三、解答题：
本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知向量m＝（sin，1），n＝（cos，cos2），f（x）＝m·n．
（1）若f（x）＝1，求cos（－x）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c且满足acosC＋c＝b，求函数f（B）的取值范围．
17．（本小题满分12分）
在高三年级某班组织的欢庆元旦活动中，有一项游戏规则如下：
参与者最多有5次抽题并答题的机会．如果累计答对2道题，立即结束游戏，并获得纪念品；如果5次机会用完仍未累计答对2道题，也结束游戏，并不能获得纪念品．已知某参与者答对每道题答对的概率都是，且每道题答对与否互不影响．
（1）求该参与者获得纪念品的概率；
（2）记该参与者游戏时答题的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．
18．（本小题满分12分）
如图，在体积为1的三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，AC＝AA1＝1，P为线段AB上的动点．
（1）求证：
CA1⊥C1P；
（2）当AP为何值时，二面角C1－PB1－A1的大小为？
19．（本小题满分13分）
已知函数f（x）＝－x2＋ax－lnx（a∈R）．
（1）求函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件；
（2）当函数f（x）在[，2]上单调时，求a的取值范围．
20．（本小题满分13分）
某旅游景区的观景台P位于高（山顶到山脚水平面M的垂直高度PO）为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α（0°＜α＜90°），且sinα＝．现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n－1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn（如图所示），且C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn－1Cn与AB所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sinβ＝．试问：
（1）每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？
（2）若修建xkm盘山公路，其造价为a万元．修建索道的造价为2a万元/km．问修建盘山公路至多高时，再修建上山索道至观景台，总造价最少．
21．（本小题满分13分）
已知正项数列{an}的首项a1＝，函数f（x）＝，g（x）＝．
（1）若正项数列{an}满足an＋1＝f（an）（n∈N*），证明：
{}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）若正项数列{an}满足an＋1≤f（an）（n∈N*），数列{bn}满足bn＝，证明：
b1＋b2＋…＋bn<1；
（3）若正项数列{an}满足an＋1＝g（an），求证：
|an＋1－an|≤·（）n－1．
参考答案
一、选择题
1．A 2．D 3．C 4．B 5．A 6．C
7．C 解：
由＋＋＝得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，故S△PBC∶S△ABC＝2∶3．
8．B 解：
如图，当x∈[0,5]时，结合图象知f（x）与g（x）共有5个交点，
故在区间[－5,0]上共有5个交点；
当x∈（0,10）时，结合图象知共有9个交点，故函数h（x）＝f（x）－g（x）在区间[－5,10]上共有14个零点．
二、填空题
9．－1 10．18 11．①② 12． 13．159
14．2 解：
原方程可化为（3x）2－（4＋a）·3x＋4＝0，
∴3x1·3x2＝4，∴x1＋x2＝2log32，∴x1x2≤（log32）2．
∴＝＝－2≥2．
15． 10
解：
（1）由题意有：
P15＝＝．
（2）当1≤i故所有Pij（1≤i当5≤i这样的Pij共有C＝15个，故所有Pij（5≤i当1≤i≤4,5≤j≤10时，Pij＝，这样的Pij共有4·6＝24，
所有Pij（1≤i≤4,5≤j≤10）的和为24·＝6，
综上所述，所有Pij（1≤i三、解答题
16．解：
（1）∵f（x）＝m·n＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin（＋）＋，
而f（x）＝1，∴sin（＋）＝．（4分）
又∵－x＝π－2（＋），
∴cos（－x）＝－cos2（＋）＝－1＋2sin2（＋）＝－．（6分）
（2）∵acosC＋c＝b，∴a·＋c＝b，
即b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝．
又∵A∈（0，π），∴A＝．（10分）
又∵0∴f（B）∈（1，）．（12分）
17．解：
（1）设“参与者获得纪念品”为事件A，则
P（A）＝1－P（）＝1－[（）5＋C（）4（）]＝．（4分）
故该参与者获得纪念品的概率为．（5分）
（2）ξ的可能取值为2,3,4,5，
P（ξ＝2）＝（）2＝；P（ξ＝3）＝C··＝；
P（ξ＝4）＝C（）2＝；
P（ξ＝5）＝C（）（）3＋C（）4＝．（8分）
故ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
P
（10分）
Eξ＝2×＋3×＋4×＋5×＝．（12分）
18．解：
（1）证明：
∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，AA1⊥AB．
又∵AB⊥AC，
∴以A为原点，AC，AB，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系．
又∵VABC－A1B1C1＝AB×AC×AA1＝1，∴AB＝2．（2分）
设AP＝m，则P（0，m,0），而C1（1,0,1），C（1,0,0），A1（0,0,1），
∴＝（－1,0,1），＝（－1，m，－1），
∴·＝（－1）×（－1）＋0×m＋1×（－1）＝0，
∴CA1⊥C1P．（6分）
（2）设平面C1PB1的一个法向量n＝（x，y，z），则
，即
．
令y＝1，则n＝（2,1，m－2），（9分）
而平面A1B1P的一个法向量＝（1,0,0），
依题意可知cos＝＝＝，
∴m＝2＋（舍去）或m＝2－．
∴当AP＝2－时，二面角C1－PB1－A1的大小为．（12分）
19．解：
（1）∵f′（x）＝－2x＋a－＝（x>0），
∴f（x）既有极大值又有极小值⇔方程2x2－ax＋1＝0有两个不等的正实数根x1，x2．
（3分）
∴
，∴a>2，
∴函数f（x）既有极大值又有极小值的充要条件是a>2．（6分）
（2）f′（x）＝－2x＋a－，令g（x）＝2x＋，
则g′（x）＝2－，g（x）在[，]上递减，在（，2）上递增．（8分）
又g（）＝3，g
（2）＝，g（）＝2，
∴g（x）max＝，g（x）min＝2．（10分）
若f（x）在[，2]单调递增，则f′（x）≥0即a≥g（x），∴a≥．
若f（x）在[，2]单调递减，则f′（x）≤0，即a≤g（x），∴a≤2．
所以f（x）在[，2]上单调时，则a≤2或a≥．（13分）
20．解：
（1）在盘山公路C0C1上任选一点D，作DE⊥平面M交平面M于E，过E作EF⊥AB交AB于F，连结DF，易知DF⊥C0F．sin∠DFE＝，
sin∠DC0F＝．
∵DF＝C0D，DE＝DF，∴DE＝C0D，
所以盘山公路长度是山高的10倍，索道长是山高的倍，
所以每修建盘山公路1000米，垂直高度升高100米．
从山脚至半山腰，盘山公路为10km．从半山腰至山顶，索道长2．5km．（6分）
（2）设盘山公路修至山高x（0＜x＜2＝km，则盘山公路长为10xkm，
索道长（2－x）km．
设总造价为y万元，
则y＝a＋（2－x）·2a＝（10－5x）a＋10a．
令y′＝－5a＝0，则x＝1．
当x∈（0,1）时，y′＜0，函数y单调递减；当x∈（1,2）时，y′>0，函数y单调递增，
∴x＝1，y有最小值，即修建盘山公路至山高1km时，总造价最小，
最小值为15a万元．（13分）
21．证明：
（1）∵an＋1＝f（an）＝，∴＝＝＋1，即－＝1，
∴{}是以2为首项，1为公差的等差数列．
∴＝2＋（n－1），即an＝．（3分）
（2）证明：
∵an＋1≤，an>0，∴≥，即－≥1．
当n≥2时，－＝（－）＋（－）＋…＋（－）≥n－1，
∴≥n＋1，∴an≤．
当n＝1时，上式也成立，∴an≤（n∈N*），
∴bn＝≤<＝－，
∴b1＋b2＋…＋bn<（1－）＋（－）＋…＋（－）＝1－<1．（8分）
（3）∵a1＝，a2＝g（a1）＝，a2－a1＝－＝>0．
又∵an＋1－an＝－＝，
由迭代关系可知，an＋1－an>0，∴an≥a1＝．
又∵（2＋an）（2＋an－1）＝（2＋）（2＋an－1）＝5＋4an－1≥7，
∴≤，
∴|an＋1－an|＝|an－an－1|≤|an－an－1|，
∴|an＋1－an|≤|an－an－1|≤（）2|an－1－an－2|≤…
≤（）n－1|a2－a1|＝（）n－1．（13分）
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