第一章章末复习课.docx

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第一章章末复习课

学习目标

　1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．

知识点一　命题及其关系

思考1　命题的定义是什么？

答案　能判断真假的陈述句叫命题．

思考2　四种命题之间的关系是怎样的？

答案　四种命题之间的关系如下图所示．

梳理　

（1）判断一个语句是否为命题，关键是：

（一）为陈述句；

（二）能判断真假．

（2）互为逆否的两个命题的真假性相同．

知识点二　充分条件、必要条件和充要条件

思考　命题的关系从充分条件和必要条件的角度分类，可以分为哪几类？

答案　

（1）若p⇒q，且q

p，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；

（2）若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q；

（3）若p

q，且q⇒p，则p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件；

（4）若p

q，且q

p，则p是q的既不充分又不必要条件．

梳理　

（1）定义

一般地，如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．

如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q.

（2）特征

充分条件与必要条件具有以下两个特征：

①对称性：

若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；

②传递性：

若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p⇒q，q⇒r，则p⇒r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．

知识点三　简单的逻辑联结词和量词

思考1　结合日常生活实际和集合中的“并集”“交集”“补集”运算，谈谈你对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解．

答案　

（1）对“或”的理解，“或”与日常用语中“或”的意义不同，日常用语中的“或”带有不可兼有的意思，而逻辑用语中的“或”可以同时兼有．对于逻辑用语“或”的理解，我们可以借助于集合中并集的概念：

在A∪B＝{x|x∈A或x∈B}中的“或”是指“x∈A”与“x∈B”中至少有一个成立，可以是“x∈A且x∉B”，也可以是“x∉A且x∈B”，也可以是“x∈A且x∈B”，逻辑用语中的“或”与并集中的“或”的含义是一样的．

（2）对“且”的理解，可以联想到集合中交集的概念：

在A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中的“且”是指“x∈A”“x∈B”都要满足，即既要属于集合A，又要属于集合B.

（3）对“非”的理解，可以联想到集合中补集的概念：

“非”有否定的意思，一个命题p经过使用逻辑联结词“非”构成一个复合命题“非p”，当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真．若将命题p对应集合P，则命题非p就对应集合P在全集U中的补集∁UP；对“非”的理解，还可以从字意上来理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0.5是非整数”是对命题“0.5是整数”进行否定而得到的新命题．

思考2　全称量词与存在量词理解时应注意什么？

答案　对于量词，不要追求它们形式的定义，重在理解它们的含义，要注意根据命题叙述对象的特点，发现隐含的量词．如“矩形的对角线相等”表明任意一个矩形的对角线都相等，它隐含了全称量词“任意”．

梳理　

（1）常见的逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．

（2）短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中通常称为全称量词，通常用符合“∀x”表示“对任意x”．

（3）短语“有一个”“有些”“存在一个”“至少一个”等表示部分的量词在逻辑中通常称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．

（4）由全称量词组成的命题叫全称命题，由存在量词组成的命题叫特称命题.

类型一　等价转化思想的应用

例1　已知c>0，设p：

函数y＝cx在R上单调递减；q：

不等式x＋|x－2c|>1的解集为R.如果p和q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

解　函数y＝cx在R上单调递减⇔0

不等式x＋|x－2c|>1的解集为R⇔

函数y＝x＋|x－2c|在R上恒大于1.

∵x＋|x－2c|＝

∴函数y＝x＋|x－2c|在R上的最小值为2c，

∴2c>1，得c>

.

如果p真q假，则

解得0

；

如果q真p假，则

解得c≥1.

∴c的取值范围为（0，

]∪[1，＋∞）．

反思与感悟　等价转化思想是包含在化归思想中的一种比较具体的数学思想，本章主要体现在四种命题间的相互转化与集合之间的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化．

跟踪训练1　已知命题p：

（x＋1）（x－5）≤0，命题q：

1－m≤x<1＋m（m>0）．

（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；

（2）若m＝5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．

解　

（1）由命题p：

（x＋1）（x－5）≤0，解得－1≤x≤5.

命题q：

1－m≤x<1＋m（m>0）．

∵p是q的充分条件，

∴[－1,5]⊆[1－m,1＋m），

∴

解得m>4，

则实数m的取值范围为（4，＋∞）．

（2）∵m＝5，∴命题q：

－4≤x<6.

∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，

∴命题p，q为一真一假．

当p真q假时，可得

解得x∈∅.

当q真p假时，可得

解得－4≤x<－1或5

因此x的取值范围是[－4，－1）∪（5,6）．

类型二　分类讨论思想的应用

例2　已知关于x的一元二次方程（m∈Z）：

mx2－4x＋4＝0，①

x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②

求方程①和②的根都是整数的充要条件．

解　当m＝0时，方程①的根为x＝1，

方程②化为x2－5＝0，无整数根，∴m≠0.

当m≠0时，方程①有实数根的充要条件是

Δ＝16－4×4m≥0⇒m≤1；

方程②有实数根的充要条件是

Δ＝16m2－4（4m2－4m－5）≥0⇒m≥－

.

∴－

≤m≤1.又∵m∈Z，∴m＝－1或m＝1.

当m＝－1时，方程①为x2＋4x－4＝0，无整数根；

当m＝1时，方程①为x2－4x＋4＝0，

方程②为x2－4x－5＝0.

此时①和②均有整数根．

综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m＝1.

反思与感悟　分类讨论思想是中学数学中常用的数学思想之一，利用分类讨论思想解答问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点．这是因为：

其一，分类讨论问题一般都覆盖较多的知识点，有利于对学生知识面的考查；其二，解分类讨论问题需要有一定的分析能力，一定的分类讨论思想与技巧，因此有利于对能力的考查；其三，分类讨论问题常与实际问题和高等数学相联系．解决分类讨论问题的实质是：

整体问题化为部分来解决，化成部分后，可以增加题设条件，这也是解分类讨论问题总的指导思想．

跟踪训练2　已知p：

≥2；q：

x2－ax≤x－a.若¬p是¬q的充分条件，求实数a的取值范围．

解　∵p：

≥2，∴

≤0，即1≤x<3.

又∵q：

x2－ax≤x－a，∴x2－（a＋1）x＋a≤0.

①当a<1时，a≤x≤1；

②当a＝1时，x＝1；

③当a>1时，1≤x≤a.

设q对应的集合为A，p对应的集合为B，

∵¬p是¬q的充分条件．∴∁RB⊆∁RA，即A⊆B.

当a<1时，A

B，不合题意；

当a＝1时，AB.符合题意；

当a>1时，1≤x≤a，要使A⊆B，则1

综上，符合条件的a∈[1,3）.

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（　　）

A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”

B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”

C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”

D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”

答案　B

解析　依题意，得原命题的逆命题：

若一个数的平方是正数，则它是负数．

2．设点P（x，y），则“x＝1且y＝－2”是“点P在直线l：

x－y－3＝0上”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由“x＝1且y＝－2”可以推出“点P在直线l：

x－y－3＝0上”，反之不一定成立，所以应是充分而不必要条件．

3．下列有关命题的叙述，①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：

∃x∈R，使得x2＋x－1<0，则¬p：

∀x∈R，使得x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”．其中错误的个数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　B

解析　若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，所以p∧q不一定为真，所以①错误．x2－4x－5>0得x>5或x<－1，所以“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确．根据特称命题的否定是全称命题知③正确．“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”所以④错误，所以错误命题的个数为2个．

4．下列命题中的假命题是（　　）

A．∃x0∈R，lgx0＝1B．∃x0∈R，sinx0＝0

C．∀x∈R，x2>0D．∀x∈R,2x>0

答案　C

解析　因为∀x∈R,2x>0，x2≥0，所以D项正确，C项错误，由lg10＝1，sin0＝0知A、B选项正确．

5．已知命题p：

x2＋2x－3>0；命题q：

>1，若“¬q∧p”为真，则x的取值范围是________．

答案　（－∞，－3）∪（1,2]∪[3，＋∞）

解析　因为“¬q∧p”为真，即q假p真，而q为真命题时，

<0，得20，解得x>1或x<－3，由

解得x<－3或1

所以x的取值范围是x<－3或1

1．判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非”的含义，应根据命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断．

2．判断命题真假的步骤

⇒

⇒

3．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断，如下表：

p

q

¬p

p∨q

p∧q

真

真

假

真

真

真

假

假

真

假

假

真

真

真

假

假

假

真

假

假

4.含有一个量词的命题的否定

命题

命题的否定

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，¬p（x0）

∃x0∈M，p（x0）

∀x∈M，¬p（x）

注意：

（1）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．

（2）命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念．对一个命题进行否定，就是要对其结论进行否定，而否命题是既否定条件又否定结论．

一、选择题

1．下列语句中是命题的是（　　）

A．周期函数的和是周期函数吗？

B．sin45°＝1

C．x2＋2x－1>0

D．梯形是不是平面图形呢？

答案　B

解析　只有B是可以判断真假的陈述句．

2．设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是（　　）

A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0

B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0

D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0

答案　D

解析　命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”，故选D.

3．有下列命题：

①垂直于同一条直线的两个平面互相平行；

②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；

③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行；

④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线．

其中假命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　C

解析　①垂直于同一条直线的两个平面互相平行，正确；

②垂直于同一平面的两个平面平行或相交，错误；

③若直线m，n与同一个平面所成的角相等，则m，n互相平行或相交或异面，错误；

④若直线m，n是异面直线，则与m，n都相交的两条直线是异面直线或相交直线，错误．

4．已知直线l1：

ax＋y＝1和直线l2：

9x＋ay＝1，则“a＋3＝0”是“l1∥l2”的（　　）

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　因为两直线平行，所以有a2－9＝0，解得a＝±3，当a＝±3时，显然两条直线平行，故“a＋3＝0”是“l1∥l2”的充分不必要条件，故选C.

5．将函数y＝sin（2x＋

）的图象向右平移m（m>0）个单位，得到函数y＝f（x）的图象，若y＝f（x）在区间[－

，

]上单调递增，则m的最小值为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　C

解析　y＝f（x）＝sin[2（x－m）＋

]

＝sin（2x＋

－2m），

y＝f（x）的单调递增区间为

[kπ－

＋m，kπ＋

＋m]，k∈Z，

∴m＝

，故选C.

6．下列命题中的真命题是（　　）

A．对于实数a、b、c，若a>b，则ac2>bc2

B．x2>1是x>1的充分不必要条件

C．∃α，β∈R，使得sin（α＋β）＝sinα＋sinβ成立

D．∀α，β∈R，tan（α＋β）＝

成立

答案　C

解析　A项中当c＝0时不符合题意，故A项错误，B项中x2>1是x>1的必要不充分条件，故B项错误，当α＝β＝0时，符合题意，故C项正确，当α＝β＝

时，不符合题意，故D项错误．

二、填空题

7．若命题p：

常数列是等差数列，则¬p：

_________________________________.

答案　存在一个常数列，不是等差数列

解析　全称命题的否定是特称命题．

8．设函数f（x）＝|log2x|，则f（x）在区间（m,2m＋1）（m>0）上不是单调函数的充要条件是________．

答案　0

解析　作出函数f（x）＝|log2x|的图象如图所示，可得

故00）上不是单调函数的充要条件．故填0

9．已知p：

－4

（x－2）（3－x）>0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是________．

答案　[－1,6]

解析　p：

－4

q：

（x－2）（3－x）>0，即2

所以¬p：

x≤a－4或x≥a＋4，¬q：

x≤2或x≥3；

而¬p是¬q的充分条件，所以

解得－1≤a≤6，故答案为[－1,6]．

10．定义f（x）＝{x}（{x}表示不小于x的最小整数）为“取上整函数”，例如{1.2}＝2，{4}＝4.“取上整函数”在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等都是按照“取上整函数”进行计费的．以下关于“取上整函数”的性质是真命题的序号是________（请写出所有真命题的序号）．

①f（2x）＝2f（x）；②若f（x）＝f（y），则x－y<1；③任意x，y∈R，f（x＋y）≤f（x）＋f（y）；④f（x）＋f（x＋

）＝f（2x）；⑤函数f（x）为奇函数．

答案　②③

解析　根据新定义“取上整函数”的意义f（2x）＝2f（x）不一定成立；如x取1.5，f（x）＋f（x＋

）＝f（2x）不一定成立；如x取0，函数f（x）不满足奇函数的关系，如f（1.6）＝f

（2），f（－1.6）＝f（－1）．正确答案为②③.

三、解答题

11．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．

（1）对数函数都是单调函数；

（2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；

（3）任意x∈{x|x>0}，x＋

≥2；

（4）存在x∈{x|x∈Z}，log2x>2.

解　

（1）本题隐含了全称量词“任意的”，原命题应为：

“任意的对数函数都是单调函数”，是全称命题，且为真命题．

（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，是特称命题，真命题．

（3）命题中含有全称量词“任意”，是全称命题，真命题．

（4）命题中含有存在量词“存在”，是特称命题，真命题．

12．已知a>0，a≠1，设p：

函数y＝loga（x＋3）在（0，＋∞）内单调递减；q：

函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点．如果p∨q为真，且p∧q为假，求实数a的取值范围．

解　对于命题p：

当0

当a>1时，函数y＝loga（x＋3）在（0，＋∞）上单调递增，

所以若p为真命题，则0

若p为假命题，则a>1.

对于命题q：

若函数y＝x2＋（2a－3）x＋1的图象与x轴交于不同的两点，

则Δ＝（2a－3）2－4>0，

即4a2－12a＋5>0⇔a<

或a>

.

又因为a>0，

所以若q为真命题，则0

或a>

.

若q为假命题，则

≤a<1或1

.

因为p∨q为真，且p∧q为假，

所以p与q一真一假．

若p真q假，则

⇒

≤a<1.

若p假q真，则

⇒a>

.

综上所述，所求a的取值范围是[

，1）∪（

，＋∞）．

13．若∀x∈R，函数f（x）＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

解　

（1）当m＝0时，f（x）＝x－a，其图象与x轴恒有交点，所以a∈R.

（2）当m≠0时，二次函数f（x）＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m（m＋a）≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝（4a）2－16≤0，解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0时，a∈[－1,1]．