与名师对话新课标A版数学文一轮复习课时作业73.docx
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与名师对话新课标A版数学文一轮复习课时作业73
课时作业（四十一）
一、选择题
1．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，则c与b（ ）
A．一定是异面直线B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线
解析：
c与b不可能是平行直线，否则与条件矛盾．
答案：
C
2．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l＝M，则平面ABC与β的交线是（ ）
A．直线AC B．直线AB
C．直线BC D．直线CM
解析：
通过直线AB与点C的平面，为面ABC，M∈AB.∴M∈面ABC，而C∈面ABC，又∵M∈β，C∈β.∴面ABC和β的交线必通过点C和点M.
答案：
D
3．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
解析：
分别取AB、AA1、A1C1的中点D、E、F，则BA1∥DE，AC1∥EF，所以异面直线BA1与AC1所成的角为∠DEF（或其补角），设AB＝AC＝AA1＝2，则DE＝EF＝
，DF＝
，由余弦定理得，∠DEF＝120°.
答案：
C
4．（2013·浙江杭州第二次质检）如图，平面α与平面β交于直线l，A，C是平面α内不同的两点，B，D是平面β内不同的两点，且A，B，C，D不在直线l上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列判断正确的是（ ）
A．若AB与CD相交，且直线AC平行于l时，则直线BD与l可能平行也有可能相交
B．若AB，CD是异面直线时，则直线MN可能与l平行
C．若存在异于AB，CD的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，则AB，CD不可能是异面直线
D．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
解析：
对于A，直线BD与l只能平行；对于B，直线MN与l异面；对于C，AB与CD可能为异面直线．当直线AB与CD的中点M，N重合时，必有直线AC∥l，故不可能相交，综上所述，故选D.
答案：
D
5．（2013·河北高三质量监测）已知α、β是两个不同的平面，给出下列四个条件：
①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.可以推出α∥β的是（ ）
A．①③B．②④C．①④D．②③
解析：
对于②，平面α与β还可以相交；对于③，当a∥b时，不一定能推出α∥β，所以②③是错误的，易知①④正确，故选C.
答案：
C
6．（2013·江西南昌第一次模拟）设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊆α，b⊆β，且α⊥β”的平面α，β（ ）
A．不存在B．有且只有一对
C．有且只有两对D．有无数对
解析：
在平面β内l与b夹角为30°，且γ⊥β，与γ平行的平面有无数个，每个平面内均有直线与l平行，且与b异面，故选D.
答案：
D
二、填空题
7．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝BC，则直线PC与AB所成角的大小是________．
解析：
分别取PA，AC，CB的中点F，D，E，连接FD，DE，EF，AE，则∠FDE是直线PC与AB所成角或其补角．
设PA＝AC＝BC＝2a，在△FDE中，易求得FD＝
a，DE＝
a，FE＝
＝
a，
根据余弦定理，得cos∠FDE＝
＝－
，所以∠FDE＝120°.
所以PC与AB所成角的大小是60°.
答案：
60°
8．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．则在上面的结论中，正确结论的编号是________（写出所有正确结论的编号）．
解析：
①、②、④对应的情况如下：
用反证法证明③不可能．
答案：
①②④
9．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）
解析：
图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连接MG，GM∥HN；
因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，
∴GH与MN异面．
所以图②、④中GH与MN异面．
答案：
②④
三、解答题
10.
如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.
（1）求AH∶HD；
（2）求证：
EH、FG、BD三线共点．
解：
（1）∵
＝
＝2，∴EF∥AC.
∴EF∥平面ACD.而EF⊂平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，
∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴
＝
＝3，
即AH∶HD＝3∶1.
（2）证明：
∵EF∥GH，且
＝
，
＝
，∴EF≠GH.
∴四边形EFGH为梯形．
令EH∩FG＝P，则P∈EH，而EH⊂平面ABD，所以P∈面ABD，P∈FG，FG⊂平面BCD，所以P∈面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点．
11．正方体ABCD－A1B1C1D1中．
（1）求AC与A1D所成角的大小；
（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
解：
（1）如图所示，连接AB1，B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，
易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
（2）如图所示，连接AC、BD，在正方体ABCD－A1B1C1D中，
AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF∥BD，∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
12．如图所示，在空间四边形ABCD中，已知AD＝1，BC＝
，且AD⊥BC，对角线BD＝
，AC＝
，求AC和BD所成的角的大小．
解：
如图所示，分别取AD，CD，AB，DB的中点E，F，G，H，
连接EF，FH，HG，GE，GF，
则由三角形中位线定理知EF∥AC
且EF＝
AC＝
，
GE∥BD且GE＝
BD＝
，
GH∥AD，GH＝
AD＝
，
HF∥BC，HF＝
BC＝
，
从而可知GE与EF所成的锐角（或直角）即为BD和AC所成的角，GH和HF所成的锐角（或直角）即为AD与BC所成的角．
∵AD⊥BC，∴∠GHF＝90°
∴GF2＝GH2＋HF2＝1.
在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，
∴∠GEF＝90°，即AC与BD所成的角为90°.
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13．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到四面体ABCD（如图2），则在四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是（ ）
A．相交且垂直B．相交但不垂直
C．异面且垂直D．异面但不垂直
解析：
在图1中的等腰直角三角形ABC中，斜边上的中线AD就是斜边上的高，则AD⊥BC，翻折后如图2，AD与BC变成异面直线，而原线段BC变成两条线段BD，CD，这两条线段与AD垂直，即AD⊥BD，AD⊥CD，故AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC.
答案：
C
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