高等数学专升本复习公式定理最全版.docx

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高等数学专升本复习公式定理最全版

高等数学公式

导数公式：

基本积分表：

三角函数有理式积分：

某些初等函数：

两个重要极限：

三角函数公式：

·诱导公式：

函数

角A

sin

cos

tg

ctg

-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

90°-α

cosα

sinα

ctgα

tgα

90°+α

cosα

-sinα

-ctgα

-tgα

180°-α

sinα

-cosα

-tgα

-ctgα

180°+α

-sinα

-cosα

tgα

ctgα

270°-α

-cosα

-sinα

ctgα

tgα

270°+α

-cosα

sinα

-ctgα

-tgα

360°-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

360°+α

sinα

cosα

tgα

ctgα

·和差角公式：

·和差化积公式：

·倍角公式：

·半角公式：

·正弦定理：

·余弦定理：

·反三角函数性质：

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

中值定理与导数应用：

曲率：

定积分近似计算：

定积分应用有关公式：

高等数学定理大全

第一章 函数与极限

　　1、函数有界性在定义域内有f（x）≥K1则函数f（x）在定义域上有下界，K1为下界；如果有f（x）≤K2，则有上界，K2称为上界。

函数f（x）在定义域内有界充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

　　2、数列极限定理（极限唯一*）数列{xn}不能同步收敛于两个不同极限。

　　定理（收敛数列有界*）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

　　如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，因此数列有界是数列收敛必要条件而不是充分条件。

　　定理（收敛数列与其子数列关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同极限，那么数列{xn}是发散，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散；同步一种发散数列子数列也有也许是收敛。

　　3、函数极限函数极限定义中0<|x-x0|表达x≠x0，因此x→x0时f（x）有无极限与f（x）在点x0有无定义无关。

　　定理（极限局部保号*）如果lim（x→x0）时f（x）=A，并且A>0（或A<0），就存在着点那么x0某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f（x）>0（或f（x）>0），反之也成立。

　　函数f（x）当x→x0时极限存在充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f（x0-0）=f（x0+0），若不相等则limf（x）不存在。

　　普通说，如果lim（x→∞）f（x）=c，则直线y=c是函数y=f（x）图形水平渐近线。

如果lim（x→x0）f（x）=∞，则直线x=x0是函数y=f（x）图形铅直渐近线。

　　4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小乘积是无穷小；常数与无穷小乘积是无穷小；有限个无穷小乘积也是无穷小；定理如果F1（x）≥F2（x），而limF1（x）=a，limF2（x）=b，那么a≥b.

　　5、极限存在准则两个重要极限lim（x→0）（sinx/x）=1；lim（x→∞）（1+1/x）x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}、{zn}满足下列条件：

yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，对于函数该准则也成立。

　　单调有界数列必有极限。

　　6、函数持续性设函数y=f（x）在点x0某一邻域内有定义，如果函数f（x）当x→x0时极限存在，且等于它在点x0处函数值f（x0），即lim（x→x0）f（x）=f（x0），那么就称函数f（x）在点x0处持续。

　　不持续情形：

1、在点x=x0没有定义；2、虽在x=x0有定义但lim（x→x0）f（x）不存在；3、虽在x=x0有定义且lim（x→x0）f（x）存在，但lim（x→x0）f（x）≠f（x0）时则称函数在x0处不持续或间断。

　　如果x0是函数f（x）间断点，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f（x）第一类间断点（左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点）。

非第一类间断点任何间断点都称为第二类间断点（无穷间断点和震荡间断点）。

　　定理有限个在某点持续函数和、积、商（分母不为0）是个在该点持续函数。

　　定理如果函数f（x）在区间Ix上单调增长或减少且持续，那么它反函数x=f（y）在相应区间Iy={y|y=f（x），x∈Ix}上单调增长或减少且持续。

反三角函数在她们定义域内都是持续。

　　定理（最大值最小值定理）在闭区间上持续函数在该区间上一定有最大值和最小值。

如果函数在开区间内持续或函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。

　　定理（有界性定理）在闭区间上持续函数一定在该区间上有界，即m≤f（x）≤M.定理（零点定理）设函数f（x）在闭区间[a，b]上持续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）×f（b）<0），那么在开区间（a，b）内至少有函数f（x）一种零点，即至少有一点ξ（a<ξ

　　推论在闭区间上持续函数必获得介于最大值M与最小值m之间任何值。

　　第二章 导数与微分

　　1、导数存在充分必要条件：

函数f（x）在点x0处可导充分必要条件是在点x0处左极限lim（h→-0）[f（x0+h）-f（x0）]/h及右极限lim（h→+0）[f（x0+h）-f（x0）]/h都存在且相等，即左导数f-′（x0）右导数f+′（x0）存在相等。

　　2、函数f（x）在点x0处可导=>函数在该点处持续；函数f（x）在点x0处持续≠>在该点可导。

即函数在某点持续是函数在该点可导必要条件而不是充分条件。

　　3、原函数可导则反函数也可导，且反函数导数是原函数导数倒数。

　　4、函数f（x）在点x0处可微=>函数在该点处可导；函数f（x）在点x0处可微充分必要条件是函数在该点处可导。

　　第三章 中值定理与导数应用

　　1、定理（罗尔定理）：

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上持续，在开区间（a，b）内可导，且在区间端点函数值相等，即f（a）=f（b），那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a<ξ

f’（ξ）= 0. 

　　2、定理（拉格朗日中值定理）：

如果函数f（x）在闭区间[a，b]上持续，在开区间（a，b）内可导，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ（a<ξ

　　3、定理（柯西中值定理）：

如果函数f（x）及F（x）在闭区间[a，b]上持续，在开区间（a，b）内可导，且F’（x）在（a，b）内每一点处均不为零，那么在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使等式[f（b）-f（a）]/[F（b）-F（a）]=f’（ξ）/F’（ξ）成立。

　　4、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞ 0等形式。

　　5、函数单调性鉴定法：

设函数f（x）在闭区间[a，b]上持续，在开区间（a，b）内可导，那么：

（1）如果在（a，b）内f’（x）>0，那么函数f（x）在[a，b]上单调增长；

（2）如果在（a，b）内f’（x）<0，那么函数f（x）在[a，b]上单调减少。

　　如果函数在定义区间上持续，除去有限个导数不存在点外导数存在且持续，那么只要用方程f’（x）=0根及f’（x）不存在点来划分函数f（x）定义区间，就能保证f’（x）在各个某些区间内保持固定符号，因而函数f（x）在每个某些区间上单调。

　　6、函数极值：

如果函数f（x）在区间（a，b）内有定义，x0是（a，b）内一种点，如果存在着点x0一种去心邻域，对于这去心邻域内任何点x，f（x）f（x0）均成立，就称f（x0）是函数f（x）一种极小值。

　　在函数获得极值处，曲线上切线是水平，但曲线上有水平曲线地方，函数不一定获得极值，即可导函数极值点必然是它驻点（导数为0点），但函数驻点却不一定是极值点。

　　定理（函数获得极值必要条件）：

设函数f（x）在x0处可导，且在x0处获得极值，那么函数在x0导数为零，即f’（x0）=0.定理（函数获得极值第一种充分条件）设函数f（x）在x0一种邻域内可导，且f’（x0）=0，那么：

（1）如果当x取x0左侧临近值时，f’（x）恒为正；当x去x0右侧临近值时，f’（x）恒为负，那么函数f（x）在x0处获得极大值；

（2）如果当x取x0左侧临近值时，f’（x）恒为负；当x去x0右侧临近值时，f’（x）恒为正，那么函数f（x）在x0处获得极小值；（3）如果当x取x0左右两侧临近值时，f’（x）恒为正或恒为负，那么函数f（x）在x0处没有极值。

　　定理（函数获得极值第二种充分条件）：

设函数f（x）在x0处具备二阶导数且f’（x0）=0，f’’（x0）≠0那么：

（1）当f’’（x0）<0时，函数f（x）在x0处获得极大值；

（2）当f’’（x0）>0时，函数f（x）在x0处获得极小值；驻点有也许是极值点，不是驻点也有也许是极值点。

　　7、函数凹凸性及其鉴定：

设f（x）在区间Ix上持续，如果对任意两点x1，x2恒有f[（x1+x2）/2]<[f（x1）+f（x1）]/2，那么称f（x）在区间Ix上图形是凹；如果恒有f[（x1+x2）/2]>[f（x1）+f（x1）]/2，那么称f（x）在区间Ix上图形是凸。

　　定理：

设函数f（x）在闭区间[a，b]上持续，在开区间（a，b）内具备一阶和二阶导数，那么

（1）若在（a，b）内f’’（x）>0，则f（x）在闭区间[a，b]上图形是凹；

（2）若在（a，b）内f’’（x）<0，则f（x）在闭区间[a，b]上图形是凸。

　　判断曲线拐点（凹凸分界点）环节：

（1）求出f’’（x）；

（2）令f’’（x）=0，解出这方程在区间（a，b）内实根；（3）对于

（2）中解出每一种实根x0，检查f’’（x）在x0左右两侧邻近符号，如果f’’（x）在x0左右两侧邻近分别保持一定符号，那么当两侧符号相反时，点（x0，f（x0））是拐点，当两侧符号相似时，点（x0，f（x0））不是拐点。

　　在做函数图形时候，如果函数有间断点或导数不存在点，这些点也要作为分点。

第四章 不定积分

　　1、原函数存在定理：

定理如果函数f（x）在区间I上持续，那么在区间I上存在可导函数F（x），使对任一x∈I均有F’（x）=f（x）；简朴说持续函数一定有原函数。

　　分部积分法：

如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u，这样用一次分部积分法就可以使幂函数幂减少一次。

如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数乘积，就可设对数和反三角函数为u.

　　2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。

　　第五章 定积分

　　1、定积分解决典型问题：

（1）曲边梯形面积

（2）变速直线运动路程

　　2、函数可积充分条件定理：

设f（x）在区间[a，b]上持续，则f（x）在区间[a，b]上可积，即持续=>可积。

　　定理：

设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在区间[a，b]上可积。

　　3、定积分若干重要性质性质：

如果在区间[a，b]上f（x）≥0则∫abf（x）dx≥0.

推论：

如果在区间[a，b]上f（x）≤g（x）则∫abf（x）dx≤∫abg（x）dx.推论：

|∫abf（x）dx|≤∫ab|f（x）|dx.性质设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf（x）dx≤M（b-a），该性质阐明由被积函数在积分区间上最大值及最小值可以预计积分值大体范畴。

　　性质（定积分中值定理）如果函数f（x）在区间[a，b]上持续，则在积分区间[a，b]上至少存在一种点ξ，使下式成立：

∫abf（x）dx=f（ξ）（b-a）。

　　4、关于广义积分设函数f（x）在区间[a，b]上除点c（a

　　第六章 定积分应用

　　求平面图形面积（曲线围成面积）

　　直角坐标系下（含参数与不含参数）

　　极坐标系下（r，θ，x=rcosθ，y=rsinθ）（扇形面积公式S=R2θ/2）

　　旋转体体积（由持续曲线、直线及坐标轴所围成面积绕坐标轴旋转而成）（且体积V=∫abπ[f（x）]2dx，其中f（x）指曲线方程）

　　平行截面面积为已知立体体积（V=∫abA（x）dx，其中A（x）为截面面积）

　　功、水压力、引力

　　函数平均值（平均值y=1/（b-a）*∫abf（x）dx）