

学校：

广西师范大学院系：

数学科学学院作者：

学号：

对数函数及其性质

一、教学设计理念本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，体现新课标要求和“学生是课堂活动的主体，教师是学生活动的引导者、组织者、帮助者”的教学理念。

首先，基于“人人有份”的数学教学思想，坚持面向全体学生，引导学生积极主动地参与获取知识的全部过程，体现了学生为中心的教育教学理念。

其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

数学课堂教学应该是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质，以恰时恰点的问题引导数学活动，培养学生的问题意识，孕育创新精神。

遵循这样的理念，我对此课时进行了如下设计：

第一、在课堂活动中通过同伴合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。

第二、在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。

第三、通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法。

二、学情分析

（一）学习的知识起点

学生在前面已经学习了指数函数及其性质，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对对函数的思想方法的理解。

（二）学习的经验起点大部分学生已经掌握了一些函数知识，具备一定学习函数的基本能力，如通过类比分析问题的能力；且有一定的自学能力。

但由于高一学生思维的逻辑性还不是很严密，所以对于不同底数a的对数函数的性质不能很好地进行区分。

从学生的学习经验出发，让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受对数函数中底数a取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，从而达到学生对对数函数知识的深刻掌握。

三、教材分析

（一）教材的地位与作用对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质,掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。

作为重要的基本初等函数之一,对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习对数方程、对数不等式等提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。

它的教学过程，体现了数形结合的思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作用，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。

（二）重难点及突破方法教学重点：

理解并掌握对数函数的定义、图像与性质。

突破方法：

结合前面指数函数的学习方法，数形结合，通过让学生动手画图、观察、猜想、归纳与概括、举证与评价等方法，建立对数函数模形，并将对数函数与指数函数联系起来从而得出其定义。

运用数形结合与特殊到一般、分类讨论的数学研究方法以及变式练习，让学生掌握其图像和性质拓展与应用，达到熟练对数函数图像与性质的运用。

教学难点：

底数a对图象的影响及对数函数性质的探究。

突破方法：

对于不同底数的对数函数，教师引导学生用“对比联系”、“数形结合”及“分类讨论”等思想方法来探究，让学生动手画图、观察图象，启发学生思考、实验、分析、归纳，从而深刻掌握底数a对图象的影响及对数函数的性质。

四、目标设计

（一）知识与技能：

1、理解对数函数的定义；掌握对数函数的图象和性质及其简单应用。

2、通过具体实例，直观感受对数函数模型所刻画的数量关系；通过具体的函数图像的画法以及类比法逐步认识对数函数的特征；

（二）过程与方法：

1、学导法：

通过实例创设问题情境，引导学生对对数函数解析式的理解；引导学生类比指数函数的研究思路，从图像特征分析对数函数的性质。

2、师生共同讨论法：

指在调动学生参与的积极性，突出学生主体地位，通过教师必要指导，调动学生思维的积极性；

（三）情感态度与价值观：

1、渗透由特殊到一般的思想，培养学生探索研究数学问题的素养，渗透数形结合、分类讨论的数学思想，提高学生分析问题、解决问题的能力、数形结合的能力。

2、通过学习对数函数与指数函数的图像特征和性质，让学生欣赏它们各具特点的位置关系，感悟数学世界的奇异美，培养学生的美学意识。

3、通过本节内容学习，培养学生不断探索发现新知的精神，渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点。

五、教法学法分析

（一）教法分析

新课标的建构主义学习观，强调以学生为中心，学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用，又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期，思维活跃，具有一定的独立性，喜欢新鲜事物，敢于大胆发表自己的见解，不过思维还不是很成熟.

在目标分析的基础上，根据建构主义学习观，及学生的认知特点，我拟采用“探究发现式”教学方法。

让学生动手操作、发现规律、自行总结等几个环节，学生经历知识的形成过程，从而在心中形成概念。

然而老师的辅佐提示、系统归纳似的知识在学生的脑中清晰起来，并为学生所掌握。

整个课堂教法充分地体现了“学生为主体，教师为主导”的“两为主”的教学思想。

（二）学法分析新课程强调“以学生发展为核心”，强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

引导学生运用类比指数函数学习的方法来探究对数函数，因此本节课学生将在教师的启发诱导下对教师提供的素材经历复习引入→获得新知→作图察质→问题探究→归纳性质→学以致用→自我提升的过程，这一过程将激发学生积极

参与到教学活动中来。

六、教学过程设计

教学流程设计：

→复习引入，形成概念→尝试画图、形成感知→理性认识、发现性质→趁热打铁，拓展深化→自我提升的过程，

（一）复习引入，形成概念

引例1:

一尺之棰，日取其半，万世不竭。

（1）取5次，还有多长？

（2）取多少次，还有0.125尺？

分析：

1

32

5

⑴为同学们熟悉的指数函数的模型，易得’1|：

\、2J

（1抽象出：

§丿=0.125=X=?

引例2：

我们研究指数函数时，曾经讨论过细胞分裂问题，某种细胞分裂时，

得到的细胞的个数y是分裂次数X的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表

现在，我们来研究相反的问题，如果要求这种细胞经过多少次分裂，大

约可以得到1万个，10万个,,细胞，那么，分裂次数X就是要得到的细胞

个数y的函数。

根据2.2.1节指数函数与对数函数的关系

a»=N二IOgaN=b，这个函数可以写成对数的形式就是x=l0g2y。

如果用X

表示自变量，y表示函数，这个函数就是y=l0g2χ0

引导学生观察这些函数的特征：

含有对数符号，底数是常数，真数是变量，从而得出对数函数的定义：

函数yTogax（a・0，且a=1）叫做对数函数，其中X

是自变量，函数的定义域是（0,+∞）o

提问：

（1）在函数的定义中，为什么要限定a>0且a≠1?

（2）为什么对数函数y=l°gaX（a>0且a≠1）的定义域是（O,+∞）?

组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解。

【教师总结】①根据对数与指数式的关系，知y=logaX可化为a^x，由指数的

y

概念，要使a=X有意义，必须规定a>0且a≠1.

②因为y=l°gaX可化为χ=ay,不管y取什么值，由指数函数的性质，ay>

0,所以χ∙（Qf）.

例题1:

求下列函数的定义域

2

（1）y=∣ogaχ

（2）y=∣oga（4-χ）（a>o且a≠1）

2

分析：

由对数函数的定义知：

X>o；4-X>0，解出不等式就可求出定义域。

解：

（1）因为X2>0,即X≠0,所以函数yJog'的定义域为'XZ0I

（2）因为4-X>0,即XV4,所以函数yTog,4"的定义域为：

X|XV4.

教师：

当我们知道对数函数的定义之后，紧接着需要探讨什么问题？

学生：

对数函数的图象和性质。

接着引出下一环节。

【设计意图】复习旧知导入新知是一个不可或缺的环节，通过回顾旧知识，使知识得到联系，只有从学生已所学的指数函数出发，才能让学生在脑中形成对数函数的概念。

学生只有弄清了知识的来源，才会“顺其自然”地接受知识，这样处理，对数函数显得不抽象，学生容易接受，降低了新课教学的起点。

（二）尝试画图、形成感知

教师：

学习指数函数是我们从哪着手去讨论指数函数的性质了呢？

学生：

先画图象，再根据图象得出性质。

教师：

画指数函数的图象时我们是不是运用到了分类讨论的思想方法？

那么，有哪几种分类了呢？

学生：

按自＞1和分类讨论。

教师：

那么，在研究指数函数的图像与性质时我们从哪入手了呢？

还用了其他的什么研究方法了呢？

学生：

从研究其图像开始，运用了数形结合的方法。

师：

很好!

在研究指数函数的图像与性质时我们分类画出了底数为_：

1和

〔八:

7的两种函数的图像，接着找出图像特征，即运用数形结合的方法对这两种指数函数的性质进行分类讨论。

下面也让我们用类比学习指数函数的方法来探究对数函数的图像和性质。

教师在明确了探究方向后，下面，按以下步骤组织学生共同探究对数函数的图象：

组织学生用描点法分别画出以下几个对数函数的图像

（1）用描点法在同一坐标系中画出下列对数函数的图象

N=log2Xy=log1X

2

叫三个学生到黑板上作图，学生作图，教师检查，指出学生作图中的不足。

学生画图完毕，让学生将自己的作图成果与上黑板作图的同学的成果作比较，组织学生分组讨论，并分组作答。

教师用多媒体展出作图过程及结果。

先完成如下表，并根据此表用描点法或用电脑画出函数y=logJ的图象，再

利用电脑软件画出y=Iog1X

X

1

2

1

2

4

6

8

12

16

y

-1

0

1

2

2.58

3

3.58

4

图一

师：

同学们现在我们来观察图一，看看这些函数图像有什么特征呢？

学生分组讨论，并派代表进行发言，教师整合学生的答案，并适时补充。

教师引导学生先观察以2和1/2为底的对数函数图像的异同得出如下初步结讨论：

相同点：

①两个对数函数的图像都过点（1,0）;②函数图像都在y轴的右侧；不同点A=ι°gM在（0，+∞）上是递增函数，而耳在（0，+∞）

上是减函数。

在此过程中，教师通过让学生抢答的形式，增加课堂气氛，提高学生学习的积极性。

y=logiX

拓展探究：

1、对数函数y"°g4x与4、y=l0g3X与y=∣og1x的

3图象有怎样的对称关系？

2、对数函数y=logax（a>1）,当a值增大，图象的上升“程度”怎样？

教师用运用多媒体演示作图的全过程并展示结果如图二；

提问：

通过函数的图象，你能说出底数与函数图象的关系吗？

函数的图象有何特征，性质又如何？

学生讨论、交流。

有了这种画图感知的过程以及学习指数函数的经验，学生很明确y=IogaX

X

（a>1）、y=logaX（OVaVI）的图象代表对数函数的两种情形

【设计意图】所有的知识只有通过学生自身的“再创造”活动，才能纳入其认知

结构中，才可能成为下一个有效的知识。

学生动手画图，形成感知。

学生合作探究，

交流成果，再脑中初步建立对数模型。

学生只有经历了知识的形成过程才能做好的接受新知识的准备，如此一来便水到渠成。

师生互动的形式更增加了课堂气氛，使得知识在快乐中得

到吸收。

（3）理性认识、发现性质

教师：

当我们对对数函数的图象有了直观认识后，就可以进一步研究对数函数的性质，提高我们对对数函数的理性认识。

同学们，通常研究函数的性质时主要研究哪些方面？

学生：

主要研究函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质。

教师：

现在，请同学们依照研究指数函数性质的途径，再次联手合作，根据图象特征探究出对数函数的定义域、值域、单调性、对称性、过定点等性质

教师启发学生按a>1和O

函数

y=IOgaX（a>1）

y=logaX（0

图像

定义域

值域

单调性

过定点

取值范围

对称性

学生自主探究、合作交流的的基础上填写以上表格。

发扬团队协作精神，既要完成好各自的任务，又要在相互配合下，展示探究成果，教师做好组织、管理、启发、评价工作。

教师在学生总结的基础上，在投影屏上给出作图所需数据，给出性质简表，规范性质描述和强化所得的结论。

值

域

R

R

单调性

在（0，+OC）上是增函数

在（0，+犬）上是减函数

过定点

（1，0）即x=1,y=0

（1，0）即x=1,y=0

取值范围

0

x>1时，y>0

00

x>1时，y<0

对称性

关于底为1/a的图像对称

关于底为1/a的图像对称

（四）趁热打铁，拓展深化

知识点编号

学习

目标

检测内容

1

理解

比较下列各组数中两个值的大小：

（1）IOg23.4,Iog28.5

（2）log0.31.8,Iog0.32.7

（3）loga5.1,loga5.9（a>0,且a≠1

分析：

第

（1）、

（2）题由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：

第（3）题用分类讨论的思想（分a>0和0

2

应用

溶液酸碱度是通过PH刻画的。

PH的计算公式为PH=—lg［］，其中［］表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升。

（1）根据对数函数性质及上述PH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；

（2）已知纯静水中氢离子的浓度为［］=-摩尔/升，计算纯静水的PH

【设计意图】巩固所学新知，体现探究成果的应用，渗透数形结合思想、分类讨论思想；尝试完成实际应用性问题，体现“数学是有用的、数学来源于生活”这一理念。

预设任务的多元性，体现了分层教学的思想。

（五）对比总结、深化认识

步骤一、1你能归纳出这节课的学习内容吗？

2、对数函数及其性质和指数函数及其性质有什么区别和联系?

3、你能谈谈这节课的收获和体会吗？

小组讨论，合作交流，由学生代表总结表达，教师补充。

步骤二、教师再对比指数函数得出表格，并用多媒体课件展出。

（1）对数函数的定义；

（2）对数函数的图象；

（3）对数函数的性质。

名称

指数函数

对数函数

解析式

X

=a（a>O,且a≠1）

y=logaX（a>0,且a≠1）

y=fyJ

:

JZ…

1K"

图象

（a>l）

（Oca

J

ol

X

X

）y=a

L

i

y=lf*¾-r（0<⅛<]）

iy尸哭XsI）

∖λ

O

K=I'

O

X

定义域

R

（0,+r

值域

（0,代）

R

特殊值

当x=0时，总有y=1

当x=1时，总有y=0

单调性

当a>1时，

X

y=a是增函数

当Ovavl时，

X

y=a是减函数

当a>1时，

y=logaX是增函数

当Ovavl时，

y=IogaX是减函数

【设计意图】首先学生在教学反思中，整理知识，进一步巩固和提高对数函数及其性质。

再把指数函数与对数函数类比、对比总结，使知识系统化，更易于学生

区分和掌握。

适时地组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更

好地学习、记忆和应用，发挥知识系统的整体优势，并为后续学习打好基础。

（六）布置作业

1）复习：

复习本节课的所有知识.

（2）必做题：

习题2.2（A组）第7、8题；（B组）第2题.

（3）思考题：

对数函数yJog2χ与指数函数y=2x之间存在着什么关系？

（提示：

从图象和性质来分析）

（七）板书设计

§2.2.1对数的概念

板书设计

引例1引例2一、对数的定义

二、对数的基本性质

三、课堂练习

四、小结

五、作业布置

七、评价设计

（一）坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”教学地位。

数学课堂教学应该

是一个自然的知识发生过程，课堂教学要坚持以学生为主体，教师为主导的“双主”地位，结合学情，让学生参与数学基本活动，探究和挖掘数学知识本质。

本节课采用作图，合作探究的方法让学生充分感知知识的形成过程并自行归纳，在

解决问题的过程中培养学生获取新知识的能力，分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力。

教师在课堂中做好了引导、组织、管理、启发、评价工作，并与学生互动，使得学生在快乐中感受知识的魅力。

（二）注重学习方法的引领。

授之以鱼，不如授之以渔。

数学课堂不仅仅是知识的传授，更应该是渗透学习方法的引领、良好学习习惯的养育和数学思想方法的体悟。

这些都需要教师画龙点睛和引领。

课堂中教师引导学生运用类比、数形结合、分类讨论、特殊到一般以及转化的思想方法，帮助学生更好的了解对数函数的性质。

（三）教学过程设计中开头采用复习引入，结尾采用对比指数函数总结的方式，把知识联系起来，是知识系统化，更达到触类旁通的目的。