中考数学一轮复习第三章函数及其图象第5节二次函数的图象和性质试题.docx
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中考数学一轮复习第三章函数及其图象第5节二次函数的图象和性质试题
2019-2020年中考数学一轮复习第三章函数及其图象第5节二次函数的图象和性质试题
课标呈现
指引方向
1.通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义.
2.会用描点法面m二次函数的图象,通过图象了解二次函数的性质.
3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出图象的对称轴.
4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
5.*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数,
考点梳理
夯实基础
1.二次函数的概念:
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数,称为二次函数.其中,二次项系数、一次项系数、常数项分别为、、.
【答案】a、b、c
2.二次函数表达式的三种表达形式:
(1)-般式:
.
(2)顶点式:
(3)交点式:
【答案】
(1)y=ax2+bx+c(a≠0)
(2)y=a(x-h)2+k(a≠0)(3)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)
3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质:
(1)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的形状是一条抛物线,顶点坐标是().对称轴是直线.
【答案】抛物线
(2)顶点是坐标原点,对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为;对称轴是y轴的抛物线的解
析式形式为;经过原点的抛物线的解析式形式为.
【答案】y=ax2(a≠0)y=ax2+c,(a≠0)y=ax2+bx(a≠0)
(3)函数y=ax2+bx+c的增减情况:
①当a>0时:
当x<时,y随x的增大而;当x>时,y随x的增大而;简记为左减右增,这时,当x=时,y最小值=.
【答案】减小增大
②当a<0时:
当x<时,y随x的增大而;当x>时,y随x的增大而;简记为左增右减,这时,当x=时,y最大值=.
【答案】增大减小
(4)二次函数中a、b、c在抛物线图象中的几何意义:
①a决定开口方向及开口大小:
当a>0时,开口向
【答案】上
_____;当<0时,开口向下.越小,函数图象开口越大.<>
②.和共同决定抛物线对称轴的位置:
因为抛物线的对称轴是直线,故:
当=0时,对称轴为y轴;当和同号时,对称轴在y轴的左侧;当和异号时,对称轴在y轴的右侧,以上特点简记为左同右异.
③c的大小决定抛物线与y轴交点的位置:
∵当x=0时,y=c,∴抛物线与y轴有且只有一个交点(0,c):
c=0,抛物线经过原点:
c>0,抛物线与y轴交于正半轴:
c<0,抛物线与y轴交于负半轴.
(5)函数()图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况:
当y=0时,即可得到一元二次方程,那么一元二次方程的解就是二次函数()的图象与x轴交点的横坐标,因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.
①当二次函数的图象与x轴有两个交点时,,方程有两个不相等的实数根:
②当二次函数的图象与戈轴有且只有一个交点时,.方程有两个相等的实数根:
③当二次函数的图象与戈轴没有交点时,,方程没有实数根.
(6)图象的平移:
左加右减,上加下减.
第一课时
考点精析专项突破
考点一二次函数的概念
【例1】(xx重庆南开)下列函数:
①;②;③;④;⑤;⑥,其中是的二次函数的有__________,
【答案】②⑥
解题点拨:
抓住三个关键点,一是最高次数为2;二是最高次项的系数不为0;三是整式.
【例2】函数是二次函数,则m的值是_________.
【答案】1
解题点拨:
注意取舍.
变式:
是二次函数,则m的值是-2,1,0.
解题点拨:
先对系数m+2按是否为0分类讨论,再对指数按2,1,0分类讨论.
考点三抛物线的对称性
【例3】(xx衢州)二次函数()图象上部分点的坐标(,)对应值列表如下:
···
-3
-2
-1
0
1
···
···
-3
-2
-3
-6
-11
···
则该函数图象的对称轴是()
A.直线x=-3B.直线x=-2
C.直线x=-1D.直线x=0
【答案】B
解题点拨:
抛物线的对称性的特征是对称点的纵坐标相等.
考点三二次函数的增减性
【例4】
(1)(xx兰州)点(-1,),(3,),(5,)均在二次函数的图象上,则、、的大小关系是()
A.B.C.D.
【答案】D
解题点拨:
二次函数的增减性问题基本方法是画图象,再根据和对称轴的距离比较纵坐标大小.
(2)(xx常州)已知二次函数,当>l时,随的增大而增大,而m的取值范围是(D)
A.m=-1B.m=3C.m≤-1D.m≥-1
解题点拨:
逆用二次函数的增减性时要注意题目中给出的范围(>l)是否是满足条件(随的增大而增大)的所有值,而此题就不一定是所有.
考点四驴抛物线与系数的关系
【例5】(xx兰州)二次函数的图象如图所示,对称轴是直线x=-1,有以下结论:
①;②;③;④.其中正确的结论的个数是()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
解题点拨:
判断囹象与系数的关系通常遵循以下五个步骤:
(1)开口看;
(2)对称轴得;(3)y轴截距看;(4)x轴交点个数看△;(5)特殊点找、、的关系.
课堂训练当堂检测
(xx临沂)二次函数,自变量与函数的对应值如表:
···
-4
3
-2
-1
···
···
0
-2
-2
0
···
下列说法正确的是()
A.抛物线的开口向下
B.当>-3时,随的增大而增大
C.二次函数的最小值是-2
D.抛物线的对称轴是直线戈
【答案】D
2.(xx广州)对于二次函数,下列说法正确的是()
A.当>0时,随的增大而增大
B.当=2时,有最大值-3
C.图象的顶点坐标为(-2,-7)
D.图象与轴有两个交点
【答案】B
3.(xx育才改编)已知抛物线的顶点为D(-1,2),与轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图所示,则以下结论:
①<0;②<0;③<0;④=2;⑤方程有两个相等的实数根.其中正确结论的是__________.
【答案】③④⑤
4.(xx宁夏)已知点A(,3)在抛物线的图象上,设点A关于抛物线对称轴对称的点为B.
(1)求点B的坐标;
(2)求∠AOB度数.
解:
(1)∵
,
∴对称轴为直线x=,
∴点A(,3)关于x=的对称点的坐标为(,3);
(2)如图:
∵A(,3)、B(,3),
∴BC=,AC=,OC=3,
∴tan∠AOC=,
tan∠BOC=,
∴∠AOC=30°,∠BOC=60°,
∴∠AOB=30°.
中考达标模拟自测
A组基础训练
一、选择题
1.(xx福州)已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m+1)在同一个函数图象上,这个函数图象可以是()
【答案】C
2.(xx聊城)二次函数(,,为常数且≠0)的图象如图所示,则一次函数与反比例函数的图象可能是()
【答案】C
3.(xx襄阳)一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数的图象大致为()
【答案】C
4.(xx荆门)若二次函数的对称轴是=3,则关于的方程的解为()
A.=0,=6B.=1,=7C.=1,=-7D.=-1,=7
【答案】D
二、填空题
5.(xx达州)如图,已知二次函数(≠0)的图象与轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间(不包括这两点),对称轴为直线=1.下列结论:
①>0;②>0;③<8;④<<;⑤>.
其中正确结论是________.
【答案】①③④⑤
6.(xx沈阳)在平面直角坐标系中,二次函数的图象如图所示,点A(,),B(,)是该二次函数图象上的两点,其中-3≤˂≤0,则下列结论①˂;②˃;③的最小值是-3;④的最小值是-4,中正确的是________.
【答案】④
7.(xx黄石)以为自变量的二次函数的图象不经过第三象限,则实数的取值范围是_______.
【答案】
三、解答题
8.已知抛物线与轴交于点A,点B的纵坐标是-5.且横坐标为负数.
(1)求点A、B的坐标;
(2)若点P是抛物线的对称轴上一点,求PA+PB的最小值.
解:
(1)A(0,3),B(-2,-5).
(2).
9.(xx黄冈)如图,抛物线与轴交于点A,点B,与轴交于点C,点D与点C关于轴对称,点P是轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作轴的垂线交抛物线于点Q,交BD于点M.
(1)求点A、点B、点C的坐标;
(2)求直线BD的解析式;
(3)当点P在线段QB上运动时,试探究m为何值时,四边形OMBQ的面积随m的增大而增大.
解:
(1)当x=0时,,
∴C(0,2),
当=0时,
解得=-1,=4.
∴A(-1,0),B(4,0).
第9题
(2)∵点D与点C关于轴对称,
∴D(0,-2).
设直线BD为,
把B(4,0)代入,得0=4-2
∴=.
∴BD的解析式为.
(3)∵P(m,0),
∴M(m,),,Q(m,)
当P在线段OB上运动时.
QM=()-()=
∴=·OB·QM==
∴当0˂m≤1时,四边形OMBQ的面积随m的增大而增大.
B组提高练习
10.(xx资阳)已知二次函数与轴只有一个交点,且图象过A(,m)、B(+n,m)两点,则m、n的关系为()
A.B.CD.
【答案】D
(提示:
抛物线与轴只有一个交点,∴当时,=0.且=0,即.又∵点A(,m),B(+n,m),∴点A、B关于直线对称,∴A(,m),B(,m),将A点坐标代入抛物线解析式,得m=
,即m=,∵,∴,故选D.)
11.(xx十堰)已知关于的二次函数的图象经过点(-2,),(-1,),(1,0),且˂0˂,对于以下结论:
①>0;②≤0:
③对于自变量的任意一个取值,都有;其中结论错误的是________(只填写序号)
【答案】②
(提示:
由题意二次函数图象如图所示,∴,,,∴故①正确.∵,∴,∴
,又∵=-2时,<0,∴,∴即,∴,故②错误,故答案为②.∵,∴,,∵,∴,故③正确.)
12.如图,已知点A(0,2),B(2,2),C(-1,-2),抛物线F:
与直线=-2交于点P.
(1)当抛物线F经过点C时,求它的表达式;
(2)若m=-2,抛物线F上有两点(,),(,),且˂≤-2,比较与的大小;
(3)当抛物线F与线段AB有公共点时,直接写出m的取值范围.
解:
(1)∵抛物线F经过点C(-1,-2),
∴,∴m=-1.
∴抛物线F的表达式是.
(2)当m=-2时,抛物线F的表达式是.
∴当x≤-2时,随的增大而减小.
∵˂≤-2,
∴˃.
(3)-2≤m≤0或2≤m≤4.
第二课时
考点精析专项突破
待定系数法求二次函数的解析式
【例6】
(1)(xx河南)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线上两点,该抛物线的函数表达式是.
解题点拨:
把A、B的坐标代入函数解析式,即可得出方程组,求出方程组的解,即可得出解析式.
(2)已知某抛物线的顶点为(-1,4),且过点(1,0),求该抛物线的函数表达式,
解题点拨:
设顶点式,代点解方程得答案.
解:
.
(3)已知抛物线与轴交于A(-4,0)、B(1,0)两点,在轴上的截距为-4,求该抛物线的函数表达式.
解题点拨:
设交点式,代点解方程得答案.
解:
.
考点六抛物线与图形变换
【例7】(xx滨州)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转180°得到抛物线,则原抛物线的解析式是()
A.B.
C.D.
【答案】A
解题点拨:
平移问题按照“左加右减,上加下减”解题:
旋转问题常从顶点坐标和开口方向入手.
考点七二次函数的最值问题
【例8】
(1)(xx兰州)二次函数的最小值是-7.
解题点拨:
解法一:
背公式.解法二:
化为顶点式.
(2)【原创】二次函数的最大值是.
解题点拨:
交点式的标准形式中的系数为1.交点式求最值一般先求对称轴,再代求.
考点八二次函数的交点问题
【例9】(xx滨州)抛物线与坐标轴的交点个数是()
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
解题点拨:
按、轴分类讨论.
【例10】如图,抛物线与直线交于A、B两点,其中点A在轴上,点B坐标为(-4,-5).
(1)求当为何值时;
(2)求抛物线的解析式.
解题点拨:
(1)将不等式问题转化为图象问题;
(2)用待定系数法求解析式.
解:
(1)<-4或x>0.
(2)∵直线交于A、B两点,其中点A在轴上,
∴A(0,-3),
∵B(-4,-5),
∴
∴
∴抛物线解析式为.
课堂训练当堂检测
1.(xx泰安)将抛物线向左平移3个单位,再向下平移4个单位,那么得到的抛物线的表达式为()
A.B.
C.D.
【答案】B
2.(xx青岛)已知二次函数与正比例函数的图象只有一个交点,则c的值为()
A.0B.C.D.3
【答案】C
3.将二次函数配成顶点式为______________,它的图象开口向______,对称轴是直线_______,顶点坐标为________,当戈________时,随的增大而减小,当_______时,有最小值,是________.
【答案】;上;x=-3;(-3,-5);≤-3;=-3;-5
4.根据下列条件,选择恰当的方法求二次函数解析式.
(1)函数有最小值-8,且:
:
=1:
2:
(-3);
(2)函数有最大值2,且过点A(-1,0)、B(3,0);
(3)当>-2时随增大而增大;当<-2时,随增大而减小,且图象过点(2,4),与轴的交点为(0,-2).
解:
(1);
(2);
(3).
中考达标模拟自测
A组基础训练
一、选择题
1.(xx山西)将抛物线向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的表达式为()
A.B.
C.D.
【答案】D
2.二次函数化为的形式,下列正确的是()
A.B.
C.D.
【答案】B
3.(xx绍兴)抛物线(其中,是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤≤3)有交点,则的值不可能是()
A.4B.6C.8D.10
【答案】A
4.(xx南宁)二次函数(≠0)和正比例函数的图象如图所示,则方程(≠0)的两根之积()
A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定
【答案】C
二、填空题
5.(xx大连)如图,抛物线与轴相交于点A、B(m+2,0)与轴相交于点C,点D在该抛物线上,坐标为(m,),则点A的坐标是________.
【答案】(-2,0)
6.(xx荆州)若函数的图象与轴有且只有一个交点,则的值为____________.
【答案】-1或2或1
7.抛物线与的正半轴交于点A,与轴交于点B,第四象限的点C在抛物线上,则△ABC面积的最大值是________.
【答案】
三、解答题
8.我们规定:
若m=(,),n=(,),则=a.如m=(1,2),n=(3,5),则=1x3+2x5=13.
(1)已知m=(2,4),n:
(2,-3),求;
(2)已知m=(,1),n=(,),求,,问的函数图象与一次函数的图象是否相交,请说明理由.
解:
(1)∵m=(2,4),n=(2,-3),
∴=2x2+4x(-3)=-8;
(2)∵m=(,1),n=(,),
∴
=
∴
联立方程:
化简得:
∵.
∴方程无实数根,两函数图象无交点.
9.(xx中山)如图,二次函数的图像与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图像上的一对对称点,一次函数的图像过点B、D.
(1)求二次函数解析式;
(2)根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围;
(3)若直线与y轴的交点为E,连结AD、AE,求△ADE的面积.
解:
(1)设二次函数的解析式为,a、b、c常数).
由题意得
,解得
所以二次函数的解析式为;
(2)如图,以次函数值大于函数值的x的取值范围是或.
(3)∵对称轴:
x=-1,∴D(-2,3);
设直线BD:
,代入B(1,0),D(-2,3);
解得直线BD:
把x=0代入求得E(0,1).
∴OE=1
又∵AB=4,∴
B组提高次练习
10.(xx泸州)已知二次函数的图像的顶点在第四象限,且过点(-1,0),当为整数时,ab的值为()
A.或1B.或1C.或D.或
〖答案〗A
(提示:
依题意知,,,故,且,,于是,∴,又为整数,∴,0,1,故,1,,,1,,∴或1.故选A.
11.(xx荷泽)如图,一端抛物线:
记为,它与x轴交于两点O,;将绕旋转180°得到,交x轴于;将绕旋转180°得到交x轴于;…如此进行下去,直至得到,若点P(11,m)在第6段抛物线上,则m=.
〖答案〗-1
(提示:
∵,∴配方可得,∴顶点坐标为(1,1),∴坐标为(2,0),∵由旋转得到,∴,即顶点坐标为(5,1),;顶点坐标为(7,-1),(8,0);顶点坐标为(9,1),(10,0);顶点坐标为(11,-1),(12,0);;m=-1.)
12.(xx舟山)二次函数,当,且mn<0时,y的最小值为2m,最大值为2n,求m+n的值.
解:
二次函数的大致图像如右:
①当时,则当时y取最小值,即2m=-,解得:
m=-2.当x=n时y取最大值,即2n=.解得:
n=2或n=-2(均不合题意,舍去);
②当时,则当x=m时y取最小值,即2m=,
解得:
m=-2,当x=1时y最大值,即2n=-,解得:
n=,所以m+n=-2+=.
第三课时
考点精析,专项突破
考点九二次函数与面积
【例11】如图,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线BC相交于点M,连接PB.
(1)该抛物线的解析式为:
;
(2)=;
(3)点D是该抛物线位于第一象限部分上的一点.则的面积最大值为:
,此时点D的坐标为:
.
〖答案〗
(1);
(2)2
(3);(,)
解题点拨:
①在函数问题中,当点的坐标未知(如本题的点D)时,通常可以先用字母设出点的坐标,然后利用坐标表示出线段的长度,进而再利用几何知识解决问题;②对于不能直接表示的面积要学会灵活应用割补法.
【例12】(xx乐山改编)在直角坐标系xoy中,A(0,2)、B(-1,0),将经过旋转、翻折、平移变化后得到如图所示的.
(1)则经过A、B、C三点的抛物线的解析式为:
;
(2)连结AC,点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点,若直线PC将的面积分成1:
3两部分,求此时点P的坐标;
(3)现将、分别向下、向左以相同的速度同时平移,且与重叠部分的图形是三角形时t的取值范围,并求此时重叠部分的面积.
〖答案〗
解题点拨:
①面积关系问题根据条件情况往往有这两种处理方法:
其一,首先分别表示出它们的面积再利用方程求解;其二,把它们的面积关系转化为线段关系,再借助坐标把线段关系转化为方程;②注意考虑分类讨论;③学有余力的同学第(3)问还可以自主探索重叠部分不是三角形时的重叠部分面积.
解:
(1).
(2)如图1所示,设直线PC与直线AB交于点E.
∵直线PC将的面积分成1:
3两部分,
∴或.
过E作EF⊥OB于点F,则EF∥OA.
∴△BEF∽△BAO,∴.
∴当时,
∴EF=,BF=,∴E(-,)
设直线PC解析式为,则可求得解析式为
∴
,∴,(舍去)
∴
当时,E(-,)同理可得
(3)当时,与重叠部分为三角形
如图2,设与重叠部分的面积为为S.
可由已知求出的解析式为,与x轴交点坐标为H(,0).
与的交点G,且G(1-t,4-3t)
∴
,
∴
课堂训练当堂检测
1.抛物线与坐标轴的交点个数是()
A.0B.1C.2D.3
【答案】C
2.若,则二次函数的图像的顶点在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
3.已知二次函数的顶点为P,其图像与x轴交于A、B两点,则=.
【答案】8
4.(xx安徽改编)如图,二次函数的图像经过点A(2,m)与B(n,0)(n>0)
(1)则m=,n=;
(2)点C是该二次函数图像上A、B两点之间的一动点,横坐标为x(2<x<6),写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求S的最大值.
【答案】
(1)4,6
(2)解:
(2)如图,过A作x轴的垂线,垂足为D(2,0),连接CD,过C作CE⊥AD,CF⊥x轴,垂足分别为E,F
;
;
则S=++=4++=
∴S关于x的函数表达式为S=(2<x<6=
∵S==
∴当x=4时,四边形OACB的面积S有最大值,最大值为16.
中考达标模拟自测
A组基础训练
一、选择题
1.抛物线与y轴的交点坐标为()
A.(0,1)B.(0,2)C.(1,0)D.(2,0)
【答案】A
2.已知二次函数,当x>1时,y随x的增大而增大;当x<1时,y随x的增大而减小,则m的取值范围是()
A.m=-1B.m=3C.m≤-1D.m≥-1
【答案】A
3.(xx重庆育才)已知抛物线,当a>0,b<0时,它的图像经过()
A.一、二、三象限;B.一、二、四象限;C.一、三、四象限;D.一、二、三、四象限
【答案】B
4.若抛物线的对称轴过点(2,0),则关于x的方程的解为()
A.,B.,C.,D.,
【答案】D
二、填空题
5.抛物线的顶点坐标为.
【答案】(1,-4)
6.(xx天津模拟)如果抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,则=.
【答案】24
7.(xx长春)如图,在平面直角坐标系中,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,顶点C的坐标为(4,3),D是抛物线上一点,且在x轴上方,则△BCD面积的最大值为.
【答案】15
三、解答题
8.如图,抛物线与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线与抛物线交于A、C两点.若P是线段AC上的一个动点(不与A,C重合),过P点作y轴的平行线交抛物线于点E点,连接AE,CE.设△AEC的面积为S,求S的最大值.
解:
易得:
A(-1,0),B(4,0),C(3,4)
设P(m,-m-1),则E(m,)
∵P是线段AC上的一个动点(不与A,C重合)
∴,∴PE=,∴
==
当m=1时,S=8
9.(xx重庆一中改编)如图,在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点,与y交于点C,且OC=2OA.抛物线的对称轴为直线x=3,且与x轴相交于点D.
(1)该抛物线的解析式为.
(2)点P是第一象限内抛物线上位于对称轴右侧的一个动点,设点P的横坐标为m.是否存在点P,使得?
若存在,求出此时m的值.
【答案】
(1)
(2)过点P作PQ∥y轴交直线CD于Q,∵直线x=3与x轴交于D,∴D(3,0)
∴直线CD:
∵,