数值计算课后答案1.docx
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数值计算课后答案1
习题一解答
1.取3.14,3.15,22,355作为n的近似值，求各自的绝对误差，相对
7113
误差和有效数字的位数。
分析：
求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先
求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为
科学记数形式，然后解答。
解:
（1）绝对误差:
e（x）=n—3.14=3.14159265…—3.14=0.001590.0016。
相对误差：
有效数字:
因为n=3.14159265…=0.314159265…X10，3.14=0.314X10，m=1而n—3.14=3.14159265…一3.14=0.00159…
11
所以|n—3.140.00159…三0.005=0.5X10—2=1102-1013
22
所以，3.14作为n的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差：
e（x）=n—3.15=3.14159265…—3.14=—0.008407…"—0.0085。
相对误差：
er（x）亦0.00850.27102
x3.15
有效数字：
因为n=3.14159265…=0.314159265…X10，3.15=0.315X10，m=1而n—3.15=3.14159265…—3.15=—0.008407…
11
所以|n—3.150.008407……<0.05=0.5X10—1=—101—1012
22
所以，3.15作为n的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差：
22
e（x）3.14159265L3.1428571430.001264493_0.0013
7
相对误差：
er（x）空
x
有效数字：
3.141592920.31415929210,m=1。
355
而3.14159265L3.141592920.0000002705L
113
因为n=3.14159265…=0.314159265…X10,
所以，驀作为”的近似值有7个有效数字
指出:
①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差
2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。
346.7854，7.000009，0.0001324580，0.600300解：
346.7854〜346.79，
7.000009〜7.0000，
0.0001324580〜0.00013246，
0.600300〜0.60030。
指出:
注意0。
只要求写出不要求变形。
3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。
x-i0.0315,x20.3015,x331.50,x45000。
分析：
首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。
其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。
有效数字由定义可以直接得出。
解：
由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是
（x1）0.00005,（x2）0.00005,（x3）0.005,（x4）0.5
由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是
（X1）
X1
0.0315°16%,
（x2）
0.00005
（X2）
-0.02%,
X2
0.3015
（x3）
0.005
区）
0.002%,
X3
31.5
（Xj
（X4）
0.5
0.01%.
x45000
有效数字分别有3位、4位、4位、4位。
指出:
本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差
其相对误差。
解：
其相对误差分别是
中，取三个数
x0.23371258104
0.33678429102,z0.33677811102，试按
（xy）z,x（yz）两种算法计算xyz的值，并将结果与精确结果比较解：
fl（（xy）z）（0.233712581040.33678429102）0.33677811102（0.000000231020.33678429102）0.33677811102
22
0.33678452100.3367781110
0.00000641102
fl（x（yz））0.23371258104（0.336784291020.33677811102）
0.233712581040.00000618102
0.000000231020.00000618102
0.00000641102
精确计算得：
422
xyz0.233712581040.33678429100.33677811102
222
（0.000000233712581020.33678429102）0.33677811102
0.336784523712581020.33677811102
2
0.0000641371258102第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。
计算结果证明，两者精度水平是相同的。
在机器数系F（10,8,L,U）中，取三个数
x0.23371258104,y0.33678429102,z0.33677811102，试按
（xy）z,x（yz）两种算法计算xyz的值，并将结果与精确结果比较。
解：
fl（（xy）z）（0.233712581040.33678429102）0.33677811102
222
（0.002337131020.33678429102）0.3367781110222
0.339121421020.33677811102
22
0.000033911020.33677811102
0.3367442102
fl（x（yz））0.23371258104（0.336784291020.33677811102）
0.23371258104（0.000033681020.33677811102）42
0.233712581040.33674742102
22
0.000000231020.33674742102
显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近
7、某计算机的机器数系为F（10,2,L,U），用浮点运算分别从左到右计
算及从右到左计算
10.40.30.20.040.030.020.01
试比较所得结果。
解：
从左到右计算得
10.40.30.20.040.030.020.01
0.1100.04100.03100.02100.00100.00100.00100.00100.1910
1.9
从右到左计算得
10.40.30.20.040.030.020.01
0.010.020.030.040.20.30.41
0.11010.21010.31010.41010.20.30.41
0.10.20.30.41
0.1101
0.1100.110
0.210
2
从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。
&对于有效数x13.105,x20.001,x30.100，估计下列算式的相对误
差限
X2
y1x,xXa,y2X1X2X3,ya—
X3
分析：
求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误
差限的方法。
求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和的方法。
解：
因为x13.105,x20.001,x30.100都是有效数,
所以任）0.0005,（x2）0.0005,（x3）0.0005
则（为x2x3）（x1）（x2）（x3）0.00050.00050.00050.0015
（为X2X3）
X2X3）
0.0015
XiX2
X3
3.1050.0010.100
0.0015
3.004
4.991040.05%
（2）（x2）（x3）50%0.5%50.5%
X3
指出：
如果简单地用有效数字与误差的关系计算，则不够精确。
注意是相对误差限的讨论。
符号要正确，商的误差限是误差限的和而不
9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确（其中X=1表示X充分
接近0,X?
1表示X充分大）
Inx2,x-ix2;
-Ax=1；
1X
■XXX[x?
1；
4X,x0且x=1;
Xcotx,x0且X=1
分析:
根据算法设计的原则进行变形即可。
当没有简单有效的方法时就
采用泰勒展开的方法。
解：
（1）lnx1lnx2ln互；
X2
（2）
11X1X（1x）2
1X1X（1X）（1X）
1x（12xX2）3xX2
2
匸（,一1Jx2—1）
（Bn是贝努利数）
指出:
1采用等价无穷小代换的方法一般不可行。
近似计算中的误差并不是无
穷小量，利用无穷小量等价代换，两个量的差别可能恰恰是影响精度的因素。
采用等价无穷小代换，可能只会得到精度水平比较低的结论。
例如
1
cosx
2sin2?
2
2（f）2
x
x
x
x
2
1
cotx
1
cosx
sinx
xcosx
x
x
sinx
xsinx
xXCOSX/‘.\
（x=1,sinxx）xsinx
1cosx
sinx
1i
（x=1,cosx1）sinx
0
试与上例比较。
有时候这种方法可以使用，例如
因为cos（x）cosxcossinxsin，
当=1时，cos1,sin0
cos（x）cosxcossinxsincosxsinxg
在这个计算中，由于x是常数，x的函数值实际上放大了每一项的计算
结果，使得相近的数相减的问题不很突出。
而利用一阶的泰勒展开f（x）f（x）f（）（xx），当=1时,
就有f（x）f（x）f（x），因此
cos（x）cosxsinx
和上面的结果一样。
但显然，用泰勒展开的方法具有一般性并能得到精度更高的结果，而且不会有方法上出错的可能
2采用洛必达法则也是不可以的。
实际上，无论是等价无穷小还是洛必达法则都是极限方法，而因为近似计算中的误差虽然可以近似地看作是微分，但本质上却是一个确定的可能极小的小数而不是无穷小（趋于零的变量），因此近似计算是不能采用极限方法的。
3转化的结果要化简，比如化繁分式为简分式，但不能取极限。
取极限就违背的了数值计算的本意。
所以，
口11
1010
11x
1x1x
是错误的。
4极小的数做除数，实际上是
0型的不定型，要转化为非不定型
10、用4位三角函数表，怎样算才能保证1COS20有较高的精度?
解：
根据1cos2O2sin21o，先查表求出sin1o再计算出要求的结果精度较咼。
指出：
用度数就可以。
不必化为弧度。
11、利用.78327.982求方程x256x10的两个根，使它们至少具有
4位有效数字。
解:
由方程的求根公式，本方程的根为
因为.78327.982，贝
为287832827.98255.982
如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造成有效数字的减少，误差增大。
因此
根据韦达定理x1x21，在求出x155.982后这样计算x2:
x2丄1=0.01786=0.1786101
x155.982
这样就保证了求出的根有四位有效数字。
12、试给出一种计算积分
1
Ine1xnexdx（n0,1,2,3,...），
0
近似值的稳定算法。
In1—（e11）
2n1
可以看出，n越大，这个近似值越精确地接近于准确值。
（n越大，In的上限和下限就越接近，近似值区间的长度就越短，近似值和
精确值就越接近）
此时，en—1=In—1—
In—1=
1*
一一（In—
■In）=—en，
1e°|:
=—1en|
n
n
n!
，计算是稳
定的。
I20，这样求出的I9的误差是比I20实际上，这样求出的丨9比直接计
实际上，如果我们要求I9,可以先求出的误差小得多的，而丨20的误差本身也并不大。
算出来的精确得多。
补充题
（一）
最小数和最小整数。
1、给出数系F（10,4,-5,5）中的最大数、解：
最大数：
0.9999X105；
最小数：
—0.9999X105；
最小正数：
0.0001X10—5。
2、已知e2.7182818284590452353602874L，求它在F（10,5，—5，5）
和F（10,8，—5,5）中的浮点数。
解：
在F（10，5，—5，5）中，fl（e）0.27183101
在F（10，8，—5，5）中，fl（e）0.2718281810
3、已知数e的以下几个近似数，它们分别有几位有效数字？
相对误差
是多少？
x02.7182,x,2.7183,x02.7182818。
分析：
题目没有说明近似数是通过哪种途径取得的，也就没有明确每个近似数和准确数之间的误差关系。
所以，本题的解答应当从求近似数的误差开始。
解：
因为
所以，xo2.7182,x,2.7183,X。
2.7182818分别有4、5、8个有效数字。
其相对误差分别是
（3迥：
与下述各式在实数的意义上是相等的,
（3.8）3
（1）（176・.8）3,
（2）[（176.8）3]1,（3）（3、.8）6,（4）[（3、、8）T,
（5）196016920.8，（6）（1960169208）1。
试说明在浮点数系F（10,4,8,8）中，用哪个公式计算出的结果误差最小。
分析：
本题实际上是一个算法分析与设计问题，也就是说要应用算法设计的基本原则进行分析讨论
解：
在本例中，显然3和.8在浮点数系中是相近的数。
进一步地，17
和6,8、19601和6920、..8也是相近的数。
因此:
1为避免相近的数相减，不应采用
（1）、（3）、（5）三种计算方法。
2在余下的三种计算方法中，
（2）需要进行4次乘除法，（4）需要进
行7次乘除法，（6）需要进行1次除法。
从减少运算次数来说，应采用（6）
所以，采用（6）计算，计算结果误差最小。
x
5、f（x）[xe2ln（1x）]/x3，当x=1时，如何计算才能获得准确的结果？
解：
当|x=1（即很小时），f（x）的分子是两个相近的小数相减，而分母也是一个小数，因此应避免简单地按原计算顺序直接计算，而应进行变形。
由泰勒展开得
xe2x
x
x（?
）
3
x
L
x
ln（1x）
n
x_L
n
因此
1
f（x）[（^
511
（1
1\3）x、
348
3972
xx
24481920
4）x4（爲5）x5L]/x3
此处最后略去部分的第一项为
/11、36393
（）xx
1203263840
=1时，这一部分是相当小的值，可以略去。
指出:
如果要提高计算精度，就可以考虑保留更多的项。
补充题
（二）
1、计算e的近似值，使其误差不超过10-6。
2、利用
（01,x1）
…12|nxn1
f（x）1xxLx市
1x（1x）n2
计算f（0.1）的近似值，其误差不超过10-2,求n。
3、3.142和3.141分别作为n的近似数，各有几位有效数字？
4、已知近似数x的相对误差限为0.3%，问x至少有几个有效数字?
5、已知x的下列3个近似数的绝对误差限都是0.005，问它们
的有效数字各有几位？
a=138.00,b=-0.0132,c=-0.86X10-4
6、设近似值x=1.234，且绝对误差界为0.0005，则它至少有几位有效数字？
7、某校有学生6281人，通常说有6000人。
下面哪个式子表示6000这个近似数合适？
0.6104
4
0.6010
4
0.600100.600010
分析与解答
1、解：
令f（x）=ex，而f（k）（x）=ex,f（k）（0）=e°=1。
由麦克劳林公式，可知
1）
（0
当n=9时，Rn
（1）<10-6,符合要求。
此时,
e~2.718285
解决这类问题其实很简单。
只要知道了泰勒展开式，余下的就只是简单的计算了。
泰勒（Taylor）中值定理：
若函数f（x）在[a,b]上存在直至n阶的连续导函数，在（a,b）上存在n+1阶导函数，则对任意给定的x,X0€[a,,b],至少存在一点&
（a,,b），使得
f（x）f（Xo）f（Xo）（XXo）
f（x0）2f（n）（x0）n
（xx。
）2Lx°）n
2!
n!
其中，
f（n1）（）
Rn（x）（J（X冷厂
（n1）!
叫做拉格朗日型余项。
当X0=0时,得到麦克劳林公式。
f（X）f（0）f（0）gf（0）gx2L宀0）gxn严（X&1（°
2!
n!
（n1）!
1）
2、解:
所以，n=2。
X10,
m=1。
因为n-3.142=3.14159265…一3.142=—0.00040…所以，|n—3.142|=0.00040…W0.0005=0.5X10一
10
10
所以，3.142作为n的近似值有4个有效数字
3.1415926L,
由上可得
610n1000，
n~2.2，
所以取n=2。
102，
所以m-n=-2。
贝Um-n=-3。
而x=1.234=0.1234X101,则m=1，
所以n=1-（-3）=4
有4位有效数字。
6000这个近似数合适实际上要看近似数
所以，x=1.234
解：
哪个式子表示
6000有多少个有效数字。
6281近似到十位、百位，千位分别是
62816280
62816300
62816000
写成科学记数的形式分别是
628162800.628104
628163000.63104
628160000.6104
可见，上述写法中，第一种是合适的。
实际上，
44
62810.628110,60000.600010
所以m=4,
而628160002810.2811030.51031103
所以m-n=3，
贝Un=m-3=4-3=1，
即近似数6000只有一个有效数字，所以，只有0.6104这种写法是合适的。
（二）
1、已知测量某长方形场地的长为a=110米，宽为b=80米。
若|a—a|w（.米），|b—b|w（米），
试求其面积的绝对误差限和相对误差限。
2、已知三角形的两个角的测量误差都不超过0.1°则计算第三个角时，绝对误差不超过多少。
1
3、若x1=1.03±.01,x2=0.45±.01，计算yx：
e'2的近似值并估计误差。
2
4、已知测量某长方形场地的长为a=110米，宽为b=80米。
若
Ia—a（.米），Ib—b（米），
试利用多元函数的误差分析方法求其面积S=ab的绝对误差限和相对误差
限，并与四则运算的误差分析比较。
5、如果用电表测得一个电阻两端的电压和通过的电流分别是
V=110±2（V），I=20±.5（A）
试运用欧姆定律RV求这个电阻值R的近似值，并估计所求出的近似值的
I
绝对误差和相对误差。
&已知近似值&=2.21耳=4.63,空=7.98是由四舍五入得到的，它们的绝对误
所以，y的绝对误差限为
（y）fx1（x「X2）（幼fx2（X1，X2）（X2）
2.060.010.78420.010.028
将有关数据代入函数表达式，可以求出函数值的近似值为
yxi丄eX21.845,
2
则y的相对误差限为
（y）卫空1.5%y1.845
进一步地，本题的绝对误差限可以看作是0.05,那么计算结果中只需要保留
到百分位就可以了，即最终结果取1.8,那么计算过程中各数只需要取到千分位。
）
4、（
6、略解
f（XnX2,X3）沁X3,f（a1,a2,a3）妲a?
则
X3a3
所以,
（f（ai,a2,as））e（fQ,a2,as））f（Xi,X2,Xs）f（a,a2,as）
解二:
相对误差
公式计算。
1、用九韶算法的多项式格式乘法计算多项式
P（x）=x7-2x6-3x4+4x3-x2+6X-i
在x=2处的值p
（2）。
2、利用等价变换使下面式子的计算结果比较精确。
-^X（x=i）。
i2xiX
3、指出下列各题的合理计算途径（对给出具体数据的，请算出结果）
[1]i—cosi°（三角函数值取四位有效数字）
[2]ln（30.3021）（对数函数值取六位有效数字）
4、设近似值To=So=35.7O具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析
分别用递推式
1Ti15Ti142.
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