课时作业8函数的极值与导数.docx
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课时作业8函数的极值与导数
课时作业8 函数的极值与导数
知识点一函数极值的概念
1.关于函数的极值，下列说法正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．f（x）在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值
D．若f（x）在区间（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内不是单调函数
答案 D
解析 易知选项A，B，C均不正确．对于D，不妨设x0是f（x）在区间（a，b）内的极小值点，则在x0附近，当xf（x0），当x>x0时，f（x）>f（x0），故在x0附近函数f（x）不单调，即f（x）在区间（a，b）内不是单调函数，故选D.
2．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（ ）
答案 C
解析 由题意可得f′（－2）＝0，而且当x∈（－∞，－2）时，f′（x）<0，此时xf′（x）>0；排除B、D，当x∈（－2，＋∞）时，f′（x）>0，此时若x∈（－2,0），xf′（x）<0，若x∈（0，＋∞），xf′（x）>0，所以函数y＝xf′（x）的图象可能是C.
知识点二求函数的极值
3．设三次函数f（x）的导函数为f′（x），函数y＝xf′（x）的图象的一部分如图所示，则（ ）
A．f（x）的极大值为f（），极小值为f（－）
B．f（x）的极大值为f（－），极小值为f（）
C．f（x）的极大值为f（－3），极小值为f（3）
D．f（x）的极大值为f（3），极小值为f（－3）
答案 D
解析 由题图可知，当x∈（－∞，－3）时，xf′（x）＞0，即f′（x）＜0；
当x∈（－3,0）时，xf′（x）＜0，即f′（x）＞0；
当x∈（0,3）时，xf′（x）＞0，即f′（x）＞0；
当x∈（3，＋∞）时，xf′（x）＜0，即f′（x）＜0.
故函数f（x）在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．
4．函数y＝x3－3x2－9x（－2A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值
答案 C
解析 由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x<－1或x>3时，y′>0；由－1∴当x＝－1时，函数有极大值5；3∉（－2,2），故无极小值．
5．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于（1,0）点，则f（x）的极大值、极小值分别为（ ）
A.，0B．0，
C．－，0D．0，－
答案 A
解析 f′（x）＝3x2－2px－q，由f′
（1）＝0，f
（1）＝0
得解得
∴f（x）＝x3－2x2＋x.
由f′（x）＝3x2－4x＋1＝0，得x＝或x＝1，
易得当x＝时，f（x）取极大值；当x＝1时，f（x）取极小值0.
知识点三已知函数极值求参数
6.设x＝1与x＝2是函数f（x）＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．
（1）试确定常数a和b的值；
（2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明理由．
解
（1）∵f（x）＝alnx＋bx2＋x，
∴f′（x）＝＋2bx＋1.
由题意可知f′
（1）＝f′
（2）＝0，∴
解方程组得a＝－，b＝－.
（2）由
（1），知f（x）＝－lnx－x2＋x，
f′（x）＝－x－1－x＋1.
当x∈（0,1）时，f′（x）<0，
当x∈（1,2）时，f′（x）>0，
当x∈（2，＋∞）时，f′（x）<0.
故在x＝1处函数f（x）取得极小值.
在x＝2处函数f（x）取得极大值－ln2.
∴x＝1是函数f（x）的极小值点，x＝2是函数f（x）的极大值点．
7．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，求f
（2）的值．
解 f′（x）＝3x2＋2ax＋b.
由题意，得即
解得或
当a＝4，b＝－11时，令f′（x）＝0，得x1＝1，x2＝－.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
－∞，－
－
－，1
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
显然函数f（x）在x＝1处取极小值，符合题意，此时f
（2）＝18.
当a＝－3，b＝3时，
f′（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，
∴f（x）没有极值，不符合题意．
综上可知f
（2）＝18.
一、选择题
1．已知函数y＝f（x），x∈R有唯一的极值，且x＝1是f（x）的极小值点，则（ ）
A．当x∈（－∞，1）时，f′（x）≥0；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）≤0
B．当x∈（－∞，1）时，f′（x）≥0；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）≥0
C．当x∈（－∞，1）时，f′（x）≤0；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）≥0
D．当x∈（－∞，1）时，f′（x）≤0；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）≤0
答案 C
解析 由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f（x），x∈R有唯一的极值，故当x∈（－∞，1）时，f′（x）≤0；当x∈（1，＋∞）时，f′（x）≥0.
2．已知a为函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝（ ）
A．－4B．－2
C．4D．2
答案 D
解析 由题意得f′（x）＝3x2－12，由f′（x）＝0得x＝±2，当x∈（－∞，－2）时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，当x∈（－2,2）时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减，当x∈（2，＋∞）时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，所以a＝2.
3．设函数f（x）＝＋lnx，则（ ）
A．x＝为f（x）的极大值点
B．x＝为f（x）的极小值点
C．x＝2为f（x）的极大值点
D．x＝2为f（x）的极小值点
答案 D
解析 ∵f（x）＝＋lnx，∴f′（x）＝－＋，令f′（x）＝0，即－＋＝＝0，解得x＝2.当02时，f′（x）>0，所以x＝2为f（x）的极小值点．
4．函数y＝x3－2ax＋a在（0,1）内有极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0,3）B．（－∞，3）
C．（0，＋∞）D.
答案 D
解析 y′＝3x2－2a，
因为函数在（0,1）内有极小值，
所以y′＝3x2－2a＝0在（0,1）内必有实数解，
记f（x）＝3x2－2a，如图
所以解得0＜a＜，故选D.
5．对任意的x∈R，函数f（x）＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是（ ）
A．a＝0或a＝21B．0≤a≤21
C．a<0或a>21D．0答案 B
解析 f′（x）＝3x2＋2ax＋7a，因为f（x）在R上不存在极值，则Δ＝4a2－84a≤0，解得0≤a≤21.
二、填空题
6．已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋6，其导数f′（x）的图象如图所示，则函数的极小值是________．
答案 6
解析 依题意f′（x）＝3ax2＋2bx.
由题图象可知，当x<0时，f′（x）<0，
当00，
故x＝0时函数f（x）取极小值f（0）＝6.
7．已知函数f（x）＝x3－x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为________．
答案 c<
解析 ∵f′（x）＝x2－x＋c且f（x）有极值，∴f′（x）＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c>0，解得c<.
8．已知函数f（x）＝x（lnx－ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 由题知，x>0，f′（x）＝lnx＋1－2ax，由于函数f（x）有两个极值点，则f′（x）＝0有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点（x>0），则a>0；设函数y＝lnx＋1上任一点（x0，1＋lnx0）处的切线为l，则kl＝y′＝，当l过坐标原点时，＝⇒x0＝1，令2a＝1⇒a＝，结合图象（略）知0三、解答题
9．已知f（x）＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．
解 f′（x）＝5ax4－3bx2＝x2（5ax2－3b）．
由题意，f′（x）＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，
于是f′（x）＝5ax2（x2－1）．
（1）当a>0，x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
由表可知：
又5a＝3b，解之得：
a＝3，b＝5，c＝2.
（2）当a<0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.
10．已知函数f（x）＝x3－3ax－1（a≠0）．若函数f（x）在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f（x）的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．
解 因为f（x）在x＝－1处取得极值且f′（x）＝3x2－3a，
所以f′（－1）＝3×（－1）2－3a＝0，所以a＝1.
所以f（x）＝x3－3x－1，f′（x）＝3x2－3，
由f′（x）＝0，解得x1＝－1，x2＝1.
当x<－1时，f′（x）>0；
当－1当x>1时，f′（x）>0.所以由f（x）的单调性可知，
f（x）在x＝－1处取得极大值f（－1）＝1，
在x＝1处取得极小值f
（1）＝－3.
作出f（x）的大致图象如图所示：
因为直线y＝m与函数y＝f（x）的图象有三个不同的交点，结合f（x）的图象可知，m的取值范围是（－3,1）．
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